En écrivant pour 1 4- cos I et pour sin I leurs
valeurs trigonométriques 2 cos' - et a sin - . cos-> la pre-
mière de ces équations donne
cos y =1: cotang a . cotang - -,
ce qai fait connaître immédiatement Tangle ^ , qui est encore donné par Péquation
• ^ sin I . ,
sm 0 = -; . sm np.
sm a
Enfin , retranchant de l'unité chaque membre de la troisième des équations (a) , divisant toute l'équation par 2 , et opérant les réductions, nous la transformerons en
sm zzr sm 2 a . cos -.
Ces équations fournissent des moyens directs de calculer successivement >p , 0 et D , en fonction des valeurs, connues de a et de I. Les formules se prêtent au calcul logarithmique, et n$jt6nt pas dépourvues d'une certaine élégance.
5 IV. — Réflexion sur des surfaces courbes.
Recherche générale du chemin parcouru par un rayon réfléchi sur une courbe. — Expressions générales de la distance du foyer au point rayonnant. — Angle formé par l'axe et le rayon réfléchi. — Formules relatives au cas où le point rayonnant n'est pas l'origine des coordonnées. — • Formules relatives au cas où les rayons incidents sont parallèles à Taxe. — Foyer. — Distance focale. -^ Sommet. -— Recherche des courbes qui réfléchissent vers un même point tous les rayons incidents. — La courbe est dans tous les cas une section conique. — Ellipse. — Parabole. — - Cercle. — Foyer d'une surface plane. —Foyer d'un anneau sphérique. — Foyer des rayons centraux dans un réflecteur sphérique. — Foyer principal. — Foyers conjugués. — Les foyers conjugués se meuvent en sens contraire. — Aberration longitudinale pour une ouverture quelconque. — Aberration longitudinale pour de petites ouvertures ; — son expression. — • Aberration latérale. — Aberration latérale pour de petites ouvertures. — Aberration pour de petites ouvertures et des rayons parallèles.
108. — La rëflexion sur une surface courbe est la même que celle sur le plan tangent au point d'incidence : le rayon réfléchi sera donc contenu dans le plan déterminé par le rayon incident et par la normale ou perpendiculaire au point d'incidence. L'expression générale du chemin parcouru par le rayon réfléchi sur des surfaces à double courbure étant d'une extrême complication ^ et probablement d'un faible secours pour ce qui doit suivre, nous nous bornerons au cas particulier d'une surface de révolution ( ce qui comprend le cas d'un plan et d'une surface conique quelconques ) , dans l'hypothèse que le plan d'incidence passe par l'axe de révolution.
Problème*
109. — Un rayon contenu dans un plan passant par l'axe tombe sur une surface de révolution : on demande la direction du rayon réfléchi.
Soit Q P ( fig. 1 1 ) une section de la surface par le plan d'incidence, Q N l'axe , Q P le rayon incident et P r le rayon réfléchi : celui-ci ou son prolongement coupera l'axe en q.
Menons la tangente P T , l'qrdoiinëe P M « et la normale P N prolongée jusqu'en O , et posons
a:±=QM,j- = MP,;>=^, 0 = angleMQP,
OU l'smgle compris entre l'axe et le rayon incident. Alors , puisqae l'angle d'incidence est égal à l'angle de réflexion , noQS aurons
rPO = OPQj
NP^=:OPQ,
et par conséquent
QPT = TP^.
Or
== Q M — P M . tang M P ^
= X — j- tang ( T P M — T P 9 )
= X — j- tang ( T P M — T P Q )
— X —j^ tang (TPM — PTM + PQM)
z=i X — j- tang (900 — aPTM-f-PQM)
Mais par la théorie des courbes l'on a
tangP T M= j-^ =;;y
donc
P T M=: arc ( tang z=z p} =:z taiig- ' p,
en désignant par tang^' la fonction inverse ^ de celle qui est exprimée par tang.
Puisque P Q M = 9 , cette équation devient ' Q q zizx — jr . cotang f 2 . tang-* p — 0 j
=2^ — J • cotang^ atang-' ^ — tang-' f - j > ià)
(à cause de la relation tanc 0 = ^ ^, = - |. ° Q M a: y
Telle est alors l'expression générale de la distance entre les deux points où les rayons incident et réfléchi coupent Taxe.
Maintenant nous savons, par la trigonométrie, que, A et B étant deux arcs quelconques,
cotang I 2tang""'A — tang~'B J = cotang ftang-» j^ — tang-' B j
= cotang. tang-' ^——-^--—J ,
ou simplement
attendu que , la tangente et la cotangente étant des quantités réciproques ,
cotang. tang- ' 9 =z: -.
