n adoptant ces dénominations, la loi de réflexion

sur une surface plane peut s'énoncer en disant que le plan de

réflexion est le même que celui d^incidence^ que l'angle de

réflexion est égal à l'angle d'incidence , mais situé de l'autre

>c6té de la perpendiculaire.

Corollaire. Le rayon réfléchi et le rayon incident sont également inclinés sur la surface au point d'incidence.

g4. — Seconde loi. Quand la surface est courhe, la direction du rayon réfléchi est la même que s'il avait subi la réflexion au point d'incidence sur le plan tangent en ce point, c^est-à-dire que , si l'on élève une perpendiculaire à la surface courbe au point d'incidence, le rayon réfléchi sera dans le plan d'incidence, et l'angle de réflexion sera égal à l'angle d'incidence.

gS. — Ces lois peuvent se démontrer par l'expérience. Si nous laissons pénétrer un rayon solaire à travers un très petit trou percé dans le volet d'une chambre obscure , et que nous l'y recevions sur une surface polie de verre ou de métal , nous trouverons aisément, à l'aide d'instruments convenables, que les inclinaisons du rayon incident et du rayon réfléchi sur la surface sont égales j mais cette méthode est grossière. Les observations astronomiques vérifient la loi d'une manière plus délicate. Les astronomes ont coutume d'observer directement les hauteurs des astres, au-dessous de l'horizon, et de mesurer en même temps l'abaissement apparent au-dessous de l'horizon de leurs images réfléchies à la surface du mercure , surface nécessairement horizontale. L'abaissement ainsi observé se trouve toujours parfaitement égal à la hau-

leur, quelle que soit sa grandeur ou sa petitesse. Comme ces observations, faites avec de grands instruments, sont susceptibles d'une précision presque géome'trique, l'on peut regarder la loi de la réflexion comme l 'une des lois naturelles les mieux établies.

96. — La réflexion sur une surface courbe peut être considérée comme étant produite par la portion infiniment pe^ tite commune à la surface et, au plan tangent au point d'incidence : ainsi la perpendiculaire à la surface en ce point doit former des angles égaux avec les rayons incident et réfléchi.

Problème.

97. — Trouver la direction d'im rayon lumineux après un nombre quelconque de réflexions sur des surfaces plabes données de position.

Construction, Puisque la direction du rayon est la même, «'il est réfléchi par les surfaces données ou par des surfaces parallèles , concevons des plans parallèles menés par le point C (fig. 9), et abaissons de C les droites CP, CP', C P*, etc. , respectivement perpendiculaires à ces plans, et entièrement extérieures aux milieux réfléchissants. Menons S C parallèle au rayon quand il tombe sur la première sur-* face , et dans le plan S C P, de l'autre côté de C P, construisons l'angle P C5' = P C S : alors C^' sera la direction dp rayon après sa réflexion à la première surface. Prolongeons s' C vers S' , et S' C représentera la direction du rayon au moment de son incidence sur la seconde surface, qui a pour normale la droite C P'. Faisons maintenant dans le plan S' C P» l'angle V'Cs% mais de l'autre côté de C P' , égal à l'angle S' C P' , et C s^ représentera le rayon au moment de sa réflexion à la seconde surface ^ et en prolongeant C 5* vers S", s" C le représentera au moment de son incidence sur' la troisième surface , dont la normale est C P". Il en sera de même pour le plan S* C P*; de l'autre côté de C P''^, faisons

l'angle P" C 5*" = P C S" , et C s^' .sera la direction du rayoo quand il aura quitté la troisième surface, et ainsi de suite.

98. — Démonstration. Autour de C comme centre , concevons une surface sphërique ( fig. 10 ) : le plan P S ^ la coupera suivant le grand cercle P$S'^t et le plan des droites G F , G P' , ou celui qui tombe & angles droits sur les deui^ premiers plans réfiecteurSi ainsi que les plans S' G 5* et S G 5*, ^la couperqnt également suivant les grands cercles W p, SV'sFeiShs!'.

