IB P
A =: l/^a* '■f-^ a a' . cosip — iP' ) -f- a".
a donc la râleur de X par Fëqaation X = A.co«(0-f P)^
a trouverait pareillement celles de Y et de Z- par le& ions analogues
Y=:B. cos(ô + Q} , Z =:C . cos (0 -f-R).
i expressions des vitesses s*obtieQdi*aient par la même ode.
K — Les règles connues de composition et de dccomon peuvent donc s'appliquer également aux vibrations» nblables. Chaque vibration doit se résoudre en trois auqni ont lieu en ligne droite et dans trois plans rectanres : celles-ci doivent être composées sépare'ment, de ère à donner d'autres vibrations rectilignes dans les coordonnés. Le système de ces dernières représentera
la vibration elliptique résultante, et leur période sera U même que celle des vibrations composantei^
En suivant une marche inverse, une vibration quelconque peut se résoudre en autant d'autres que Ton .voudra , qui auront toutes la même période.
6a I. — Il se présente maintenant une foule de cas , dont nous discuterons les plus importants, en commençant par celui de Tinterférence des vibrations rectilignes.
Puisque le choix des plana coordonnés est arbitraire, prenons celui des deux vibrations pour plan des x,y : ce plas sera- nécessairement celui de la vibration résultante.
OIp peut donc poser ■
z = o, ouc;;=o, c';:=o^.
et prendre simplement
a:ri:fl.cos(e-|-/>), j-=:ô.cos(ô4-/')a'=a'. €05(0+/?') ï y=è'.C08(6 -f-;E>')
ar'
— et — - étant des constaDtcs dans ce cas, et X, Y, A, B, P» Q , ayant la même signification que dans le cas général >
on a
X = A . ces ( 0 + P ) , Y = B . cos ( 0 -j- Q ) •
ce qui donne, en éliminant 0 •
XY
2cos(P-Q)-— = sin(P — Q)^ . (9)
La vibration résultante est donc généralement elliptique.
622. — L'ellipse de'gdnère eu ligne droite par révanouissèment de son petit axe , quand P zz: Q : on a alors
lîing P ■=. lang Q ,
a . An p -\- a^ , sinp^ h . sîo ^ -[- i' , siii p^
a . cos p-f-a* > cosp^ b . cos p '\- b^ • cosp^' 3ctte équation se rëduit à
Il n'y a cpnsëcjuemment que dea% cas où la résultante est ine ligne droite ; le premier lorsque p — j^' = o , c'est-àlire quand les vibrations conaposantcs ont une origine com*
nune et s'accordent parfaitement ; le second lorsque - "^z f^
:'est-à-dire lorsqu'elles ont lieu dans un même plan et dans a même direction. En eflet, désignant par 772^ m\ les amplia<les9 et par -^^ ^', les angles que forment les vibrations avec 'axe de» ;r^ on a
a "znm , cos t{r , ^ = m . sin ^ , a' =: 77»' . cos)p' , £' =: m' . ain t{f' ;
]e manière que IVquation dont il s'agit revient à
tang tJ» =2 tang ij»' ou ^ =: -^K
6a3. — Dans le premier des deux cas précédents , puisque cos (;>-^ p')=^ « »
et finalement
C*e8t la tangente de Fangle entre la vibration recliligne el l'axe des x.
624- — En nommant M l'amplituclc de cette ribratioiif if vieul
par conséquent
Or
A' = (fl-|-a')» z=z{m. co»4' + '»'» cos^)* , B«= (&4.i')*=i(m.iin4» + i|»'.sin ^'y.
Ajoutant ces valeurs et réduisant ,
M* = m' -|-amm'cos (4* — +')-!-''»'*• • C'O
Comme ^ — ^' est Tangle entre les vibrations composan-* tes, cette équation signifie aussi que Taniplitude de la vibra« tion résultante est la diagonale du parallélogramme dont les cÂtés sont les amplitudes des composantes. Il est aisé de démontrer , en substituant les valeurs précédentes de a -|- a' , &-f- b\ dans l'ëquation (lo), que la diagonale a aussi la même direction que la résultante.
625. — Corollaire i . Toute vibration rectilignc peut se décomposer en deux autres , également rectilignes, dont les amplitudes sont les c6tés d*un parallélogramme dont la diagonale représente Tamplitude de la résultante : toutes ces vibrations s'accordent parfaitement, c'est-à-dire qu'elles ont la même origine.
626. — CorolL 2. Toute vibration rectiligne peut donc se décomposer suivant deux axes rectangulaires ( ou trois au plus), par la règle du parallélogramme des forces , et les vibrations composantes , quelque nombreuses qu'elles puissent être , seront en état d'accord parfait avec la résultante.
