AG

ou comme

CB i/^D» — a» ^

nous n'avons qu'à rendre cette quantité un màiimum^ oii à

faire

€/F = o^ ou if (F»)t= o^

te qui donne

^ {d"4~D"«} =^' ^"- D^+ W = ^* 2D* — 5a'= ô, ouD=±:tt. ^/T"

et B G = l/'D»— a» zHz T^ '^ o . 707 X ÂTF.

27. — Définition. La grandeur apparente d'un objet est la portion de la surface d'une sphère ayant l'œil pour centre et l'unité pour rayon , interceptée par un cône qui aurait l'objet pour base et l'œil pour sommet.

a8< •— Ainsi U grandeur apparentt d'un p^tit objet est en raison directe de Taire d*nne section de ce cône % perpendicalaire au rayon visuel , et en raison inverse du carré de la distance de l'objet. Si celui-ci avait sa surface perpendiculaire au rayon visuel , le rapport prëce'dent se réduirait à l'aire de l'objet divise par le carré de sa distance.

39. r- Définition. V éclat intrinsèque réel d'un objet lumineux est l'intensité de la lumière de chaque point de sa surface ^ ou la mesure numérique de la force av^c laquelle ce point (de grandeur finie ) éclairerait un objet donné à une distance donnée , en choisissant pour unité un certain degré d'éclairement. Quand nous disons simplement récli|t intrinsèque , nous entendons toujours l'éclat intrinsèque réel.

5o. — Coroll. I. Par conséquent le degré d'éclairement d'un objet exposé perpendiculairement aux rayons d'un luminaire est proportionnel à la grandeur apparente de ce lu*minaire et à son éclat intrinsèque.

5r. — CorolL 2. Réciproquement, si ces deux quantités ne changent pas ^ le degré d'éclairement ue changera pas non plus. Par exemple, l'éclairement dû aux rayons directs du soleil est le même que celui que l'on produirait en plaçant à la distance de dix pieds un cercle d'un pouce de diamètre détaché du disque du soleil, et en supprimant tout le reste de cet astre : en efifet, une telle portion circulaire aurait la niê^ me grandeur apparente que le soleil tout entier. Cet exemple peut donner une idée du vif éclat du disque solaire.

32. — Définition. L'éclat intrinsèque apparent d'un objet 6u luminaire est le degré de clarté de son image ou représentation au fond de Tœil : c'est par cette clarté seule que ttous jugeons' de l'éclat. Un th minaire peut être plus eu moins brillant : si, paV une cause quelconque, Téclatreecieut

ie son image dans Pœil est affaibli, ton ëclat diminuera pour nous dans la mtme proportion : c'est ainsi que nous pouvons filer nos regards sur le soleil à travers un verre jioir ou les Vapeurs de Thorizon.

55. — Définition. La lumière absolue d'un luminaire est U somme des aires de chaque élément , multipliées chacune par son propre éclat intrinsèque ; ou si chaque partie de la sorface est également éclatante , la lumière absolue est simplement égale au produit de Taîre par l'édàt intrinsèque. C'est la même quantité que nous avons désignée précédemment paf L.

54- — Définition. La lumière apparente d'un objet est la quantité totale de lumière qui vient frapper notre œil , quelle que soit la manière dont elle se distribue sur la rétine.

Dans le langage ordinaire , quand nous parlons de l'éclat d'an objet d'une grandeur considérable, nous avons toujours en vue son éclat intrinsèque apparent,

55. — Cependant, quand l'objet n'a pas de dimensions sen« sibles,tel qu'une étoile, nous n'avons jamais égard qu'à sa lumière apparente (ou, si je puis m'eiprimer ainsi,àsonécZaf ia^ solu apparent) , parce que , ne pouvant pas diviser p'br la vue un semblable objet , notre œil est affecté indistinctement de toute la lumière qui en émane. La même chose a lieu pour tous les petits objets indivisibles. Les auteurs qui ont écrit sur l'optique sont tombés souvent dans la confusion , faute d'à- .voir obset*vé ces distinctions.

56. — Quand nous nous éloignons d'un luminaire , sa lumière apparente diminue par deux causes :

i<» Nos yeux, ayant une grandeur déterminée , présentent une certaine surface à la lumière , et reçoivent par conséquent une quantité jle rayons réciproque au carré de la distance.

9t<* En traversant Tatmosphère, ub«^ partie de la lumière se trouve arrêtée et absorbée à cause de la transparence impar-. faite de Ta^r- .

