r- Second cas. Pour dea réflecteurs
et
Taberration latérale =: — -^ ( R — D ;' j^ ;
ce qui devient, quand les rayons sont parallèles, A/=:RV, « = — i Rj-» j l'aberration latérale = — \ K" y*, j
287. — Dans le cas général, en posant DirrR ou bie mR — (i+m)D=o, ce qui donne
la valeur de ^f, et par conséquent l'aberration même s'évanouit par ces deux hypothèses : dans la première , le rayons convergent vers le centre de courbure, et échappen ainsi à la réfraction ; dans la seconde , le point cherché est 1 même que celui de l'art. 254-
Il est évident, d'après ce que nous avons démontré à ce article , que toute svrface spkériqne CP a sur son axe deu:
poifits conjugués Q, q, tels, que les rayons convergents ou direi'gents par rapport à l'un d'eux doivent , après leur réfraction y converger ou diverger rigoureusement par rapport à l'autre.
Nous nommerons ces points les Jokers csplanétiques de la surface; et , pour les distinguer, Q sera le foyer aplanëtique des rayons incidents, et q celui des rayons réfractés. Pour le& déterminer dans un cas quelconque , sur l'axe de la surface proposée G et du c6té concave. Ton prendra
CQ=:(fA+i)Xle rayon G £ de la surface , et G ^ = ( - -f- I ) X le rayon.
Q et ^ seront alors les foyers aplanétiques demandés. Dans le cas de la réflexion ,
P=: — I, GQ:=2C^=:o,
et les foyers aplanétiques coïncident tous deux avec le sommet du réflecteur.
288. — L'effet de l'aberration est d'allonger ou de raccourcir le foyer, suivant la position du foyer des rayons incidents. D'abord, quand D=z:o, c'est-à-dire quand les rayons sont parallèles , Ay*et R sont de même signe, et par consëquent &> est de signe contraire ainsi que
Dans ce cas donc il est évident que l'aberration raccourcit ^ foyer des rayons extérieurs*
189. — Q maintenant est supposé infiniment éloigné : à iQesure qu'il approche de la surface , ou que les rayons , de parallèles qu'ils étaient , deviennent de plus en plus convergents ou divergents , l'aberration diminue; mais le foyer des rayons extérieurs est toujours plus rapproché de la surface ^^ celui des rayons centraux, jusqu'à ce que Q coïncide avec ^) fyycr aplanéiique des nffons incidents dans la partie
concave (fig. 54) 7 ou avec le foyer des rayons parallèles (E) dans la partie connexe* Lorsque Q occupe le premier de cei points, l'aberration est nulle ; s'il occupe le second, elle devient infinie.
ago. — Quand Q se trouve eiitre ces deux points , V erration a pour eflfet de rejeter le foyer des rayons extérieurs plus loin de la surface que celui des rayons centraux Ces re'sultats se déduisent facilement de la considëratioi d'une foule de cas particuliers , et ont lieu pour toutes le courbures et pour tous les milieux réfringents.
Quant aux réflecteurs , les foyers aplauëtiques coïnciden avec le sommet, et le foyer des rayons extérieurs est plu court que celui des rayons intérieurs dans tous les cas, en ex oeptant celui où le point rayonnant se trouve , du côté coa cave , entre la surface et le foyer principal. Dans ce demie cas, au contraire , il devient plus long.
Problème.
291. — Assigner les aberrations d'un système de surfac< sphériques qui se suivent immédiatement.
Conservant la notation de l'art. 267, considérons le raye au moment où il tombe sur la seconde surface, après avo traversé la première. Son aberration proviendra alors c deux causes distinctes : i» de ce qu'après son passage par première surface , au lieu de converger ou diverger vers foyer des rayons centraux , sa direction était réellement ve un point de l'axe autre que ce foyer , effet dû à Taberratic de la première surface; 2*» de ce que, tombant à une certaii distance du sommet de la seconde surface, il se fait une noi velle aberration.
