CorolL 6. A moins que
aucune valeur réelle de D ne peut rendre négatif le trinôme
Il résulte de là que, dans toutes les lentilles bi-convexes ou bi-concaves , aussi-bien que dans les ménisques et dans les
lentilles concavo-con vexes où la soniiBç des courb^r^/ des
surfaces fait plus que J/ 2 p + 5 p' fois leur diïçrence , le facteur ai — j5 D -j- y D^ est pçsitif pour toutes les valeurs de D,et par conséquent l'aberration w est d'un signe contraire à celui dqi L. Ainsi, pour toutes ces lentilles, l'on peut énoncer la règle suivante, qui est k la fois simple et g<^nërale :
Uaberration a pour effet de rejeter le foyer des rayons extérieurs plus près de la source de la lumière que celui des rajonf centraux, quand la lentille apourcaipctère le signe -j-, c'est-à-dire quand ellejait converger les rayons parallèles ; oicor^aitv, elle le rejette plus loirfsi la hyitille est caractérisée par le signe — , c'est-à-dire si elle fait diverger les rajrons parallèles,
3oo. — CorolL 7. Toutes les autres leatilles ont, CQmme «ans le cas de simples surfaces , des foyers aplanëtiques correspondants aux racines de l'équation
En général , il y a deux foyers semblables pour lés rayons incidents et deux pour les rayons réfractés, et l'on petit aisément trouver des règles pour déterminer dans quelles positions du point lumineux, par rapport à ces foyers et à la lentiUe, l'aberration tend à accourcir ou k allonger le foyer extérieur; mais il est plus simple et plus expéditif d'avoir Recours directement aux formules algébriques.
3oi. — CorolL 8. Dans le cas de la réflexion , quand les rayons , par exemple, sont réfléchis entre les surfaces de lentilles même de matière diaphane , l'on a .
m' = m* =: etc. =z p' =: p* etc. zz: — i , .
M' = — I , M^ = -f- I , etc. , et M = db I,
suivant que le nombre des réflexions est pair ou impair.
iSa Ainsi pour n réflexions on aura
et
— etc.
formules qui servent à déterminer, dans tous les cas de ré' flexion interne entre des surfaces sphériques , les deux place des foyers successifs et (es aberrations.
5o2. — ' CorolL 9. Si les réflexions se font entre des sur faces de même courbure , dont les concavités sont tournée en sens opposés, f^ , y" , etc. , se suivent en progressioi arithmétique , et par conséquent leurs valeurs inverses 01 les distances focales en progression harmonique.
Problème*
3o5. — Construire une lentille aplanétique , c'est-à-dir qui réfracte en un seul point tous les rayons convergents o divergents partis d'un autre point.
Soient Q et ^ les deux points en question, le premier étan le foyer des rayons incidents, l'autre celui des rayons r^ fractés. Soit p l'indice de réfraction^ posant Q «^zz: 2 c, < donnant à b une valeur arbitraire, on construira la courb dont l'équation est (n), art. 252. Soit HPC (fig. 56 ) cet! courbe.: du centre q , avec un rayon q N moindre que 1 rayon réfracté quelconque ^P, l'on décrira le cercle HNF
Alors , puisque le rayon Q P , par la nature de la courbe H P G 9 est dirige vers le point q après sa réfraction, et qu'il tombe perpendiculairement sur la seconde surface, il n'éprouvera aucune inflexion, et, à sa sortie du milieu, il continuera sa route vers q. Si l'on suppose alors que la figure C P N K tourne autour de Q ^ ^ elle engendrera un solide de révolutiou , qui sera la lentille demandée , . puisque sa matière csl celle du milieu même. Quand les rayons sont parallèles, comme danslafîg. 58, nous savons déjà que la courbe est une section conique , et que c'est une ellipse quand la lentille est plus dense que le milieu ambiant. Ainsi un ménisque de verre dont la surface antérieure et convexe est une ellipse, et dont la surface postérieure appartient à unç sphère dont le centre est au foyer des rayons réfractés, est une len- ^Wapîanétique*
504. — Mais, sans avoir recours aux^ections coniques, on peut, dans certains cas, produire le même effet avec de simples surfaces sphériques. En effet , Q et ^ ( fig. 65) étant les fojei:$ aplanétiques d'une surface sphérique réfractante , si dn centre q , avec un rayon quelconque plus grand que qC quand les rayons incidents divergent du point Q comme dans la partie inférieure de la figure, mais moindre que q C s'ils convergent comme dans le cas précédent, l'on décritle cercle J^.L ou k l, et que l'on fasse tourner la figure autour de Q^ comme axe, les surfa<ies CPKL ou c/?^/ engendreront la lentille en question. Cette construction est une conséquence évidente de la formule générale (i) , art. 291 : car si Pi" zz:/"' > la valeur de A/* devient simplement
• ( R' — D' )' [ m'R'— ( I + m' ) D Jj-' ,
^ s'évanouit quand
c*e&t-à-dire quand Q est le foyer aplanëtique des rayons
cidents sur la première surface.
