Coroll. 6. L'équation

donne

df=zdD-,

ce qui fait voir que le foyer des rayons incidents et celui des rayons réfractés se meuvent toujours dans la même direction, easupposant que le premier se déplace le long de l'axe , et , en outre , que leurs proximités à l'égard de la lentille crois ^Dt ou décroissent par degrés égaux •-

\ Problème.

268. — Déterminer les foyers centraux d'un système de bntilles infiniment minces qui se touchent. Ia problème général d'un système de surfaces sphériques

i54 comprend celuUci comme cas particulier « car l'oa peut considérer la face postérieure de la première lentille comme formant une lentille vide arec la face antérieure de la seconde, et ainsi de suite : ainsi l'on peut substituer aux lentilles un système de surfaces sphériques qui se touchent dans, toute leur étendue. Les indices de réfraction des milieux sont alternativement M et i; et, si l'on désigne par ft,\ ft!'^ 1/."'^ etc. , les indices de réfraction des lentilles , il vient

M = 1, M»= pS M» = I, M*i= p», M»^ = I, etc.

Le pouvoir résultant F aura alors [ a58 (o) ] pour expression

F= p' F' -f-F^-}. p» F»' -f. F^ 4- p*' F^ -f. F^' + , etc. ; mais

F = ( I - m') R» = \ (p»— i)RS

F^'zsC 1 — m») R* = ( I .— p» ) K",

à cause de m' =: - et de m" zzz p'. Ainsi

et semblablement

p»' F«" -f F'v = ( p'' ~ i) (R'" — R'^), etc. :

de manière que l'on obtient à la fin

F=(p'-.i) (R'— R") -f. (p«'~. I) (R«— Rnr)-|-^etc.

D'après l'art. 261, chaque terme de celte équation représente le pouvoir d'une des lentilles du système : ainsi, en désignant par L', L", L'", etc. , les pouvoirs individuels de chaque lentille , et par L celui de tout le système (conformément à la notation que nous avons adoptée ) , il viendra

L = L' + L''-|-L"'+, etc. . . . (^)

Ce qui nous apprend que le pouvoir d'un système de lentilles çst la somme des pouvoirs indivi4ii€U'des lentilles qui le

composent. Le mot somme est pm ici dans son acception algébrique , quand il y a .des lenûUes dont le pouvoir est négatif. D'ailleurs on voit aisément que l'on a aussi

comme dans le cas d'une seule lentille,

269. — Réciproquement , l'on peut regarder un système de surfaces sphériques servant d'enveloppes k des milieut contigus ( une lentille de verre pleine d'eau , par exemple ) comme formant des lentilles distinctes, en concevant la concavité d'an milieu et la convexité de celui qui le suit immédiatement Comme séparées par une lame infiniment tnince de vide ou dé tout autre milieu dont les faces auraient respectivement la même courbure que celles des lentilles qu'elles touchent (fig. 5o)« Par. ce moyen, l'on. peut, à un nombre quelconque n de milieux dont les surfaces «ont en contact dans toute leur étendue, substituer parla pensée un système équivalent de 2 n — i lentilles, alternativement pleines et vides ou sans pouvoir* Cette manière d'envisager la question est fréquemment employée.

Elle conduit de plus 4 ce résultat^ que le pouvoir it ufi sys^ tème quelconque de surfaces sphériques placées dans le vide est la somme des pouvoirs de toutes les lentilles dont on peut k concevoir composé, chacune étant considérée Comme agis^ tm seule dans le vide.

