On conclut aussi des équations {e) et {f
250. — Dans le cas de la réflexion , u =« — i , ou m == — ' I ,
ia6 et c^s équations devienn^it
F =-2R,/=-aR — D, /r^F — D. . . (-
Telles sont les expressions des foyers centraux dans le cj d'une seule surface.
Considérons maintenant un système quelconque de surfs ces sphëriqnes.
25 1. — Trouver le foyer central d'un système quelconqu de surfaces sphëriques.
Soient C, C*, C*", ^tc, ces surface? > Q' 'e foyer des rayoi incidents sur C y Q" celui des rayons réfractes ou des rayoi incidents sur G'', et ainsidesuîte. Nommons aussi R',R% etc.^h
rayons de la première, de la deuxième, etc. , surface; p', pi', etc
/. • sin d'inc.
l'indice de réfraction , ou —' — t tt" de chaque surface pa
rapport à celle qui la précède immédiatement } faisons
m' = — - , m" = —- . etc.
Soient aussi
TV a=: — î TV i~ L— etc
et posons de plus
O €" = /', C O" = t% etc. ,
fj t"^ etc. , étant considérés comme positifs lorsque les poini C, C''', etc. , sont respectivement à la droite de C\ C'', etc. ou dans la direction de la lumière incidente. Soient encore
çTqn =/S Qjn^f = /"' ^*^- '
F' = ( I — m' ) R' , F*' = ( I ~ m'') R" , etc.
Nous aurons, en vertu de l'art. 249,
f = F' -j- m' DS f = F'' + m" D" ^ . . (
1^7 mais nous avons aussi
et aiusi de suite; de manière que l'on a de plus les rela-
lions
et, snbstiituant ces râleurs de EK, D^, etc. , dans les ëquatioDs (i) y en introduisant dans chacune les valeurs de y , /*, etc. , obtenues à l'aide des ëquations qui la précèdent ,' nous trouverons des valeurs explicites de y^ , y* , etc. , jusqu'à la fin. I
262. — Le système des équations (1) et (y) contient la solution générale du problène , quels que soient les intervaHes entre les surfaces.
£a opérant cependant sur les valeurs g^énérales de V , ^, etc., l'on tombera sur des expressions excessivement compliquées , sans qu'il y ait moyen de les simplifier, la complication provenant du sujet même, et non de la manière de le traiter.
On peut consulter sur ce sujet le mémoire de Lagrange , Sur la théorie des lunettes, Ac^d. de «Berlin, 1778. Nous nous coateaterons d'en discuter ici les cas principaux.
Problème.
255. -r- Trouver la distance focale d'un système de surfaces sphériques qui se suivent immédiatement.
Dans ce cas , t\ ^, etc.^ s'évanouissent, et les équations (i) ^^ (/) deviennent simplement
ly = D' , D* =/' , 1>" =: /" , etc. ,
/' =2 F' + m' B', f — F" 4-iw'' D% etc. -,
d'où nous tirons , par substitution ,
y>'=F»'4- m»' F»+ m'^' m» F' + m" m'' m' I^ j série de valeurs que l'on peut continuer à volonté'.
a54- — CoroU» i • Soit n le nombre des surfaces , et M' l'indice absolu de réfraction (n') du premier milieu par rap- /port au vide; M," -z=: fji' f&' celui du second milieu aussi par rapport au vide , et ainsi de suite ; yJy /x'', n'étant que les in* dices de réfraction relatifs de chaque milieu par rapport à celui qui le précède..
' Nous aurons ainsi '
M('»)/(») 1= D' + M' F' + M» F* 4. . . . . + MC") F(») . (k)
aiSS. -^ Coroll> a. Pour des rayons parallèles , nous avons D' =: o , quelle que soit la direction des rayons incidents ; et la- principale longueur focale du système, que nous appellerons -rr: , est donnée par l'équation
M(") yC") = M' F' + M-' F' + .... 4- MC») F(«). •. (/)
a56. — CoroU. 3. Il résulte de là que 9^"), qui représente \e pouvoir du sj-stème^ ou sa valeur réciproque (la principale longueur focale) , étant déterminé au moyen de la dernière équation , le foyer d'un nombre quelconque de rayons convergents ou divergents se déduira sur-le-champ de l'équation
257. — Nous modifierons cependant notre notation pour la rendre plus simple et plus commode : réservant les lettres accentuées pour les surfaces considérées individuellement ; nous les emploierons sans accent quand il s'agira de l'action des surfaces disposées en système.
Ainsi F', F*, .... FC»*), représentât les pouvoirs indiridnels des surfaces , F sans accent désignera le pouvoir de tout le système. Par suite de cette convention, il sera indifférent d'écrire D' ou D : avec l'accent , il se rapportera à l'incidence sur la première surface^ sans accent ^ il eiprimera la proximité du foyer des rayons incidents , au sommet de tout le système.
Nous pouvons de même enàployer M^**) sans accent , en regardant l'indice de réfraction de tout le système comme celai d'un rayon qui passerait dans lé dernier milieu en ne se tractant qu'une fois. >
Ces conventions établies. , les équations {k) et (/) deviennent
M F =3 M' F -f. M" F*' -|- .... + MC'») F(«) . . (m) M/=MF.f.D, M(F— /)4.Dt=o. . (n)
258. — Si tout le systetné se trouvait dans le vide , ou si la dernière réfraction se faisaitrdans le vide , nous aurions
et ces équations se changeraient en
F = M' F' + M" F^'-f .... -f MC'») FW , . J /=F4-D. )
259. — Définitions .Une lentille est, en optique, la portion d'un milieii dirimant comprise entre deux surfaces ie révo- Intion dont les axes coïncident. Si les surfaces ne se rencontrent point , elles ne peuvent embrasser un espace fini , et l'on est obligé d'ajouter , pour clore le milieu , une surface cylindrique dont l'axe coïncide avec celui des surfaces.