Puisque G P et G P' sont des directions données, Parc P P ( qui est égal à l'inclinaison des deux surfaces Vune sur Vaur- /TV ) est aussi donné. Nommons-le I : or, puisque la direction S G du rayon incident est donnée , Van^ d^ incidence « ou la première surface P GS, et l'angle SPF = 4» ou Pindi^ naison du plan de première réflexion sur le plan P P' perpendicuiaire aux deux surfaces, sont également donnés. Ainsi, dans le triangle sphérique PP'S't nous avons PP'=:I^ PS^ = i8o« — a, et Tangle P' P S' = + : l'on connaît donc S' P' ou a S' P = S' ^, et l'angle S S' P' , ainsi que l'angle P P' S' ou son supplément P P' sf^ qui est l'angle formé avec le plan P P' par le rayon, après sa seconde réflexion. Or , dans le triangle pphérique S S' s' j nous avons S S' == i8oo — 2 a , SV = a S' P', et l'angle compris S S' sF, d'où l'on peut ccfnclure lé troisième c6té S ^ , qui est l'arc entre le rayon incident et le rayon réfléchi deux fois.

Si l'on suppose une troisième réflexion , les données seront P' S» = 1800 -- S' P' , P' P = 1' , et l'angle S^ F P' S= S' P' P* = P P' P» — P P' S' : ce qui permettra de calculer S" V" en suivant la même marche que ci-dessus« On étendra - facilement ce raisonnement à un nombre quelconque de surfaces réfléchissantes.

99» — En nous bornant cependant au cas de deux réflexions, et posant P' S'z=za! z::z Fangle d'incidence sur la se-

conde surface réfléchissante, V S' P' =0, P P S' =9, et 180-»

— S ^ =: D = la déviation du rqyon après la seconde ré" flexion, nous aurons, par les formules de la trigonométrie spbérique , les équatTons suivantes :

— cos a' = cos a . cos I — sin a . sin 1 . cos 4*

. ^ sin I . ,

sra G = -; — , . sm 4»

sm a'

sm a . , ' ^

sm • = -: — . . sm + ^ sm a' ^

cos D =: cos 2 a • cos a a' — » sin 2 a . sin 2 a' . cos 0

Ces équations serviront à déterminer quatre des sept quantité a, oe\ I, 0, ff^ t^, D| quand les trois autres seront données.

io#.. — On observera que f est V angle entre le plan de se' conde réflexion et. la section principale des deux plans réflec^ teurs, et 0 Van^ entre les plans de première et de seconde réflexion. Si. l'on ne cherchait que f et D , 9 devrait être considéré comme un simple angle auxiliaire^ mais ce cas n'arrive pas toujours , et quelquefois même c'est seulement de FangleO que l'on a besoin, ou il fait, partie des données du problème, etc. En un mot, les équations précédentes renferment toutes les conditions d'où dépend la réflexion sur deux plans.

loi . — Corollaire. Si \|i =: o, ou si le rayon incident coïncide avec la section pf incipale PCP, c'est-à-dire si les ré- Hexions ont lieu toutes deux dans le plan perpendiculaire aux surfaces réflédiissantes , ces formules prennent une forme très simple : car nous avons alors

0 = 0, Y = 1 8o* , cos «' =: — cos ( a -|- I ) ;

l'où

et par conséquent

cos ( 2 a -f- 2 a' ) = C08 ( 56o« — 2 ï ) = cos 2 I ,

ou 2 a -|- 2 a' = 2 I.

MaiS) puisque 0 :=: o, nous avons, en vertu de la dernière des équations (A) ,

cos D = cos 2 ( a -{-«') >

par conséquent

D = 2a-[-2a'zr2l.