270. — Reprenons maintenant le cas de surfaces séparées par des intervalles finis, et cherchons d'abord les foyers d'un système de surfaces assez rapprochées pour que les carrés des intervalles qui les séparent soient négligeables. Les équations (y) , art. 25 1, deviennent alors simplement

D' ~ D , D'' =/' +/'^ /' , D"' =/" -f /"* t% etc. ^

puis, en reportant ces valeurs dans les équations (i) et conwrvant la notation de Tart, 267, on trouve

lSi6

MW/W = M' F4- M» F»+ . . , . + MW FC») ^- D -f-

. On observera , à Vég^d de cette équation , que

/' = F'+m' D, /* = F» + m"' F' + m' 7i|»DS etc. ;

et les valeurs àef^f^ etc. , ainsi exprimées, y étant substituées, il viendra

M/= M^ F' + M» F» + M-" F" + , etc. ,'+ D + \

M'(F'4-ma))» ^4-M«^+iif F'-|-TO'm«'D)»l»+,etc. J

vji.-^ Corollaire. Dans le cas de deux surfaces , en supposant M = 1 9 c'est-à-dire une seule lentille ^^iis le vide , cette équation donne

Quanfl les rayons sont parallèles, ceci devient

F=(^— I) (R' — R«)+iii:— ^Rc»f, . . (/)

t remplaçant ici /', intervalle entre les surfaces, ou épcUsseur totale de la lentille.

Problème.

272. — Déterminer les foyers d'une lentille dont l'épaisr seur r est trop considérable pour qu'une puissance quelconque de ^ puisse £tre négligée.

Nous devons prendre ici les formules rigoureuses P'r^D, D-=y-^^,/'=(,-,m')R' + m'D,

On trouvera, à l'aide de la dernière équation, par substir tutipn, et en se rappelant que m^zzz-zizm et que m" == u. ,

et pour des rayons parallèles ,

275. — Exemple i. Dëterminer les foyçrs d'une sphère. Dans ce cas ,

et les équations (ii) et (i') deviennent /=llii=lilR±L-.Z^.R, F = l!iZ:3.R. («.)

274. — CorolL I , Si p = 2 , par exemple , ces valeurs deviennent simplement

Comme /* et F désignent alors les proximités du foyer à la surface poste'rieure de la sphère , nous voyons que le foyer des rayons parallèles tombe sur cette surface , et que , dans tout autre cas ( fig. 5i et 62 ) , 9 est donné par la proportion

275. — CorolL 2, Quelle que soit la valeur de p après la seconde réfraction , le foyer des rayons parallèles partagera en deux parties égales la distance'entre la surface postérieure de la sphère et le foyer après la première réfraction.

276. — Exemple 2. Déterminer les foyers d'un hémisphère dans le cas où les rayons incidents tombant sur la

surface coovexe , et dans celui où ils tombent sur la surfac plane.

Dans le premier cas y

d'où

/= RtlD ^ ^ F = ( fx — I ) K.

277. ■— Dans l'autre cas, lorsque les rayons tombent d'à bord sur la surface plane ,

R' = o , R» = — R , et r = -^ 1

de manière que

Mjj-j2R + d

/ — ^ R jô . R , F = ( f* — I ) R.

278. — Si l'épaisseur du segment sphërique dont la fac convexe est tournée vers les rayons incidents est au rayo dans le rapport de p à ^a — 1 , c'est-à-dire si

/ = — - — . n = ' TB" » et R'' = o ,

p— iR (i — m)R ,

les expressions (w) et {y) deviennent

/=-(p.)g [((.-. )R + D],F = co.

Le foyer des rayons parallèles tombe alors sur la face posté rieure du segment.

27g. — En général, pour un segment sphérique quelcon que dont la surface convexe reçoit les rayons , R" z=z o , et

/-- (fx-i)R+D fx (p- . ) R

Si la face plane est eiposée aux rayons ,

/=Cf-OR + -^; F = (f.-.)R.

280. — Si R' := R*, c'est-à-dire §i la lentille est une lame sphérique de courbures égales , l'une convexe et l'autre concave,

fzD+(^— i)[(f.~i)R+D]R/ (^ — i)^R^/

J X, — aberration âfun système de surfaces

sphériques.