Néanmoii^s , nous n'aurons pas encore égard à cette der-. nière cause. £h vertu de la première seulement , la lumière apparente d'un lumiuaire est doue ipversQjj^.ent proportionneUe au carré de la dis/ance » ou directement à la. Iwnière»

■ 57. — Uéclat intrinsèque apparent est égal à ht himièreapparen te divisée par Faire d^J'ÎBMge qui se peint sur la ré-, tine ; mais cette aire est proportionnelle à la grandeur appa-.

rente du luminaire, c'est-rà-dire à sa surface réelle A divisée

par le carré de sa distance D , ou à =^. De plus, la himière

apparente, comme nous venons de le voir, est proportionnelle

a =r-^ ^ l i\é&i^nsLnt^ V4c\fiL% intrinsè(|UjS réel. L'éclat intriosè-

que apparent est donc proportionnel à =r-^ : =— ^ ou simplement à I , et ne dépend ni de A ni de D : il est donc le même pour toutes les distances, et reste toujours proportionnel à TécUt. intrinsèqu.e réel. Cette- conclusion est (ordinairement énoncée ei\ ces termes dans les traités d'optique , gue les objjsts parais àent également éclatants à toutes les distances, ce qui qe doijt s'entendre qu(; de leur éclat intrinsèque apparent; encore cette proposition n'est-elle vraie que dans l'hypothèse ou la lumière n'éprouverait aucune diminution en traversant; un miliçu.

58- — l/angk d'émanation d'un rayon qui s'échappe d'une snrface lumineuse est celui q^'il forme avec cette surface au point dont il émane.

59.. -^ Les physiciens qui se sont occupés d'optique ont, long'lemp» acuité la question de savoir si l'inlcnsité de la In^. mière était la même daiis toutes les directions , ou si eUp.xa-r.

mit ftvec l'angle d'émanatiooi. Euleri dans ses Réflexions sur les divers degrés de la lumière du soleil, etc. (Berlin , Mém. , yjSo ) ,. page- 280 , a adopti^.'la .première opinion^

D'uoeautre parts Lambert {Photométrief^. 4l) prétendqiie cette intensité delHi lumière ou densité des rayons ëmis^ par une soFface lumineuse dans une certaine direction est proportionnelle au sinus de l'angle- d'émanation. Si nous c«n-r naissions la nature intime de la lumière et le véritable mécanisme par lequel le&: corps l'émettent et la réflécbisseht , aoos pourrions d.écider la question a priori^ si nous étiona assorés, par exemple-, que de diaque molécule de la surface d'un corps émane un rayon de lumière sur lequel les rayons.émanés.des moléeoles restantes nfont aucune influent ce , et que- de plus tous ces. rayons se i^andent libr-ement dans toute». les directions, alors, puisque chaque point d'une surface plane et lumineuse est visible à l'œil , quelle. que soit sa position, oblique ou perpelidiculaire au-dessus de ce plan, et lui envoie , dans cette hypothèse , le même nombre de rayons , la lumière totale émise par une surface de grandeur déterminée serait la même pour tous les angles d'émanation. Mais comme la grandeur apparente de cette aire est proportionnelle au sinus de son inclinaison ^ur le rayon visuel , c'est-àrdire au sinus de son angle d'émanation, cette lumière se distribue sur une moindre surface of^mrente :■ par conséquent son intensité, ou l'éclat apparent de la surface croîtrait en raison inverse du sinus de l'angle d'émanation. D'un autre c6té, si, comme il y a lieu de le croire, la lumière n'émane point de la. surface des eprps, mais d'une certaine profondeur^ si ces surfaces elles-mêmes ne sont pas des plans purement mathématiques , mais plutôt une, série de points physiques retenus dans leur situation par des forces attractives et répulsives ^ et si l'intensité de l'émanation de chacun -de ces points dépend , jusqu'à un x:ertain degré, de leur liaison mutuelle, il n'y a pas de raison pour supposer a priori une égale émanation de lumière dans toutes les directions f

Ht , {Kmr tro«yer ht Wriltibte loi > non» devonf l*ecanrir au3i ebnervaUètis direet«6.