Ce qui veut dire que, dans ce cas, la déviation après deux réflexions est double de Tinclinaison des plans réflecteurs , quelle que soit d'ailleurs la direction originaire du rayon. Cette élégante propriété sert de fondement à la théorie du sextant ordinaire et du cercle à réflexion , et paraît avoir été appliquée pour la première fois à la mesure des angles par Hadley , quoique Newton paraisse l'avoir proposée pour le même objet. ( Voy. la description de ces ihstrumeàts. )

102. — Dans d'autres cas, cependant , la déviation D est toujours fonction des angles qui déterminent la position du rayon incident , et ne peut être obtenue qu'à l'aide des équations (A).

Problème.

io5. -— Etant donnés les angles d'mcidencc sur les deux plans et l'angle entre les plans de première et de seconde ré- .flexion, assigner, la position, du rayon incident et du rayon deux fois réfléchi , la déviation du rayon après deux réflexions et l'angle des surfaces réfléchissantes.

En conservant la même notation, les données seront «i, a', 9, et les inconnues ï, D, y et xp.

i*> D est donné sur-le-champ par la dernière des équations générales (A).

2» Pour trouver les autres, posons

a: = sin I , j* =: sin 4» > et azm sin a' . sin 0 ;

faisons aussi

co&^zzz Cy sin «-= s ^ cos a'z=: ^', sin a! =: 5' :

nous aurons alors ^ . .

xjr = a, on jrzr:^,

€t la première des équations (A) donnera ^

<I'où Ton tire , après l'eVanouissement des radicaux et les re'duclions,

Cette e'quation, quoique du quatrième degrë, peut se résoudre à la manière de celles du second , et contient la solution générale du problème.

104. — CorolL I, — Si 0 =: 90® , ou si les plans de première et de seconde réflexion sont à angles droits, nous avons simplement

sin 1 . sin ij/ = sin et' , et az=. sin a! = s'.

Dans ce cas , notre équation finale devient

o=zx^ — 2 a:=» ( I — c' c'^)'\' ( i — e d'*y

Celle-ci, étant un carré parfait, donne

mais

X zzz sin I :

donc

x^ = I — cos^ I ^

et nous trouvons ce résultat très simple :

cos I r= c c' =: cos a . cos a\

Ce qui nous apprend que le cosinus de Tinclinaison des plans l'un sur l'autre est ëgal au produit des cosinus àes angles d'incidence sur chacun d'eux. Et réciproquement, cette dernière relation suppose que les plans des deux réflexions sont à angles droits, car l'on a d'abord

en substituant , au lieu de x' , cette valeur dans l'équation générale , elle doit s'évanouir entièrement , et l'on trouve pour déterminer a une équation du deuxième qu du quatrième degré, qui doit évidemment être satisfaite en prenant a =siB ft' , et par conséquent d = 90**.

Cette élégante propriété trouvera son application quand nous traiterons de la lumière polarisée.

t io5. — Coroll. 2. Dans le même cas, si 0 = 90**, la déviation D est donnée par l'équation

cos D =r cos 2 ft . cos 2 a'^

c'est-à-dire que le cosinus de la déviation est égal au produit des cosinus du double de chaque anglev d'incidence.

Problème.

106. — Un rayon de lumière est réfléchi par chacun des deux plans , de telle manière que les angles d'incidence et de réflexion sont égaux. L'inclinaison des plans' et les angles d'incidence sont donnés : on demande 1° la déviation, 2^ l'inclinaison mutuelle des plans de première et de seconde réflexion , et les angles formés par chacun de ces plans , avec la section principale des plans réflecteurs.

En conservant la même notation, nous avons aizia', et par conséquent ^^ = <p, en vertu de la troisième des équations (A) , qui deviennent

cos a ( I -j- cos I ) = sin a . sin ï . cos 4»

sin a • sin d zz: sin I . sin >]» i /^y

cos D := cos' 2. a — sin' 2 a . cos 0