L'ëquation
a— -pD-f.7D' = o
donné néanmoins une relation entre /x , D , R' et R" , i ]>ermet de-constniire une lentille aplanëtiquc dans le général. ( Voy. CoroU, i , art. 294. )
5o5. — Assigner la forme la plus avantageuse que pui prendre une seule lentille d'un pouvoir donné , pour c côUe-ci ait la moindre aberration possible quand les ray< sont parallèles.
Puisque l'aberration ne peut être entièrement détru dans le cas de rayons parallèles ,*quand f* ^ 7 ( art. 296 nous essaierons de 1^ rendre la plus petite possible* Or
pour des rayons parallèles , ou
et en général
d (ù zzz [ Là d OL — aâfLl.
Dans le cas actuel L est donnée : nous devons donc po
c? a = o ; d'où résulte
0= 2 (2—2 fz^-|-f*^) ^'^^'
Mais la condition ^L = o donne
i55 ce qai réduit notre équation à
d'où l'on tire
Dans Je cas d'une lentille de verre , en prenant fxcz: i . 5 , cette fraction devient égale à — ^ : ce qui montre que la lentille doit être bi-convexe,et que la courbure de la surface postérieure ne doit être que le sixième de celle de la surface intérieure , ou que son rayon doit être six fois plus grand.
Les opticiens donnent quelquefois à de tels verres le nom ie lentUies croisées.
5o6. — Corott. I. Si |x = I . 686i , valeur qui convient à peu près aux pierres précieuses et aux verres les plus réfringents, R"3zo; et la figure la plus avantageuse pour concentrer la lumière est celle d'une lentille plàno-convexe dont ! la surface courbe reçoit les rayons incidents.
507. — CorolL 2. Nommant &> l'aberration d'une lentille <le la forme la plus avantageuse, nous aurons
« = — Hr • L .
pour l'espèce de verre dont l'indice de réfraction ri: i . 5 J <ïl les aberrations dues à d'autres formes seront proportiod- Qelles à cette quantité :
Untille piano-convexe dont la face plane est tournée du côté des rayons inci-* dents 4 * ^ X ^^
piano -convexe, tournée en sens opposé I . 08 I X «
bi- convexe ou bi-concave avec les
deux faces d'égale courbure . . 1 . 567 X ^
Problème.
5o8. — Trouver Texpression générale de l'aberratian d'ui système quelconque de lentilles infiniment minces placée immédiatement l'une derrière Pautre daus le vide.
La valeur générale de M A/* (ou de ^f, puisque dan^ Thy pothèse actuelle M = i ) est
(Q»4-Qrr + Qrn + Qrr+etc.)r T
qui se divise en plusieurs termes provenant successivemec: de chaque lentille , de la manière suivante :
A/= ( Q' + Q") 7-' + ( Q'" + q^^)r + etc.
JVous avons déjà considéré la première de ces quantités essayons maintenant de découvrir la composition des autrçi termes.
Soient donc |x' l'indice de réfraction de la première len* tille , fji" celui de la deuxième, /x'" celui de la troisième , et a', (5', 7', les valeurs de a, |5, 7», pour la première lentille, ou les expressions (/) , art. 292 , en y changeant seulement ,a en y.'. Soient de même a", ^", 7", les valeurs analogues pour If deuxième lentille, c'est-à-dire ce que deviennent ces même expressions (/) quand on écrit p" au lieu de p , et R'" et R' au lieu de R' et de R", et ainsi de suite pour toutes les z^utrc lentilles.
309. — L'examen des valeurs de Q'" et de Q'^ nous fa voir qu'elles sont composées on m'", m'^, M'", M'^, R'", R' y" ety^", absolument de la même manière que Q' et Q" I sont en m', m", M', M", R', R", D et/.
