Démontrer la loi de la réfraction dans le système

ondulatoire.

Soit S (fig. 129) un point lumineux , et supposons que l’onde qui en émane atteigne successivement les points Y ,

X etB, infiniment rapprochés et appartenants à la surface-

courbe Y XB d’un milieu réfringent. Lorsque l’onde vient frapper Y XB, chacun de ces points devient un centre d’ondulations qui se propagent, dans le milieu dirimant ; avec une vitesse différente de celle de la lumière dans le milieu d'incidence ; à cause de l’inégale élasticité de ces milieux (5° demande).

Soit V ©: y :° la vitesse dans le premier milieu

: la vitesse dans le second.

Ce rapport sera constant par hypothèse.

Décrivant la sphère BQR , l’on prendra

NPC =

For

et Vel =2r/5Y RS

f all

all

ge

Xce! Ye représentcront alors les espaces parcourus par les ondes secondaires émanées de X cet de YŸ, au moment où l’onde directe aura atteint B : par conséquent, si des points X'et Y comme centres, avec des rayons respectivement égaux à ces espaces, on décrit des sphères, et qu’on regarde e et c comme les points où la surface courbe touche ces sphères, il'est évident que X c et Y e seront normales à cette surface, c’est-à dire à celle de l’onde réfractée : Xc et Y e seront donc les ‘directions, des rayons réfractés en X et en Y. Soient abaissées sur Ÿ R et sur Ye les perpendiculaires XqetXr, on aura

AVG SUN AS Vlr Ye 1x. 6,

A RER MR XO— 5 (TR—XQ) [(ISR—S Y)—(SQ—SX)]= + (S

D ÿ SEX SY)=> Y g; d'où l’on tire:

DETTE R ENV ENTE

Mais, puisque SX, S Y, sont les rayons directs, et Xc..

Ye, les rayons réfractés .qui Jeur correspondent, l'angle

SXY est le complément de l’angle-d’incidence de S X, et par conséquent Y X q est égal à l’angle d'incidence même, L’angle X Y r étant le complément de l'angle de réfraction, IX nr (— 902 XV à) —= l’angle de réfraction de S Y ou de S a puisque les points Y et X sont infiniment rapprochés. On conclura de ce qui précède que Y q XI 'Y

X Y ::.sin d'incidence ?: 1,

= À # Vi ?° 1 © sin de réfraction;

et, componendo,

Y gi Y#r:sin d'incidence : sin de réfraction.

Mais nous avons prouvé précédemment que

D'ENP n N PNRREN AT RTE

les sinus d'incidence et de réfraction ont donc entre eux le même rapport, que nous savons être constant. G.Q.F.D.

587. — Corollaire 1. L’ondulation se propage dans! le moindre temps possible ; à partir du point lumineux, dans .les deux cas de la réflexion et de la réfraction.

En effet, les ondes réfléchies ou réfractées marquent tou- - q

jours la dernière limite à laquelle l’impulsion s’est fait sentir

dans un temps donné. L’ondulation émanée de X (fig. 127) P D 129

dans toute autre direction que X c, comme Xy, par exem-

ple, n’attemdra pas la surface Bcd': le point + aura donc

été dépassé par l'onde primitive réfléchie owréfractée, quand P P EN

elle se trouvait dans la situation By, avant d’être atteint

par l’onde secondaire émanée de X dans la direction

588: — Coroll. 2. Cette propriété correspond, dans le système ondulatoire , au principe de moindre action dans la théorie corpusculaire. On peut#énoncer généralement com-

me: il suit :

Le rayon réfléchi ou réfracté suit toujsurs une. route telle que la tracerait, dans le moins detemps possible, un point qui se mouvrait entre les points de départ et d’arrivée, en ayant égard aux changements de vitesse occasionés.

par les milieux, et à la direction du mouvement.

589. —- Cette loi conrprend', par sa généralité , les cas où Pélasticité durmilieu est variable, et ‘ceux où l’élasticité est différentedans certaines directions : car, d’aprèssadéfinition;, le rayon n’est qu'une normale à la‘surface de l’onde, c’est-àdire à.la surface-quiest:le lieu de toutes les molécules du mi-

“lieu atteintes en même temps par l’ondulation et commengant ensemble à s’ébranler.