L'astronome ik^mê éfpttnà que le soleil est une «(>hèri» : il en résnite i{oe clïàqfie pâttie àé son dnqne Visible motiS pa-* vattsolii tons les imglesâ'ÂcKtoaison possibles. Maintenant , si nous eïanînons sa isu^face kù télescope , ^le ne paratt cet*'^ taineinent pas pluà brillante & U circonfljrenté c(ti*an eéntf e, Gep^nilant , si l'hypothèse de T^^manation ^gale «était jiiste , l'ëeiàt devrait aller en ctYnssant k paitir da centre ^ et de-» vvsndrait infini sur les bords | de telle sorte <pve le disqtre Bons paridtrait eiitonre' d^Em anneau d*un éclat nifinnment pkis TÎf qne la portioa centralev On peut objecter , à la yéri^ W> et avec raison , qae la eurfeK?e du soleil ^ quoique géméra-» kownt sphërique^ est couverte d'aspérités dont chacune pré^ seste àu0tre oeil toutes les inctinâisons poesibles, et qne, dia^ que partie réunistamt ainsi toutes ït» jgradatiotas d'éclat dont la lumière est «nsceptible , le disque total doit bous paraîtra également resplendissant dalis toute son étendue.

4o. *-^ Bouguer^ dans son Traité ttaptkfUe (Paris, iy6o, page 90 ), prétend avoir trouvé , par une comparaison di-« recte, que le centre du disque solaire est nu contt^ire beètut* coup plus liuninenk que les bords. Un résultat aussi extraordinaire , et si incompatible en apparence avec toYit ce qu<B nous connaissons de la nature du soleil et du mode d'émission de la lumière à sa surface, aurait besoin d'être vériflépar des expériences précises et délicates. S'il était trouvé exact , le seul moyen de l'expliquer serait de suppoter une atmosphère dense et imparfaitement transparente, d'une grande étendue, flottant par*dessus les nuages lumineui qui forment la surface visible du disque, li'observatiôn de BoUguer est certain nement possible 5 Mais il serait peu philosophique d'avoir rè^ cours à un corps que nous connaissons èi imparfaitement, et tellement hors de notre portée , pour en faire la base d'une théorie de l'émanation. L'objection quettOius avons rapport

tefc plus liaut acquiert un noaVean poi<k <{ttoiid on ««Mnine difierentes surfaces.

Si i'oa obsei've nu fuicrotcope cm ttiorceMi depapier blalac^ om Irouverm «a superficie extrtitttmelit inégale^ hérissée d'aspérités I et n'ayant pas mênve l'appareaoa d'un plan. H em est de métne pour toutes les surfaces assez Tabôteuses pow réfléchir la IttUnèv^e dans toutes les directions.

41. — tïependattt, oonime nous n'avons à parler tfùt do surfaces lumineuses telles que Ton ep trouve dans la Mtufe, nous devons prendre leurs propriétés telles qu'on les observe réellenaient} «t, sans «herchèr quelle pourrait (tre la loi d'émanation pour uM surface mathéoimtique , nous pouvons poser en fait ^ i^oisikn^ tiii rë^ultat de l%>bservation ^ que hs surfaces hàinineùsès pdtài)$s^nt également éclatantes, quel ffÊù so/HT angle qu* elles Jbrment ayet le M^oit idsueU

On peut vérifier ^cMte lissertion en observant la surface d'an fer rouge : son éclat intrinsèque apparent n'est pas sen-^ siblement augmenté s'il est nais dans une position oblique à l'égard de l'œil.

4Sk «»^ Si Ton porte ^ns iin« diaasbt^ obscnm tme barre de fer carrée et polie ^ ou plat&t une bérra d'argent , on un cylindre poli de l'utt de ces «nétatt!t , Après l'avoir chaufiGiî au rouge, ce cylindre paraîtra également lumineux au milieu de sii convexité voisine de VttiV et snr %tt bords , et ou ne pourra le distingiMir d'une lame entièrement plane ^ quoique l'on place la b^rre Hîanrée de tolU maniéré que deux de ses fiices ferment aven le rayon visuel des angles différents, elle brille d'un éckt parfait^cnent-égal dans toute sa largeur, et l'on ne pent mucunement aperœvotr l'arête qui sépare les faces contiguns. Si l*on fait tourner toute la barre autour de son axe , ce mouvemeht ne devient sensible que par le» varîalions successives de son diamètre appai^nt, qui semble croître et décroître suivant que |a bavre se présente de face ou de côté dans le sens de sa diagonale : son apparence est

toujours cetie d'une lame plate perpendiculaire au rayoavisuel.