Appliquant cette formule au cas actuel , où
la valeur trouvée plu& haut pour Q tj devient
Q( I — z?^ ) a: 4" 2 » r o.px — {i—p')X
Ces expressions renferment toute la théorie des foyers et des £j)erratio]is des surfaces réfléchissantes.
110. — CorolL 1. Trouver ^angle entre Taxe et le rayon réfle'chi , angle que nous désignerons par G(.
C'est l'angle P ^ M qui est le complément de MP ^. Nous avons trouvé plus haut
M P ^ = 90*» — 2 tang"' ;? -j- 9 j
d'où
e^=:2tang~*y[; — 9.
Mais tangO = - ^ de manière qu'en substituant, il vient
tango' = ^^^-±ii=:£liZ (,)
m. — CorolL 2.
112. — Dans toutes les formiil es précédentes , nous avons supposé l'origine des x au point rayonnant Q. Si nous voulions le placer ailleurs, par exemple en A, nous n'aurions qu'à écrire partout x — a , au- lieu de x. Dans cette hypo^ thèse , les formules deviendraient :
tango = --:21- (e)
taiigO'=2£i£Zl2LziL^l£k: . f^
^px — (i — p^)y — ^pa
1 13. — Si le rayon incident était parallèle à Taxe, il suffirait de supposer le point Q infiniment éloigne; ou bien, en plaçant, comme dans l'article précédent, l'origine en À à une distance finie , de faire a = A Q = l'infini.
Les dernières équations donnent alors
tangO' = -^, I ^,)
Aqz=zx—jr ,
Problème.
ii4« — Représenter par leurs équa^tions les rayons incident et réfléchi.
L'équation d'une ligne droite quelconque est nécessairement de la forme Y = a X -[- p.
Prenons le point A pour origine des coordonnées, et conservons la notation précédente , en désignant par or et^ les coordonif ées du point P de la courbe , et par X et Y celles d'un point quelconque du rayon incident. Q étant l'intersection du rayon et de l'axe, et AQ=:â^ il est évident 1® que, pour Xz=z a, Y = o ; a° que, le rayon passant par le point P , X = r donne Y =; j*.
Il résulte de la que
d'où l'on tire
et l'équation du rayon incident devient
oa , ce qui est la même chose >
ou encore , puisque tang 0 =: ^^-^ = ^^ ,
Y=:(X — a)tangO, (4)
ou
Y— j^ = (X-a?)tangO (5)
De même , pour le rayon réfléchi , si l'on représente son
équation par Y = a' X -|- P' , il viendra
et par conséquent
^=(j^) CX-a')=(X-a')tangft', . (7)
Telles sont les équations qui se rapportent au rayon réfléchi; les valeurs de a' et de tang 0' sont données en fonction^
d Y ^^ x,j; aetpz=: ~- , par les équations (g) et (A) , ou (i).
1 1 5. ~ Si Ton fait tourner toute la figure ( fig. 1 1) autour de l'axe A M , Q ëtant un point rayonnant, les rayons réflëchis par la surface unique engendrée par la révolution de' Q'P sont tous concentrés au même point q , qui devient ainsi infiniment plus éclairé que s'il ne l'était que par un seul rayon réfléchi par une molécule quelconque de la surface. Le point P engendre un anneau dont M P est le rayon , q est dit alors lejbj'er de cet anneau, et À ^ la distance focale de ce même anneau.
Cette dernière expression sert ordinairement à désigner la distance de q au sommet, c'est-à-dire au point où la courbe rencontre l'axe } mais nous emploierons cette expression dans son acception la plus étendue.
1 16. — Généralement la position du foyer varie avec celle du point P, excepté dans le cas particulier où , d'après la nature de la courbe , la fonction dont dépend a' est une quantité constante.
Nous allons discuter ce cas important.
Problème.
117. — Trouver la courbe qui a le même foyer pour tous les points de sa surface de révolution , et dont tous les rayons divergents ou convergents partis du point Q seront réfléchis, et iront diverger ou converger vers le point q,
La valeur de Q q, rapportée à l'art. 109 et donnée par l'équation {b) , étant constante , fournit l'équation .
[£±PZ)J<PJLI1^ = constante = c.
iipx — ii —p')y
Après avoir fait disparaître les fractions, et remplacé x — c par x, ce qui transporte simplement l'origine des coordon-
nées à unç distance c de sa situation primitive , Téquation prëcëdeote devient
Pour intégrer cette ëquation, faisons choix d'une nouvelle variable z, telle que pj'z=:x z.