Commes ces aberrations partielles sont toutes deux assi petites, les principes du calcul différentiel nous permette de les calculer séparément, en les regardant comme indépe: dantes entre elles, et de prendre leur somme pour l'abern
I tioB totale du système des deux surfaces. CeUe remarque est encore vraie à Tégard des petits chaugemeots qu'ëprourent les valeurs de /' , y , etc. , par les aberratioofs. Si nous ' Botons ainsi par Sy^ le changement produit dans la valeur I de/' par l'action de la première surface , par Vf" celui qui résulte immédiatement de la seconde , et par ^f" Taltëration totale due à ces deux causes , nous aurons
A/'' = If + Vf.
Maintenant, pour trouver d'abord l'altération partielle
provenant de l'altération totale ^f dans la valeur de f ,
c'est-à-dire de l'aberration de la première surface , nous
«Tons
(t par conséquent
puisque dans ce cas
D' =: D , D* =/' , P*' =/" , etc.
Pour déterminer la variation partielle Vf provenant immédiatement de l'action de la seconde surface, nous aurons 'ecours à l'équation (c) , qui donne sur-le-champ , en écrivant/' au Jieu de D , et en négligeante^, etc. ,
Celte même équation donne aussi
ty^rro'A/'^:"^"*'^' "'"'^ (R'-D)' [m'R'— (i+mOD]^'.
Je \
Nous obtiendrons donc la valeur de a/* en réunissant ces <ieux variations.
La valeur de ^f peut se déduire de celle A/" d'une ma- ^cre absolument semblable , et l'on a pour résultat
et ainsi de suite. Nommant alors , comme a l'article 2! M', M', M". . . MC**) , les indices de réfraction absolus de cha< milieu que le rayon traverse successivement, et posant M^^'z: l'on parvient sans peine à l'expression générale suivante, d laquelle À/* désigne l'effet total de l'aberration à l'égard d valeur inverse de la distaiice focale du système :
L'on se rappellera que
ffif rzz ( , m'" ) R'" -f m"' ( i —m " ) R"
292. — Ces valeurs étant subsliluées dans celle de A cette dernière quantité se trouvera exprimée en foncti explicite des rayons des surfaces et de leurs indices de r fraction , ou de quantités réciproques à celles-ci.
Si le système se trouve dans le vide, ou si la dernière r fraction se fait dans le vide, M =: i , et le second membre l'équation (/') fournit une expression fort simple de la vale de à/.
Dans tous les cas , l'aberration totale est donnée, comr ci-dessus , par l'équation
et l'aberration latérale
---yrjr.
9^. — Pour exprimer raberratiou d'une lentille infiniment mince placée dans le vide, désignons respectivement parQ', Q", etc., les différents termes de l'équation générale ; de manière que
M . A /= ( Q' + Q" +.Q'" + etc. ) y^ . (*) Alors, pour le cas d'une seule lentille dans le vide , quand
m" = ^ , M' = -i- , M" = I , M = I , TTv nv
l'on a
et, posant pour un moment
l'on trouve
d'où
Q'+Q"=— i^^^'C[(îm'B.C)(m''B-m'D)+(C.m'B)^].