D'ailleurs-, puisqu'en vertu de l'art. 25 1 nous avons
/' =(i — iii')R'+m'D,
=: (I — 7ii")R"+m"(i — m')R'+m"m'D,
= (fi~i) (R'— R"j-j-D, puisque m'rz:- , m" = pc ,
Nommant D" cette dernière valeur ( L est le pouvoir de la première lentille ) ,
y^= (i— m'v) R'^+ m'^/'" = L" + D" , comme ci-dessus ( L" est le pouvoir de la seconde lentille ) ;
/^ = L + L' -|- D 1 et ainsi de suite.
Il est évident que Q'" -|- Q'^ sera la même fonction de i'iodice de réfraction des courbures des surfaces et des quantités D"ety^" par rapport à la seconde lentille que Q'+Q" par rapport à la première lentille. Il résulte de là qu'en suivant toujours le même système de réductions qui nous a conduit à l'équation
nous devons parvenir à une équation exactement de la men»e forme pour Q'" -j- Q'^, c'est-à-dire que
L" Q"» -|- Qnr = . ( ^fi prr D" + y" D"^ ).
Il en sera de même des lentilles suivantes : de sorte que l'on anra finalement pour le système entier ( en écrivant L', D*, fi', au lieu de L , D , |x )
À/=:'ZlTt!(«r. p'D'-f7'D'')+î^(a"-p"D"+y''D"^)+etc.l; (5) ^ Lf* F" J
^qiation dans laquelle le nombre des termes égalera eclui des lentilles.
iS8 5io. — CorçUaire. Pour des rajons parallèles, D' = o , D"= L' , D"'^ L'4- L" , etc- ^ par conséquent
-{-etc.
5i I . — Quoique l'aberration d'une seule lentille ne pi être détriiite entièrement qu'en supposant un certain inn de réfraction qui ne se rencontre point dans la nature , peut cependant atteindre ce but de différentes manières combinant deux ou plusieurs lentilles. Ainsi, dans le ca; deux lentilles , l'expression (^ , étant égalée à zéro , fou une équation qui renferme ii\ p", L', L", R', R", R'", I et, puisque L' et L" sont des fonctions des quantités coni p' et |x", les inconnues se réduisent à quatre, qui sont R',
Comme l'on peut satisfaire d'une infinité de manière l'équation unique dont elles dépendent , le problème d( destruction de V aberration de spliéricité , tel que nous \ vonsposé, est indéterminé.
5 12. — Dans le cas de deux lentilles et de rayons parai les , l'équation est
0= -^ r(2-2fil''+fx'5)R'^+fp/+2p'^-2p'3)RrRff j^f3Rff3l
J^ rL- (2-2p"^-j-p''3)R'"^-f(p"-j-2pi"»-2|x"3}R'"R'V
~î^'[(4+5p"-5.t.'-)R'"+Cf*''+5a"^) R'vJ I
5i5. — Quand les pouvoirs L' et L' des deux lentilles seroDtdonnés, cette équation ne sera que du second degré en R', R', R*' ou R'^ : la réalité des valeurs de ces quantités dépendra donc de l'hypothèse adoptée pour limiter le problème. On pourra toujours en éliminer deux à l'aide des équations
L'=(|x'— i) (R'— R») et L"=:(pt"— i)(R'"— R'^): l'équation finale ( en R' et R'", par exemple ) sera
.=:L{^R'.-îii±iL'R'V ""
et comme les inconnues R', R'", rie sont point combinées par voie de multiplication , lorsque les valeurs de L' et de L'' seront données, elles ne s'élèveront qu'à la seconde puissance. Nous ferons usage de cette équation quand nous exposerons la théorie des lunettes dioptriques.
5i4. — Si L' et L" ne sont pas données , puisque chacune de ces quantités est du premier degré en R', R", etc., l'équation (u) monte au troisième degré, tant en R' qu'en R'', etc. , ou enL', L", si l'on a éliminé R' ou R'^.