627* "* L^ellipie dégénère en cercle, lorsque
cos ( P — Q ) = o ,
c'esl-â-dire lorsque
ou bien quand
La première condition donne
tàng P + cot Q = o, c'est-i-dire
. sin ^ - - a' . »in ^ i ^ • ^*^* Z' "f" ^' • ^^^ P* .^
. tf^A« » -L #1' - rns nf '^ h . sin n -4- />' . sin n' *"" '
A • ces/?
a' . cos ^E?* * ô . sin yt? -j- ^' . sin ;?'
ou , en réduisant ,
I m* • sin a tff -|- m" . sin 2 >(»'.
"^ a* mm' .sin (^ -j->p'}
(la)
La condition A zr B , ou A' = B' , donne tf»-|- a é .cos(;?— jp') + a'"=: i» + 2 ii'. cos {p —p') -\-V' j
d*oa l'on tire
cos (p — p*) = = r 7-7;
I m* . cos a ^1» + m" . cos a ^'
"^ a ' cos (^ — ^';
En égalant ces valeurs de cos {p — p') , nous trouvons qu'il doit exister entre a, a\ 5, h\ la relation suivante :
L'évanouissement du premier facteur ne donne point de
vibrations circulaires , ce facteur ëtaatUitn^duît par U cine négative de. l'équation A' = B% qu'il est inutile dec sidérer. L'autre donne
a^ -j- A* = a'^ -j- Z»'* ou mz=: m* •
ce qui montre que les vibrations composantes doivent a% la mérae amplitude. Or, si nous remplaçons a^ ^, parle valeurs m . cos ^ , m . sin ^ , et a' , &' , par m • cos 772 . sin ^' , dans les expressions troarées plus bant i^ cos {p — p' ) i il viendra
cos(p — />')= — cos(^ — i}»'), ou p — ;?'z=:i8oo— (^ —
Ainsi deux vibrations rectilignes égales peuvent prodt parleur interférence une vibration circulaire, pourvu qui différence de leurs phases soit le supplément de l'angle en leurs directions 5 de manière qu'à l'instant où la nàolcc commence (& se mouvoir Vers le centre, en vertu de lap mière vibration , elle s'en éloigne en formant un angle ob avec cette direction , en vertu de la seconde.
Corollaife, Si deux vibrations ont la même amplituc mais que leurs phases différent d'un quart d'ondulation, vibration résultante sera circulaire.
628. — Nous sommes en état maintenant d'expliquer que deviennent les parties des ondes secondaires qui dive gcnt obliquement des mtolécules des ondes principales (a 595 ) , et la manière dont celles qui ne concourent pasav ces dernières ondes se détruisent mutuellement.
Considérons la surface d'une onde quelconque ABC (É iDo ) comme formée de molécules vibrantes qui se ttvuvé toutes dans la même phase de inbration : le mouYcmf d'un point quelconque X sera le me nie , s'il est regar comme provenant du mouvement particulier de S, ou^ tous les mouvements dirigés vers ce point, à partir de tout» les molécules de la surface.
Concevons la surface ABC divisée en une infinité ^
^^«nf tflitaeBUires , telles qae la différence des distances
point X de deux ëléments consécutifs soit constante ou ,ale i df, en nommant/* une de ces distances prise arbiitLirement.
Soient AB , B C , C D , etc. , ab , bcy cd, etc. , des pôrùons finies de la surface , contenant chacune le même nombre de ces éléments , et telles que la valeur correspondante de/ soit) pour chacune, plus grande d'une demi*ondulation (î^) que pour la portion précédente : ainsi , par exemple ,
BX=AX + iX, CX = BX+ï>, etc.
U est évident que les vibrations qui parviennent en X simultanément des parties correspondantes de deux portions consécutives, comme ABet BC, sont dans des phases to- ^ement opposées : conséquemment, si leurs intensités et directions étaient les mêmes , elles se détruiraient en interférait Or l'intensité dépend de la grandeur des éléments de fonde et de la loi de propagation latérale. Quant à la direc- ^on, on ne peut guère l'assigner a priori; mais tous les phénomènes iqui se rattachent i la lumière indiquent un décroissoient d'intensité très rapide, quand la direction des ondulations secondaires s'écarte de celle des ondulations primitives. Quant k l'intensité, il est clair que les éléments adjacents s la perpendiculaire , et qui correspondent à un accroisseinent donné df de la distance comptée à partir de X , sont ■^Auconp plus grands que ceux qui sont plus éloignés de cette droite ; de manière que tous les éléments de la portion A B ^iit beaucoup plus grands que ceux de B C , et . ainsi de ''ûte : ainsi le mouvement communiqué à X par un des éléments de AB surpassera celui qui serait donné par B C, etc. ^ mouvement transmis en G par les éléments qui corres- I^iident à ce point sera donc représenté par une série telle <iae
A— B4-C— D-f-E — F-f- etc.,
^^* laquelle chaque terme surpasse celui qui le suit. On I. 06
reiXLacft^erf que ces termi^s ^^pproçihf nt.rAtud^lA^Qt da 1' H(.ë.: çn effet, si Ton condid^rç ^q\i)^ élp'meaUkcojilfrçspoiid) tek iguç. M ) N , à une dûît^nçe de A. as^ez CQAsidërable angles X M et X N sont presque ëgaux ; de sorte que !'< quité d.e l'onde secondaire^ par rapport à l'onde principal par conséqucAtçon intensif relative, sont à p^u près les mes pour les deux élenoents.