Ainsi le raisonnement du corolure, 1 s’applique à tous les cas possibles.

590.—Les propriétés des foyers et des caustiques se déduisent de cette doctrine avec tant d'élégance et de facilité, qu'il serait impardonnable de ne pas en donner au moins un exemple.

Définition. On nomme foyer tout point auquel l’onde arrive au même instant de plus d’un point de la surface.

Il est évident que les molécules de l’éther sont animées au foyer par la force collective de toutes les ondulations qui viennent les frapper dans la même phase et au même instant : cette force sera d'autant plus grande que le foyer sera commun à un plus grand nombre de points, et la lumiere au foyer en sera d’autant plus intense.

5g1. — Assigner la nature de la surface qui réfracterait rigoureusement vers un point tous les rayons émanés d’un autre point,

Soit F( fig. 129) le foyer. Chaque partie de l’onde émanée de S et réfractée à la surface A B atteindra F au même instant : par conséquent , la somme des temps employés à parcourir SX avec la vitesse V, et F X avec la vitesse y, est constante pour chaque point de la surface , c’est-à-dire que

s% x sn = constante ou SX Ep .FX— constante,

y étant l'indice de réfraction relatif.

Cette équation détermine la nature de la courbe cherchée. On remarquera aisément son identité avec l'équation (n) de l’art. 252, obtenue en se sefvant de la loi même de la réfraction , mais par une analyse beaucoup moins simple.

592. — L'imperfection de nos connaissances actuelles sur la théorie des ondes ne nous permet pas de calculer généralement l'intensité d’un rayon réfléchi ou réfracté. Néanmoins, en supposant que le rayon incident était perpendiculaire , et que les vibrations avaient lieu dans sa direction, M. Poisson est parvenu à déterminer les intensités relatives des rayons incident, réfléchi et transmis. Voici ses résullats :

En désignant par p, p', les indices de réfraction‘absolns, et en regardant l'intensité de la lumière comme proportionnelle au carré de la vitesse absolue des molécules vibrantes , on à

L’intensité du rayon réfléchi ? celle du rayon incident

Ca} sCu+e}, L’intensité du rayon transmis ? celle du rayon incident SAT os CéHeY

Dénotons par y, p!, u”, les'indices de réfraction de trois milieux superposés dont les surfaces sont parallèles. Quand un rayon, Venant du premier milieu , traverse le second pour se réfléchir à la première surface du troisième , son intensité, au moment où il retourne en émergeant dans le premier milieu, est à celle qu’il avait avant son incidence à la surface du second milieu comme

16 pe? p'? (pu! — p' 2 Fe. Cu Hu!) (Cu + ur,

Enfin l’intensité du rayon qui pénètre dans le troisième milieu est à celle du rayon incident à la surface du second comme :

16 pee Ce}. (+;

ce qui devient, dans le cas où le troisième milieu est le méme.que le premier,

6 pe Ce + pr}.

+ LR

Es

595.— C'est ainsi que la doctrine ondulatoire fournit une explication plausible-de la:connexion du pouvoir réfléchis sant d’un milieu avec son indice de réfraction, et de la diminution de la lumière réfléchie à la surface commune de deux milieux-en contact.

Les résultats de M, Poisson s'accordent, en général, avec . toutes les expériences que l’on a!faites jusqu'à présent. Le

docteur Young les avait déjà prévus ten grande partie dans un Mémoiresur le chromatisme (Æncy°clop. Brit.) en suivant un raisonnement que M.Poisson nomme indirect, mais qui, selon nous ,/ne mérite aucunement cette épithète.

594. — Si la photométrie nous mct un jour à même de déterminer la proportion de la lumière réfléchie à la lumière incidente , nous pourrons en conclure l'indice de réfraction du milieu réfléchissant dans les cas où l’on ne pourra pas employer d’autre méthode : c’est ainsi que M. Arago s’est assuré que près de la moitié dé la lumière incidente se réfléchit quand elle tombe perpendiculairement sur du mercure.