L'axe de la lentille est l'axe commun de toutes les surfaces qui l'enveloppent.
On distingue les lentilles , d'après là nature de leurs surfaces , en "^
B^<imv>^e4 B <|»i»iid elW Aoat forni^ei par deux surfaces convexes ( fig« 44 ) ;
Plano^onvexes, quand une des surfaces est plane et Tautre convexe ( fig. 4^ ) 5
CoHCû¥{H:onvexes (fig« 4^) ;
Bi'€onoa^ê ( fig. ^f)'y
PUmo-concaves ( fig. 48 ) 5
Mémstfues ( fig« 49 ) > quand la concavité est moindre que La convexité.
On Us divise aussi en sphériques, quand les surfaces sont des segments de sphère , et en conoïdales , quand leur forrac est c^le d'un segment d'ellipsoïde , d'hyperbolo'ide, etc.
960. — Ces diverses espèces de lentilles se distinguent algébriquement par les équations de leurs surfaces et par les signes de leurs rayons de courbure. Dans le cas de lentilles sphériques , cas auquel nous donnerons une attention spéciale , en supposant positif le rayon de courbure de la surface qui a sa convexité tournée vers la gauche , c'est-à-dire veri les rayons incidents, et négatif celui de la surface dont l£ convexité regarde la droite ou le c6té opposé à ces mèmef rayons, nous trouverons pour toutes ces espèces les caractère! suivants :
iles deux rayons -|- , comme dans les fig. 46,49, a; les deux rayons — , comme dans les fig. 46 , 49 , ^.
le rayon de la première surface -|- , celui de la seeônde infini ,
__ I fie. 45 ï b :
PlAHO-'Conyexe * ^
le rayon de la première surface infini » celui de la seconde — ' ,
fig. 4S ) ^«
Plan(H:oncnye .<
BUoi
nvexe
le rayon de la première surface •--• , celui de la seconde od ,
le rayon de la première surface oD , celui de la Seconde -}- ,
fig. 48 , a.
lé rayon de la première surface -j- , celui de la seconde *-* , fig- 44.
Bkoncai^
ïè" rayon dé làpretnièrc surface — ^^ celui de la féconde -}- ,
fig. 47. ; ^
On suppose que les rayons vont toujours de gauche à droite. ' -
Une lentille composée est un a&semblagc de lentilles juxtaposées l'une derrière l'autre.
On appelle lentille aplanétique celle qui réfracte tous les rayons en un même foyer.
Prohlètne-
261 . — Trouver le pouvoir et les foyers d'une seu;le lentille dtns le vide»
Soient R^ et R' les omrbures rea]^ttves de jsa première et le sa seconde surface^ ^ l'indice de rëfrlKction du nuUeudoi^t
elle est faite , m =: - F , son pouvoir : nous aurons alors ,
paisqae la dernière réfraction se fait iSams lé vide, '
F = plF' + F»,/=F + D;
mais
F'=:( I —I»') RS etF^'z^C I -^m") R^
El comme
m' = - , et m* :n a ,
ces équations devienoeût
de manière que les foyers de la lentille so^t détermines finalement par les équations
5162. — CorolLi. Le pouvoir d'uiie lentille est proportionnel à la différence des courbures des deux surfaces poai un ménisque ou pour une leiitilie cohcavo-î^convexe, et à leu 1 somme pour une lentille bi-convexe ou bi- concave.
Quant aux lentilles piano-convexes ou piano-concaves . leur pouvoir est simplement proportionnel à la courbure d< la surface convexe ou concave.
a65. — CorolL 2. Dans les lentilles bi-convexes, R^ es< positif et R'' négatif 5 de sorte que , si |* surpasse l'unité , F esi positif, c'est-à-dire que les rayons convergent vers un foyef derrière la lentille. Dans les lentilles piano-convexes, R^urci et R' est positif, ou R'zzzo et R* est négatif (260)) d'où il suit que F est positif et que les rayons convergent dans le^ deux cas. Il en est de même des ménisques oii R' est égaler ment positif , et où R'^, quoique positif , est moindre que R^
(fig- 49)-
Dans ces différents cas , le foyer est dit réel, parce que les
rayons s'y rencontrent effectivement. Le contraire a Heu à
l'égard des lentilles biconcaves, piano-concaves ou concavo-
concaves^ le foyer se trouve du côté opposé , c'est-à-dire du
côté des rayons incidents , et les rayons parallèles divergent
après leur réfraction , à partir de ce point.
bans ce cas donc ils ne se rencontrent jamais , et ce foyer
est Aitfojrer virtueL
264. ->- Coroll, 5. Si fA ^ I , c'estrà-dÂre si la lentille est faite d'une matière plus rare que le milieu ambiant ( qui ne doit point être lé ride, pourvu que tout le système s'y trouve plonge) , ^ — I est négatif, et toutes les propriétés des lentilles convexes appartiennent alors aux lentilles concaves : celles-ci ont alors un foyer réel, tandis que celui des autres l'est que virtuel.
265. — CoroU. 4- Les ïentilles bi -* convexes , piano convexes ou ménisques , formées d'une matière plus dense qne le milieu qui les environne, ont un pouvoir positif : le contraire a lieu si leur matière est plus rare.
266. — CorolL 5. Le foyer des rayons parallèles est tou<jours à la même distance, quelle, que soit la face de la lentille qui reçoit les rayons. En effet , si l'on retourne la lentille , K devient R* , et réciproquement; mais , comme elles changent de signe en même temps , la valeur de F ^'éprouve ^ur cane altération,.