Les triangles- éléoienlaires Mmo> M np, ëtant , dan cas, d'une similitude presque parfaite, et ayant les c6tës np, égaux par hypothèse, les ëléments M , N, sont aussi près d'être égaux à une certaine distance de la perpend laire. Enfin les lignes MX, NX, se rapprochent dep^i: plus d'ans la même direction , jusqu'à produire une int( rence complète , lorsque leur distance de A devient en plus considérable.
620. — Nous voyons donc que les termes qui se ti venta une certaine distance du commencement de la { A — B-j-C — D, etc., n'ont que très peu d'influ( sur sa valeur. Comme le même raisonnement peut s' pliqucr aux portions AB , BC , etc., TefFet total sera que le mouvement de la molécule X dépendra entii ment de celui de la partie de l'onde ABCquilatou immédiatement , et que les efîels des vibrations seconda provenant de parties éloignées seront compensés par Tinl férence.
65o. — Il est évident que . dans le cas de la réfraction de la réflexion , Ton peut substituer à Tonde A M la suri dirimante ou réfléchissante, et à la perpendiculaire Xj* rayon réfracté primitif. Voyez, dans le Bulletin de la soc philomatique , octobre 1821, le mémoire de Fresnel, iutil Explication de la réfraction dans lé sjsième des ondes»
65 ï . — Ce qui précède s'applique également au cas oùlap tie de Von^q ^ix% les vibrations se propagent ver^ X n'est
4oi
gBÎXéè, ou du moins lorsqu'elle est tellement considérable , oé le dernier terme de la série A — B -|- C — etc. est ezçesiy^znent petit par rapport au premier. Si, au contraire, l'onde est t'otalement interceptée par un obstacle qui n'en laisse passer qu'une petite partie autour de A, le cas. sera très différent. Dans cette dernière hypothèse, il est aisé d'exprimer par une intégrale l'intensité du mouvement ondulatoire de X , comparée k celle de ce même mouvement sans l'obstacle.
Soient d^sla. grandeur d'un des éléments en vibration qui constituent la surface , M X ==/ la distance de cet élément aa point X, et ^ (6) une fonction de l'angle entre la vibration qoi diverge latéralement et la^ vibration directe. Cette fonction devant eiiprimer l'intensité relative de cette vibration latérale, f (0) sera =: i quand 0 m: o , et diminuera très rapidement à mesure que 0 croîtra davantage.
I^otant par t le temps écoulé depuis une époque déterminée, par \ la longueur d'une ondulation , et posant
'^ piiase d'une vibration arrivant en X par la route S M X sert
La rilesse qui en résultera en X sera représentée par «.rf»f.tp(ô).sin27rr~ — ~; ) 9 et le monvement total aura pour expression
// « . £?" 5 . «p . (0; . Sin 2 TT f -^ Y^ j ,
^preaant l'intégrale entre les limites de l'ouverture.
v5a« «^ CoroUaîre» Si la partie de l'onde qui traverse n'est ^^ très petite, comm« dans le cas d'un rayon que Ton fait
passer au travers d'un petit trou , et que Pon reçoit bwmt oa ^cran , 0 et 9» (9) sont presque constantes , et le monvenEacot reçu par X est représenté par " ^
« • ? (Ô) -//^ 5.sin 2 ir r^ — fLtJiy Nous reviendrons bientôt sur ces expressions.
$ lY. — Des couleurs produUes par des Ua0^
mtncea.