Nous avons, dans ce cas,

ns N ax CRE T A2 d’où

ue!

valeur de l'indice de réfraction du mercure par rapport à : l'air.

* Ce résultat s'accorde parfaitement avec plusieurs observations optico-chimiques qui semblent assigner aux métaux d’une grande pesanteur spécifique , surlout aux métaux blancs, d'énormes pouvoirs réfringents et dispersifs, quand on en juge par ceux de leurs combinaisons transparentes. Cette intéressante application n’a point échappé au docteur Young, dans le mémoire précité.

595. — Pour compléter la théorie de la réfraction et de la réflexion dans le système ondulatoire ,. ilne nous reste,plus qu’à montrer ce que deviennent les rayons obliques (tels que X y, fig. 127) provenant des ondes secondaires, qui divergent dans toutes les directions et tous les points des surfaces réfléchissantes ou réfractantes,.et qui ne contribuent point à la formation de l’onde principale.

Mais, pour en rendre compte, nous devons avoir recours à la doctrine de l’interférence, qui est due presque entièrement au génie du docteur Young, quoiqu’on en trouve une esquisse assez bien tracée dans les écrits de Hooke, l’homme le plus ingénieux, peut-être, de son siècle. Newton lui-même s’est livré quelquefois à des spéculations analogues; mais ni les idées éparses de Newton, niles apereus de Hooke, népeuvent entrer en parallèle avec la théorie élégante et claire du docteur Young. Si le système de ce physicien n'est pas celui de la nature, c’est du moinsune des hypothèses les plus heureuses qu’inventa jamais l'esprit humain pour'grouper ensemble certains phénomènes naturels. On admire avec:quel bonheur les objectionsles plus formidables, qui résultaient de certaines découvertes inconciliables, en apparence, avec cette doctrine, n’ont servi qu’à lui prêter un appui inespéré en effet, l’on n’y rencontre, à chaque pas:, qu'une suite de 2asards heureux , tellement qu’on est forcé d’avouer que,:si ce système n’est pas vrai, il mérite de l’être. Nous craignons que les limites de cet ouvrage ne nous permettent: pas de lui rendre une justice aussi entière que nous le voudrions:

$ III. — De l’interférence des rayons lumineux.

Principes généraux de la doctrine de l’interférence. Cas d'opposition complète ; cas d'accord parfait. = Analogie avec les Ondes propagées suivant des canaux.==Les vibrationsinitiale.et finale péuvent être négligées. — Neutralisation de deux rayons de lumière qui se trouvent

ans des phases différentes. — Définitions : phases ; amplitude dé vibration ;,rayons,semblables. = Origine d’unrayon; trouver cette origine. — Recherche du rayon résultant de l’interférence de deux

autres. — Théorème de Fresnel. — Composition et décomposition des rayons. — Rapport des intensités. — Problème général des interférences. — Composition et décomposition des vibrations. — Cas d’interférence de vibrations rectilignes. — La vibration résultante est généralement elliptique. — Cas où la résultante est rectiligne ; cas où les vibrations ont la même direction; cas d'accord parfait entre des vibrations non coïncidentes. — Amplitudeet situation de la résultante. — Cas de vibrations circulaires. = Destruction mutuelle des ondes secondaires, = Cas de la transmission d’une onde à travers une ouverture limitée,

596. — Le principe sur lequel est fondée cette partie de la théorie de la lumière estune conséquence de celui de l'addition des petits mouvenrents, énoncé à l’art. 583.

Si deux ondes atteignent ensemble une même molécule éthérée; celle-ci recevra à la fois deux impulsions, et le mouvement qui en résultera sera dirigé suivant la diagonale du parallélogramme: dont les côtés représentent cesimpulsions: par conséquent, si les vitesses composantes ont/presque la même direction ; la résultante sera à peu près égale à leur somme, et à leur différence si elles sont opposées: Supposons maintenant :

1° Que deux mouvements vibratoires, produits par une série d’ondulations égales et successives ; répétées indéfiniment dans un milieu élastique, se fassent sentir en même temps en un même point, à une distance quelconque de leur centre commun ;

2° Qu’après avoir suivi des routes différentes, soit à cause de linterposition d’un obstacle ou autrement , leurs directions en ce point se confondent sensiblement;

5° Que, par suite de l’inégale longueur des routes ou de la

différence des vitesses, le temps qu’une onde emploie à pars courir la première route (A) soit plus court que celui qu’elle mettrait à parcourir la seconde (B).