Ces expe'riences avec des surfaces^ éclairées . artiâciellejnent , et d'autres semblables que le lecteur n'aura pas de peine à imaginer et à faire , ainsi que celles que M. Ritchic a consignées dans le Journal philosophique dT Edimbourg , suffisent pour établir le principe énoncé à l'article 41 9 principe que l'observation de Bougiier sur l'éclat inégal du disque solaire ne peut infirmer d'une manière décisive, conune nous croyons déjà l'avoir prouvé.

.4^. — Ce qui précède. ïious- fait voir que les^ surfaces des corps lifmineux, ou du moins leurs dernières niolécules, n'émettent pas la lumière avec une éga^e abondance dans toutes les directions; mais qu'au contraire, l'abondance de /Vmission dans une direiction quelconque est proportionnelle an. $Jums^ deVofigle d'émanation à la surface*

Problème*

44. -^ Déterminer l'intensité d'éclairement d'une petite surface plane exposée d'une manière quelconque aux rayons d'un luminaire de grandeur, de figure et de distance don-^ nées^ ce luminaire étant supposé d'un- éclat uniforme «dans toute son étendue.

Concevons la surface du luminaire partagée eu une infi-. nité de portionjs élémentaires , dont chacune pourra être re-. gardée comme une section oblique- d'une pyramide ayant pour sommet le centre du plan éclairé infiniment petit 6. ( Voy. fig. 5. ) Soit P Q une de ces portions, et prolongeons la pyramide 6 P jusqu'à ce qu'elle rencontre le ciel en p ;^ soient encore ^^ la projection de l'aire PQ, le disque cdef\di projection du luminaire C D £¥, et irQ une section de lapy-. ramide A P Q perpendiculaire à l'axe. D'abord le plan B sera éclairé par l'élément P Q comme s'il l'était par une surface> s Q également éclatante, en vertu du principe établi en.dei:-.

^7 liier lieu : par coi^ëipieDt P Q équivaut à une surface li Q quant à l'intensité de réclat. Ensuite, puisque la grandeur ap-^ parente de la surface ir Q , vue du point B y est'la même que celle Aepq , Taire v Q ëtai^t équivalente à une surface p q d'un > éclat égal, placée en/?^ (art. 29, 3o, 5i^ coroU. i, 2), PQ est ?iussi équivalente àp^. Le même raisonnement s'applique à. chaque élément de la surface; et, puisque la lumière totale reçue par B est la somme de toutes les lumières émises par les éléments du luminaire , la surface entière G D £ F doit ^iyaloir à sa pr9iection cdef»

45. — L^éclairement de B ne dépend donc aucunement de la figure ni de. la grandeur réelles du luminaire, mais uniquement de s^ figure et de sa grandeur apparentes \ et quel que soit ce luminaire , noijia^ pouvons toujours lui substituer la portion du ciel dont U tient la place, en supposante cette portion le même éclat intrinsèque et le même contour.

46. — Ainsi, au lieu du soleil, nous pourrons, supposer un petit cercle de même diamètre apparent et doué d'un éclat égal'; au rectangle lumineux AGHI(fig. 5), perpendiculaire au plan éclairé B, et d'une hauteur infinie, nous pourrons substituer le secteur sphérique Z A G compris entre les deux içerçles verticaux ^ A , Z G , ^t ainsi de suite.

47* — SoiP dcH^Q^ pq VLn rectangle élémentaire d'une surlace sphérique , infiniment petit dans ses. deux dimensions ^ désignons-le par €/ * A , et Jjf £^ A représentera la surface ç def: alors, en posant js = la distance zénithale Z;? de ce Rectangle, son pouvoir éclairant sera df^ A. ..cos z, et celui ^e toute la surface A ^era égal.à

L zizjfd^ , A cos jz, 4^8. — Ç<3cempîq i.. Trouver le pouv qji: éclairant du bqe-n

tear Z A G ( fig. 3 ) compris eatre 1'h#rtt(Mi et deut cercles verticaux.

IfommantO Pazknuth de l'élésieiit «f* A, si nous con* sidëroBs cet élément comnie terminé par deux verticaux ooBtigiis.et deux cercles parallèles à rborisoa avMSâ centigus ^ âot» aurons

d'o& Vqvl tire

L z=:jff*dB . J z . sin z cos X s= iffd^ • i/z sin a z . = ^/(è + C) é/z.sinaz.

Etendant cette înt^rale depuis 9 =r:o jusqu'à 9= A G , ce qui comprend toute l'amplitude du secteur^ nous trouverons 9 en notatit par a cette amplitude ,

LtTî- I ifa.sin a z£=;- (C — icos 2z).