Recherche du fpyer d'un petit anneau de surface gphëriqoe, — Aberration longitudinale ; -r latérale. -*- Cas de rayons parallèles. — Cas de réflecteurs. — Définition et recherche des foyers aplanétiques. ^ L'aberration raccourcit le fover quand les rayons sont parallèles, -r Effets de l'aberration dans aautres cas. — Aberration d'un système quelconque de surfaces sphé;riques en contact. ^«Valeurs successives de /. — Aberration d'une seule fentille infiniment mince. — ^onnole générale d'où dépend cette aberration. — Cas où l'aberration d'une seule lentille peyt devenir nulle. —L'on ne connaît jpoint de milieu qui rende l'aberration nulle , dans le cas de parallélisme des tayons. — Cas où l'aberration accourcit ou allonge le foyer. — Cas d'un ménisque de yerre. — Règle applicable à une classe nombreuse de lentilles^ pour trouver l'efietde 1 aberration par rapport à l'allongement ou à raccourcissement du foyer. -r^ Ce qu'il fiaut faire eu d'autres cas. r- Cas de la réflexion pour un système de surfaces transparentes. — Construction générale d'une lentille aplanétique. «^Cas où les surfaces d'une lentille aplanétiques sont toutes sphériques. — Forme la plus avantageuse à donner à une seule lentille, dans le cas de rayons pa- Jïllèlfis. — Cas où cette forme est piano-convexe. —Aberrations dediftérentes espèces de lentilles quand les rayons sont parallèles. — Aberytioo d'un système de lentilles ; — son expression générale. — Cas °s rayons parallèles. -— Formule générala pour la destruction de "aberration , dans le cas de deux lentilles et de rayons parallèles. — ^Qtre forme de la même équation.

Problème >

a8i. — . Dëterminer le foyer d'un anneau d'une surface ffcctante ou re'fléchissante.

Lesi équations {a) de l'art. ?44 contiennent au fond la so-

lution générale de ce problème } mais les nombreuses applications que l'on en fait dans la pratique «exigent une solution approximative pour des anneaux d'un petit diamètre , ou pour lesquels jr est peu considérable par rapport à r. En négligeant alors les puissances àejr, supérieures à la troisième les formules de l'article cité deviennent

j-Z = ar(a— r) A ^ -jr*.

^ * 2fAr(a — ry

Substituant ces valeurs, dans celle de C ^ du même arlicle- Ton obtiendra pour la distancç entre le foyei: des rayons réfractés et le sommet

^ a — ^a-f-ftr afi (a — r){a — fAtf-j-ftr)' r

282. — Néanmoins , pour nous conformer au système d notation suivi dans la section précédente , au lieu de C ^ nous emploierons sa valeur réciproque.

Comme nous avons jusqu'ici représenté pary cette valeu réciproque pour les rayons centraux , nous lui conserveroD la même signification^ et, pour les rayons qui tombent à 1 distance^ du sommet, nous désignerons pary*-|-A/l

quantité -=- : A^sera alors la partie deydue à la déviatio:

du point d'incidence à l'égard du sommet. Si Ton néglig maintenant j^ , il vient

^ a — lia + lir . p—i ^ fl' (fl + pr)

Posant toujours , comme nous l'avons fait jusqu'ici ,

et Subatituant ces Valeurs dans l'équation précédente, nous aurons la valeur de -^=r- ou dey-f- A^en fonction de m, R

et D. En retranchant de cette valeur le terme indépendant dejr»^ qui est la valeur de y, nous trouverons pour ^f

285. — Définitions* Uaberration longitudinale est la distance entre le foyer des rayons centraux et le foyer g de l'anneau dont le demi-diamètre ou ouverture est j^ zz: M P.

^aberration latérale au foyer est la déviation qu'éprouve le rayon réfracté par rapport à l'axe 5 c'est la ligne comprise entre le rayon extrême et la perpendiculaire à l'axe élevée au foyer central.