Comme touie équation du troisième degré doit avoir an iQoins nne racine réelle , on en conclura
'• Que, si Fort donne les courbures de trois surfaces dans ^^ système composé de deux lentilles , celle de la quatrième -^^acepeut toujours être prise telle qu'elle détruise l'aberra- ^^ de sphéricité;
5i5, — 2» Que, si Von donne la courbure d'une des swfa- ^cs de chaque lentille et le pouvoir de l'une d'elles , ou leur
pouvoir commun, l'on pourra ioufoursdéiruire l'aberratioitc^ sphéricité. en choisissasftune valeur convenable pour le poim voir de la seconde lentille >
Cette proposition est ëvidénfte : en effet, en supposant doc nés R' et R*^' et L' ou L", ou leur somme L' -|- L", Te'qnalia {v) devient du* troisième degré en L' ou en L" , et Tinconno a nécessairement une valeur rëelle.
Si 6. — Pour donner un exemple des combinaisons apla nëtiques, nous choisirons le cas suivant, où une lentille d< verre , douée d'un pouvoir réfringent zz: i . 5o , de la forme la plus avantageuse, puisque ses rayons de courbure sont respeclivetnent de 5 . 855 et de — 55 . ooo pouces, et sa longueur focale z=: 10 . ooo pouces, est combinée avec une autre lentille de même verre placée derrière elle, comme dans la fig. 55.
Cette dernière lentille est un ménisque. Si Ton déterminait ses courbures par la condition que le pouvoir du systè* me fîlt le plus grand possible , les rayons de ses surfaces et sa distance focale auraient les valeurs suivantes :
Rayon de la première surface . . iz: -|- 2 . o54 pouces. Rayon de la seconde surface. . . = -|- 8 . 128 Longueur focale de la lentille de
correction zz -|- 5 . 497
Longueur focale du système. • . ziz -}- 5 . 474
Si l'on voulait, au contraire, que les lentilles fussent com binées de manière à détruire l'aberration , en donnant ox système entier une valeur qui approchât le plus possible, d 10 . 000, l'on trouverait le rayon de Ja
pk-emière surface zz: -|- 5 . 68Ê
Celui de la seconde =: -|- 6 . 29^
La longueur focale de la lentille de cor-
rection zz: -[- 17 , 82g
La longueur focale du système . . . . = -j- 6 . 407
ibf
317. — L*oa peut observer d'une manière fort curieuse l«s effets .de Taben^ation , en exposant au soleil une grande leotille convexe, couverte d'une feuille de papier percëe régulièrement de petits trous ronds : l'on reçoit les rayons con. vergentA sur un papier blanc placé au-dessous de la lentille , en le tenant d'abqrd très près; puis on Pëloigiie peu à peu. , Les faisceaux qui traverseront les trous formeroitf sur Técrau des taches lumineuses dont U. distribution deviendra de plus en plus inégale à mesurcf.que l'écran s'éloignera davan-. tage, celles, de la circonférence se rapprochant Ifeaucoup pins vite que celles du centre. La manière dont les tacbcg qui correspondent aux rayons centraux se confondent en ne seule image au foyer, et dont celles qui répondent aux nyons extérieurs se répandent à l'entour, peut donner une idée très juste de la variation de densité des rayons dans le cercle de moindre aberration au foyer principal ou dans le voisinage de ce point. Si Ton agite rapidement l'écran iaai le xône de rayons' de manière à le faire passer pardessus le foyer à chaque oscillation , le cône entier se dessi- Bera dans l'air comme un corps solide , et la place itii cercle de moindre aberration deviendra sensible à la vue : ce qui rendra l'expérience aussi agréable qu'instructive.
{XI. — Des foyers de rayons obliques et de la 'formation des images.
foten de fiiisceaùx obliques. — DéGnition des imag^ en optique. -«
Forme de rimage d'une ligne droite. — Foyers de faisceaux obliques
toBbsutsur un système de surfaces sphériques. — Centre d'une lentille.
^,Le8 rayons qui traversent le centre ne dévient point. — Foyer d'un
■ûceaa très peu oblique qui traverse une lentille mince. — Image reu«
^l^née d'un objet, formée derrière une lentille convexe. — Explication
QeUchambre obscure. — Vision oblique par rapport à des surfaces ré-
»ât| ^tcUotesou réfléchissantes d'une figure quelconque. — Figure appa-
' tttite du fond horizontal d'une eau tranquille. ~- Règles pour trou-
'^ le lieu , etc. , d'une image. — Règle pour les réflecteurs. — Règles
pQw les lentilles. — Clarté d'une image. — - Les images sont toujours
^^ éclairées que les objets.