En multipliant par^ Tëquation donnée , il vient
ou
a: z ( x' — j^' — c' ) = xj^' — x^ z^ }
d'où Ton tire
Différentiant cette équation :
^j'dj- lzzziipfdxz=:z.xz,dx, à cause de ^ 'zr.^JL J
:=^^xzdX'\-x^dz — c" d[ — -j- — j • ce qui donne
OU
Il est évident que l'on peut satisfaire à cette équation de deux nlanières : la première en posant le facteur
^a — — «, 'z::2ro. ou x =±
/ . I No »
d'où résulté simplement x -}- ^ j^ ::=: c , en remettant à la
place de z sa valeur ^-^. Eliminant p entre cette équation et
Pëquation primitive (a), on trouve , après réduction ,
Ce résultat n'est cependant qu'une solution singulière de l'équation différentielle ^ ce qui provient de la marche que nous avons suivie pour l'obtenir : comme la valeur de^ que l'on en déduit est toujours imaginaire , elle ne peut remplir les conditions du problème.
La seconde manière de satisfaire à l'équation {b) est de poser dzzizo^ouz'ziz constante.
Représentons cette constante par — h : alors , puisque
X ^ nous aurons
Cette équation , étant intégrée , donne
a étant une autre constante : c'est l'équation générale dessections coniques j et il est clair, d'après les propriétés de ces courbes , qu'elles satisfont aux conditions exigées. En effet , deux lignes tirées de leurs foyers à un point quelconque de la courbe forment toujours des angles égaux avec la tangente en ce point , et par conséquent un rayon convergent ou divergent provenu de l'un des foyers , et réfléchi par la courbe , se dirige nécessairement vers l'autre foyer ^ mais l'analyse précédente , étant directe , fait voir que les sections coniques possèdent cette propriété à l'exclusion de toutes les autres courbes.
Il 8. — Ainsi, dans le cas de l'ellipse, tous les rayons (fîg. 12) S P, SP', etc. , divergents du foyer S, convergeront
après leur réflexion vers l'autre foyer H, la surface intërieure de l'ellip$e étant polie : au contraire , tous les rayons Q P ) QP' , qui convergeaient du point S, iront, après leur réflexion , en diyergeant vers le point H.
119. -^ Dans l'hyperbole (fig. i5) , les rayons Q P , Q^ P , etc. , convergents vers le foyer S , et tombant sur la partie convexe et polie de la courbe , iront y après leur réflexion 1 converger vers l'autre foyer H; s'ils divergeaient du point S, et qu'ils fussent réfléchis sur la surface polie et concave P P', ils divergeraient également du point H.
120. — Dans le cas de la parabole , les rayons parallèles à Taxe, et tombant sur la surface intérieure ou concave de la courbe , seront tous réfléchis vers le foyer S ( fig. 14)7 s'ils étaient réfléchis par la surface extérieure ou convexe , ils divergeraient tous de ce même foyer.
121 . — Les rayons convergents ou divergents, par rapport au centre d'une sphère , divergeront ou convergeront vers ce même centre, après leur réflexion.
Essayons d'appliquer notre formule générale (b) [art. 1 09] à quelques cas particuliers.
Problème ,
122. — Supposons que la surface réfléchissante soit un plan, ou que la courbe P C dégénère en ligne droite, et cherchons le foyer des rayons réfléchis.
Nous avons par hypothèse
dr X =: constante z=iap'=. -^^ = 00 ,
et la formule générale devient simplement
Q2 XY q'z:ia!z=:> ^ = 2 x =: 2 a.
Ainsi le foyer des rayons rëflëchis est un point de l'autre cbté du plan réflecteur , et qui s'en trouve à une distance égale à celle du point lumineux à ce même plan.
Gomme ce résultat est indépendant de la viileur de j" ou de la position du point P, nous voyons que tous les rayons réfléchis divergeront de ce point (fig. i5).
Problème»
125. — Assigner le foyer d'un anneau d'un réflecteur sphérique. ^
Soit z le rayon de la sphère : si l'on prend pour origine des coordonnées le point lumineux même, l'équation du cercle générateur sera
qui donne par la différentiation
(X '-'a)dx+jrdjr=:o',
et par conséquent
dr X — a 2 r^ — r*
. dx y ' " y^
En portant ces valeurs dans l'équation générale (i) , l'on trouve pour distance focale
Telle est dans tous les cas l'expression de la distance dp foyer des rayons réfléchis au point rayonnant.
En optique, cependant, il est plus avantageux de connaître la distance au centre ou à la surface.
La distance au centre E q (fîg. i6) est
^^ ^ 7.ax -^r^ — 2 a'
ar'
liCS valeurs positives de £ ^ se trouvent à la droite du point £, c'est-à-dire qu'elles sont de même signe que les valeurs de :r ou de Q ^.