En écrivant , au lieu de B et de C, leurs valeurs, et - au
' I* ueude m', le polynôme entre parenthèses devient
J|[(2-pt)R' + p.R"-2D] [R'(, + f,)D]
Après avoir opéré toutes les multiplications et ordonné d'après les puissances de D , l'on substituera le résultat ainsi Çie la valeur de
m' (= -) et de C ( == R' — R'' )
dans Inéquation qui donne la valeur de Q' -|- Q" ( =:r Ây| et il viendra
A/ = (f.~ i)(R'~R").f^Ca-pn4.yI>), en supposant
p = (4+5p-5f.')R' + (pt+5pt»)R" |(
7 = 2 + 5 fA. J
Or il a été démontre, à l'art. 261, que (p — 1) (R' — R' est l'expression du pouvoir de la lentille^ de manière qu'e écrivant L à sa place , nous aurons
A /= i. (« — P D + v.D')^^*. . (if
Telle est alors la valeur générale de ^/ : on en tires celle de l'aberration w pour une lentille quelconque , a moyen de la formule
W — - — ii — •
^94* — Corail. 1 . L'aberration d'une lentille s'évanou quand il existe entre D et les quantités R, R" et p , une rela tion telle que
Il vient alors , toute substitution et réduction faites ,
j3^ -. 4 « y = >» [ ( R+ R'fy (2 ^^ 3 ^. ) (Rf Rrr),i
Si cette quantité n'est point positive, c'ést-à-dire st Ton n' pas
/ R' 4- R" \îi ^ , -
i49 If foyer des rayons incidents pqpeut avoir une situation telle que l'aberration disparaisse ; mai^ si les courbures R' et R' satisfont à cette condition, la valeur de D peut se déduire sur-Ie-cbamp de l'équation (ft).
295. — CorolL 2. Chaque fois que, dans les ménisques ou dans les lentilles, concavo-convei^çs, la différence des courbures est petite en comparaison de Wr somme , c'est-à-dire chique fois que de grandes conrbpres ne produisent qu'une longueur focale médiocre , l'on pourra réduire l'aberration a Tolonté , en plaçant convenablement le foyer des rayons incidents. Pour: une lentill.ç de. crOT?0-glass ,
ff == 1 . 52 et t^5 ^ -f 5 ft* = 3.16':
par conséquent la somme des courbures doit égaler au moins 3 . 16 fois leur différence.
Quant aux lentilles bi-convexes ou bi-concaves , R' et R'' étant de signe contraire , il est impossible de satisfaire à la condition exigée.
296. — CoroU, 5. Si a s=: o, l'aberration s'évanouit quand lesrayons sont parallèles. Dans ce cas, cependant, les valeurs ^e R' et de R" ne peuvent être réelles qu'autant que |x ne ^rpasse pas \ , et l'on ne connaît aucun milieu ^oué d'vin fouyoir réfringent aussi faible.
297. — CorolL 4» L'aberration aufa pour effet d'accourcir ou d'allonger le foyer des rayons extérieurs, suivant que les ^'gnes de A^el dey seront semblables ou opposés.
Dans certains, cas particuliers, cependant, cet effet dépendra des valeurs attribuées à |i, R, R' et D. Le cas le plus ®ïportant est celui de rayons parallèles : D est alors égal à z^ro , et
2 fit L+(P+2fA' — 2p3)R/R'/-|-p3R73j-
Le foyer des rayons eitérieurs sera plu9 conrt on pins lon^ que celui des rayons centraux , suivant que cette quantité* aura un signe semblable ou opposé à celui de L-, c'est-à-diresuivant que
sera positif OU négatif. Or, d'après ce que nous avons vu dan»^ le corollaire précédent, cette quantité ne peut devenir néga-^ tive par aucune valeur réefle de R' et de R^ , à moins que» ft -^ ^. Pour tous les autres milieux (ce qui comprend toutes les substances diaphanes connues jusqu'à ce jour) travaillés en forme de lentilles , la longueur focale dés rayoAs exté^ rieurs sera donc plus courte que celle des rayons centraux y, quelle que soit d'ailleurs la courbure des surfaces.
298, -^ CorolL 5. Pour un ménisque de verre, quand le point rayonnant se trouve du cbié connexe, et que jes rayons divergent, 4 -|- ^ P — 5 p' est une quantité positive : or^ R' et R" étant tous deux positifs, p l'est également. Ainsi (D étant négatif dans ce cas) le terme — ^ D, et par conséquent tout le facteur a — p D -|- 7 D% est positif. De plus , L étant aussi positif, A/* l'est également, et l'aberration w devient négative. Il suit de là que, lorsque le point Q est au-delà de F, le foyer des rayons parallèles tombant de l'autre coté , celui des rayons extérieurs est le plus court; mais il est le plus long si Q se trouve entre F et C.