IL est évident qu’une molécule d’éther qui se trouvera en un point commun aux deux routes À et B commencera à vibrer.en, vertu des ondulations propagées suivant À , avant d’être atteinte par l’onde qui doit parcourir B : avant la coincidence, son mouvement sera donc le même que:siles ondes propagées le long de B n’existaient pas; mais | après ce moment, il sera à peu près égal à la somme ou à la différence desmouvements que les deux ondulations eussent communiqués séparément à la molécule.

597. — Or il peut arriver que la différence des longueurs desroutes, ou la différence des vitesses, soit telle, que les ondes propagées suivant B atteignent l’intersection après des inter valles précisément égaux au temps d’une demi-ondulation , c’est-à-dire qu’elles soient en retard dela moitié du temps qu'une onde met à parcourir un espace égal à une cndulation entière : dans ce cas, la molécule qui serait dans une de’ses phases d’excursiou autour de son point de repos , en verlu des vibrations propagées suivant À, se trouverait au même instant dans une phase tout-à-fait opposée , en vertu de celles qui suivent la route B, considérées isolément, c’està-dire qu’elle se mouvrait en sens contraire .avec la même vitesse. (Voy. art. 570.)

La coexistence des deux systèmes de vibrations détruira donc le mouvement, et la molécule restera en repos. La même chose aura lieu si la différence des routes ou des vitesses est telle, que les vibrations propagées le long de B par-viennent à l’intersection des routes aux ?, 5, Z , etc., d’une période d’ondulation entière, après celles qui arrivent par A : en effet , les phases de vibration étant périodiques et répétées indéfiniment, il importe peu que la première vibration propagée suivant B interfère avec la première vibration propa-

gée suivant À, ou avec une vibration subséquente, pourvu que la différence des phases soit la même.

598. — Il peut arriver aussi que les ondes propagées le long de B n’atteignent le point de rencontre qu'une ou plusieurs périodes apres les ondes venant par A : dans ce cas, la molécule à l’intersection des routes sera agitée à chaque instant, après l’arrivée de la première onde venue par B, par les deux vibrations qui se trouveront dans la méme phase, et conséquemment, la vitesse ét l'amplitude des excursions seront doublées au lieu d’être anéanties.

599. — Enfin, la différence des temps d’arrivée peut n’être ni un multiple pair ni un. multiple impair d’une demipériode d’ondulation : dans ce cas, la molécule vibrera avec une vitesse moindre que le double de celle qu’elle aurait si chaque impulsion avait lieu séparément,

600. —. On peut se former une idée très juste de linterférence des rayonslumineux, en considérant les intersections des ondes à la surface de l’eau. |:

Conceyons deux canaux de même largeur, A et B,.qui se coupent à angles droits dans un réservoir, où arrivent en mémé temps, d’une grande distance, deux ondes qui ont parcouru les deux canaux avec des vitesses égales ctuniformes:

Supposons que les parois soient pa rfaitement lisses , et que les canaux aient une largeur égale dans toute leur étendue, mais qu’ils s’infléchissent un peu, de manière à se rencontrer à une certaine distance, la courbure de B étant un peu plus forte que celle de A, et la distance du réservoir au point de concours étant plus grande suivant B que suivant A. Si l’on ne considère qu’une seule onde , il est évident que la partie qui aura été propagée' le long de A atteindra l'intersection avant celle qui sera venue suivant B, de manière que l'eau

sera soulevée par deux ondes successives. D'ailleurs, la cause

dé l’ondulationsubsistant toujours, ct produisant une série indéfinie d'ondesvégales, Si la différence de longueur des deux canaux.est précisément égale à la moitié de l'intervalle entre lés sommets de deux ondes consécutives, lesommiet d’une londe. quelconque venue par À parviendra à lintersection en! même temps que l’espace entre les sommets consécutifs de deux ondes venues par B. Ainsi le niveau de l’éau doit s’abaisser autant en vertu de l’une de ces causes qu'il doit s'élever en vertu de l’autre : il n'éprouvera donc aucun Changement.