CorolL I. Pour déterminer le foyer d'un anneau sphérique infiniment e'troit, contigu au sommet G ou G de la surface sphërique réfléchissante, ou, comme on l'appelle en optique, lefojrer des rayons centraux, nous devons poser pour le point G ( lorsque la réflexion se fait sur la partie concave) ,
xzzzu'^-'r ,
et pour le point G' , quand les rayons sont réfléchis par la partie convexe ,
xzz^a — r.
La première hypothèse donne
La seconde donne le même résultat , en changeant simplement r en — r. >
124. — Soient F et Ff les milieux des rayons G E et C E' , et ^ et ^ les foyers des rayons réfléchis en G et en G' , nous aurons
r g S15 — r i — mi: ■ 7 • * . • \u)
' aJi —
d'où l'on tire
qf:fe::ef:f9; (e)
analogie d'une grande utilité.
Nous avons pareillement
qf: F'e:; ef ; F' g;
de manière que la même analogie peut s'appliquer aux deu;c cas, et peut être considérée comme servant de fondement à la théorie des foyers des rayons centraux. Il est évident , en
6ft
effet, que , si P C était toate aQtte coarbe qu'un cercle , la Hràme propriété subsistei'ait eïicère en prenant pour E le centre de courbure au sommet.
1 25- — CorolU 2. Si a était infini , ou si les rayons incidents devenaient parallèles, notis aurions F^=:o; ce qui nous apprend que, dans ce cas, Xefojrerdes rayons parallè^ ïés cehtraux partage le rayon en cteux partie^ égales. On distingue ce foyer en V^^f^eXwJitJbjrer principal du réflecteur.
126. — Définition. Q et ^ sont ditsybj'er^ conjugués. Il est évident que^ si q devenait le point rayonnant, Q serait son foyer ^ car les rayons suivraient le même chemin , qnoiqu'en sens inverse.
127- — CoroU, 5. En n'ayant égard qu'aux rayons centraux , les foyers conjugués s'écartent ou se rapprochent par mouvement contraire ^ ils coïncident au centre dé la surface du réflecteur. En effet, tandis que a varie depuis -{- 00 jusqu'à — ob , F ^ subit les variations suivantes :
Tant que a variera depuis 00 jusqu'à » ^ 7 sera positif,
et croîtra depuis o jusqu'à 00 } c'est-à-dire que, Q s'avançant vers l'infini, FE^ passe par C'. Si le mouvement du point
Q continue , F q devient négatif, parce que alors a est néga-
r tif et plus grand que- , et F q diminue à mesure que a de-
vient plus grand : ainsi q se rapproche du point E par un mouvement contraire à celui de Q 5 et quand Q est à une distance infinie , q est de nouveau en E.
Quand Q arrive en E , At z= o , F 7 z= - , ou ^ est aussi
en E.
Quand Q arrive en C, fit = — r, F ^ =r — ~ , ou q est
aussi en C,
128. -^ Il résulte de la ralearde Eq, ëqaàtion (&), <pi*aii rëflectear sphériqne A G B (fig. 17), dont la corde (ou Potfverture , comme on dit en optique ) est A B , fait converger ou diverger le rayon rëfléchi par l'anneau extérieur A , vers' un point q , autre que le foyer des rayons centraux.
Soity ce dernier foyer, nous aurons
^ fl r» ar
2a(a: — a ) -j- r* fta-f-
129. — Cette quantité y*^ s'appelle V aberration longitudi' Tude du réflecteur sphérique. Si les rayons tombent sur la partie convexe , il suffira de remplacer -j- r par — r.
Exprimer approximativement l'aberration longitudinale d'un réflecteur sphérique dont l'ouverture est très petite par rapport à la distance focale.
y dénotant la demi-ouverture , et x — a étant égal à
(en négligeante^ et les puissances supérieures de j* ) , il vient fq = laberration ;=:
û r' 2 a 4- 7,ar+r^ =^ ^
=£21 if)
i3o. — En posant Cfz=:f, nous avons
et par conséquent nous pouvons éliminer la distance a du point rayonnant , et exprimer l'aberration en fonction àe l'ouverturç du rayon de courbure et de la distance du foyer des rayons centraux au sommet G : en effet, Ton tire de la dernière équation
i "^TT
et , cette valeur étant reportée dans l'équation {f) , on trouve
l'aberratiou=:^i:::i/^.l>!=^ ' ( demi-ouvertare )-
r ( rayon y ^
i5i. — Pour exprimer l'aberration latérale ou la quantité dont le rayon réfléchi h.q g s'écarte de l'axe au foyer des rayons centraux , ou la valeur àefg ( fig. 17 ), nous avons