Description des phënomènet. — Anneaux formés entre deux ▼errèieC'^ ▼ezes. «- Ordre de succession des couleurs. — Largeurs des annr'^'^'
— Rapport invariable entre les couleurs et les épaisseurs des lamei. ""^ Effets de Tobliquité de Tincideoce. — Anneaux vus à travers un pf^^^
me. — Franees qui paraissent quand on pose un prisme sur un vi plan. — Phénomènes produits par la lumière homogène. — Les 1 neaux se contractent d'autant plus que les rayons sont plus réfrao^^" blés. — Analyse des anneaux colorés. — Synthèse des anneaux colorés. -^'^^ Syntbète des divers ordres des couleurs. — Dégradation des teint^^' — Couleurs réfléchies par des plaques de différentes matières ; — ^^^^ des bulles de savon , etc. — Couleurs transmises. — Comment NewÙ^**
cidence est oblique ; — des anneaux transmis. — Explication des ac^^ neaux transmis, dans l'hypothèse des ondulations. — Cause deiaO-'^ neaux lucides et des anneaux obscurs dans lecasde la lumièie honu^^^ ne. — Formule générale pour les anneaux transmis. — Expressic^** algébrique des teintes transmises dans le cas de la lumière blanche. ^ — ^ Cas de transmission oblique. — Les ondulations sont d'autant plus coO^" tes que les milieux sont plus denses. — Formule générale relative ^-•^ rayon transmis. — Cas d'une obliquité médiocre. — Pourquoi lesa-^" neaux s^élargissent. — La règle de Newton est en défaut quand l'obl^" guité est très grande ; pourquoi. — Cause des anneaux réfléchis. ^'"'^ Perte d'une demi-oncfulation; cette hypothèse n'est point contrai aux lois de la dynamique, ni au système ondulatoire.—- Expériei' décisive entre les deux théories.
655. — On connaît les couleurs brillantes qui se ma«»'^ Testent à la sarface des bulles de savon, les teintes irisées j*^^ la chaleur donne à l'acier et au cuivre poli, les franges col^^ rées que présentent les fentes d'un verre fêle, ou les lame* ^^ j
certains niiiiéraux fbisiles , comme le tpath d'Islande , le mica , leinlfate de chaux, etc. Si l'on examine ces franges arec attention , on trouvera qu'elles consistent en une série régulière de teintes disposées dans le méine ordre, et qu'elles ne dépendent nullement de la couleur du milieu dans lequel elles soQi formées, ou dont elles couvrent la surface, mais uniquenientde l'épaisseur des lames. Ainsi une bulle de savon, placée sous un verre pour la préserver du vent, parait blanche d'aI>ord quand elle est exposée à la lumière du jour ordinaire; mais , à mesure qu'on l'enfle , la coloration devient de plas en pins vive , surtout à la partie supérieure , où la bulle ^^ toujours plus mince. Les couleurs se disposent en zones coztoentriqnes horizontales, à partir du sommet, qui devient enti^ement noir si la bulle devient très mince , c'est-à-dire T^G ce point perd tout son pouvoir réfléchissant : alors la I>i]lle crève subitement, la cohésion au sommet n'étant plos ^^G% forte pour contrebalancer l'attraction latérale des autres parties.
^54. *— Comme il est asscK difficile de faire des observatiosaa régulières sur un corps aussi mobile et aussi fragile V^ Une bulle de savon , on préfère la méthode suivante pour ^^4ier ce genre de phénomènes. On pose une lentille con* ^^^^ et bien polie, dont le foyer est très éloigné, sur un pla- ^^^O. deverre,ou sur un verre concave un peu moins courbe V^ la.lentille qui repose dessus, de manière que celle-ci ne *^^C2he le verre qu'en un seut point , et que les intervalles qui ^P^-rent les surfaces autour de ce point de contact soient ex- ^■^x^ement petits. Si les surfaces ont été soigneusement es- ^^^es avant leur réunion , et qu'on les expose , devant une '^'^^tre^ à la lumière du jour, le point de contact paraîtra ^XKiine une tache noire entourée d'anneaux colorés , au raiiieim de l'image du ciel qui se réfléchira sur les surfaces. Un "vciPre, de dix ou douze pieds de foyer , posé sur une glace , ^^ vient parfaitement pour celte observation* Si l'on so.fert
d'une lentille dont le foyer soit plus court, il faudra regnT' der les anneaux à la loupe.
Voici les phénomènes observes :
PHéNOMENC I.
655. — Quels que soient les verres dont on fait usage, I^ couleurs se succèdent toujours dans le même ordre, àpar^^ de la tache noire , pourvu que la lumière incidente so^^ blanche.
Premier anneau ou premier ordre des couleurs. Noir, bleu très pâle, blanc vif, jaune , orangé, rouge.
Deuxième anneau ou deuxième ordre.
Pourpre sombre ou plutôt violet, bleu, vert (jaunâtre ^» beau jaune, rouge cramoisi.
Troisième anneau ou troisième ordre.
Pourpre , bleu , vert de pré vif, jaune brillant , rose , cramoisi.
Quatrième anneau ou quatrième ordre.
Vert ( Icrnc et bleuâtre) , rose pâle et jaunâtre , rouge»
Cinquième anneau ou cinquième ordre.
Vert pâle et bleuâtre, blanc, rose. j
Sixième anneau ou sixième ordre.
Vert pâle et bleuâtre , rose pâle. i .
Septième anneau ou septième ordre.
Vert très pâle et bleuâtre, rose très pâle.
Ici les couleurs s'aiFaiblissent tellement qu'on peut àpein^ les distinguer du blanc.