Or, quand l'onde propagée suivant A traverse le point d’intersection , elle s’abaisse, depuis son maximum d’élévation, par les mêmes degrés que l’onde venue par B s’élève.en avançant avec unc égale vitesse. Conséquemment, Je niveau reste le même au point d’intersection , aussi long-temps,.que les ondulations se succèdent régulièrement: dès que celles-ci viennent à cesser, la dernière demi-onde qui a parcouru B, ne trouvantipoint une demi-onde correspondante, venue suivant À , pour interférer avec elle, produira un seul mouvement oscillatoire au point de concours.

6o1. — Dans la théorie des interférences on peut négliger

. les ondulations qui ont lieu au commencement ét à Ja fin du mouvement, et qui ne sont point compensées, car leur nombre est trop petit pour exciter la sensibilité de la rétine, : on considère alors les rayons interférents comme ayant une durée indéfinie, sans avoir égard'au commencement et à la fin

des vibratiowus,

602. — D’après ce qui précède on voit que, si deux rayons ont une origine commune, c’est-à-dire s’ils appar= tiennent à un même système d’ondes lumineuses ayant un centre commun, et qu’ils suivent des routes différentes pour venir tomber en.un! point, que nous supposérons sur un écran ou sur la rétine, ils formeront un point brillant dansiletpremier cas, et produiront la sensation de la clarté dans le se-

cond, pourvu que la différencede leurs routes soit unmul-tiple pair de la longueur d’une :demi-ondulation: Au contraire, ils ne formeront qu’un point noir si cetté même différence est un multiple impair de-cette longueur ; si le multiple est un nombre. fractionnaire ; la sensation sera plus ou moins vive, suivant qu'ilapprocheratdavantage d’un nombre pair: ou d’un nombre impair: La neutralisation de deux lumières serait regardée comme un étrange paradoxe, si elle n’était confirmée par l'expérience. Ce fait fut observé et soigneusement décrit par Grimaldi long-temps avant qu'on pût lui assigner une cause plausible.

605. — Avant de soumettre au calcul la théorie que nous venons d’esquisser, nous croyons nécessaire de fixer le séns de ‘quelques termes que nous avons pris ju‘qu'à présent dans une acception trop générale.

Go4. — Definition. La phase d'une ondulation qui affecte une molécule d’éther en un instant donné est exprimée numériquement par un arc de cercle proportionnel au temps, et dont le rayon est l'unité. Cet arc est nul quand la molécule est en repos à sa plus grande distance d’excursion positive, et devient égäàl à une circonférence eutièré quand la molécule, achevant sa vibration, revient à l’état de repos au même point dont elle élait partie. Ainsi, dans l'équation

v=a.VEsm (2e. ES),

t s 2T. m6 est la phase d’ondulation au moment £.

6ob.— Définition. L’amplitude de vibration d'un rayon ou d’un système d'ondes est le coefficient a, ou l’excursion mazxima de chaque molécule d’éther, àcompter de son point

de repos.

Corollaire. L’intensité d’un rayon de lumière est en raison du carré de l’amplitude de vibration.

606. — Définition. Les rayons semblables sont ceux dont les molécules constitutives suivent la même loi. Leurs vibrations s’achèvent dans le même temps, et les lignes que décrivent ces molécules sont semblables , et semblablement situées dans l’espace ; de manière que les mouvements de deux molécules correspondantes sont toujours parallèles.

Corollaire. Les rayons semblables ont la même couleur.

Go7. — Définition. L'origine d'un rayon ou d’ün système d'ondes est le centre matériel de vibration d’où émanent les ondes, ou , plus généralement, un point fixe, dans la direction du rayon , tel qu’à une époque déterminée l’ondulation y soit dans la phase zéro.