Cette intégrale^ fêtant prise depuis t rr; o jiisqn^à z :=:'^ y donnera simplement

49* *^ CoroU. ff • Cette quantité M ù mesure d«i pouvoir éclairant du secteur^ en représentant celui d'une surface intiaiment petite (A) ^ placée au^énith ^ par «otie surface même. £« effet , dans ce cas ,

cos ^=:::i 9 etJfd^K . ôos z =À.

5o. — CoroU. 2. En conservant la même mesure du pouvoir éclairant « celui de tout l'hémisphère est égal à ir , ir ayant pour valeur 5 . i4i59555.

,5i. — Exemple a. Quel est le pouvoir éclairant d'une portion circulaire du ciel ^ dont le centre est le zénith ?

Nommant z la distance zënithale d'un ceiiain élëmont, «f 0 son azimuthr, nous. aurons, comme auparavajbtt

d* A:^ d ^ . d X . êin :^j et par conséquent

L=:^ii0i/zsmz.co8z.=l0. :=zitfdz, sinai.

En éténdâift cette intégrale depuis ^=0 jusqu'^à 0 âiïa ir,

L csir ( ëottst. -- J co* 2z) j

en snppqsaBt qife Lr s'éTanoakse pfMur j z=: o , rëquatton prëcëdcntt d^rient: '

Sa. — CoroU. 5. Le pouvoir flairant d'un fumhiaire eîrcukdre qni a }e zériith pour centre est proportionnel av carré da sinus de son demi-diamètre apparent.

55. — Exemple 5. Quel est lé pouvoir éclairant d^ulie portion circulaire quelconque de la voûte céleste?

Soit TK L M U cercTe éclairant^ confcevons-lé décomposé en anneaux concentriqaes , tels que X Y Z ( fig. 4) ; soit Xàr un panaRélogramme iniSnimtent petit , téririiné par detit rayons contigas S X et S âr , S étant le cfentre : posons

ZSi^A^ SXi:=ix, Zi7Lz=:z.

Angfte Z8X=:t, STsr.

Aire d* Xz:z::Xx±=:dx y(^d ^sinx.

L zzzjff'dif , dx . siïix , cos z.

Mais , par les formules de la trigonométrie sphériquc ^ cos z^=z ooJ a . co^^x . 4- ^>^ ' <^^^ ^^ f *

5tt Par coiis^queni

luzzzffdx.d^.sinx (cosa cos ar -|- sin <i . sitijù. cos^)*

La première intégration ^ effectuée par rapport à ^ entré les limites f =: o et 9 =: 56oo ou 2 ^ , donne

L z^zfdx . sin X X ^^ * côs a • <ios x.

Cette équation, étant intégrée par rapport à x, en étendant l'intégrale depuis x :=: o jusqu'à x z=:STz=:r> donnera

TT . cos a , .

L= ^ ( I — cos a r) =: ir . cos a • sm' r •

Ce résultat est singulièrement élégant let remarquable : il nous apprend que, pour obtenir^ par rapport à un plan bo-» rizontal) l'effet éclairant d'un luminaire circulaire d'un dia-> mètre apparent quelconque, et placé à une hauteur quelcon-» que, nous n'avons qu'à réduire l'effet éclairant qu'il posséderait s'il avait le zénith pour centre , dans le rapport du rayon au cosinus de la distance zénithale ou au sinus de la hauteur.

Le lecteur pourra trouver d'autres exemples dans la Pho^ tomêlrie de Lambert, chap. 2, d'où nous avons tiré ceux-ci*

54* — Si la surface éclairante n'avait pas le même éclat intrinsèque dans toute son étendue , en notant par I l'éclat intrinsèque de l'élément ^ ' A , nous aurions pour expression générale du pouvoir éclairant de la surface A

L 2=j^I d^ A cos z •

La lune , Vénus et Mercure dans leurs phases, le ciel pendant le crépuscule, nous offrent des exemples de surfaces inégalement éclatantes , quand on les considère comme des luminaires.

Problème* 55. — Comparer l'éclairèmcnt d'un plan hori^fontal par

)a lumière du soleil suppose au ze'nith , avec celui du même plan lorsque tout le ciel deviendrait aussi brillant que le soleik

D'après l'art. 55, nous avons

L ^ it cos a . sin' r i

En de'signant donc par L et L' les deux ëclairements en question, nous aurons