Corollaire. Puisque VS
l'expression de la vitesse devient
46 D 4 3 2D p —'«.sin 2 x. T—;)=ssmar Tue) LE
et l’on a pareillement
(5) LT a. COS 2 7% .
Problème. ; <
611. — Déterminer la couleur, l’origine et l'intensité d’un rayon résultant de l’interférence de deux autres qui diffèrent d’origine et d’intensité. ; é
Soient a* et a" les intensités des rayons interférents , ou & et a! leurs amplitudes de vibration. Posons
&-= "a E et «= a! VE.
En dénotant par 6 la phase de vibration d’une molécule M à l'instant #, telle qu’elle serait en vertu du système d'ondes (A), et par 0 + X la phase qui résulterait du système
(B) , 3=T représentera le temps employé par la lumière à par- T
courir un espace égal à l’intervalle entre M et l’origme, et les vitesses que chaque rayon communique à la molécule seront respectivement
v ia sin 0, pl a! sin (0 + K), qui correspondent aux distances san ie0s 0 Tan: COs (0 CAN) 0e par conséquent la vitesse et la distance résultantes seront
p Hp = a sin 0 + a! sin (9 + K)
et x + x'— a cos 0 + a! cos (9 + k).
Faisons cette derniere expression égale à À .sin (0 + B), hypothèse que nous justifierons en démontrant la possibilité de soumettre À et B à cette condition : il viendra alors
(a H a! cos k) sin 4 + a! sin k cos 0 = À.cos B.sin 0, A .sin B. cos 6,
et, en égalant les termes semblables, A.cos B—= «+! cos k, À sin B—%«.sin K;
d’où l’on tire a sin k tang B = ——— 5 æ + a! cos K?
AE
a! sin k A RENE PER SRE A mt — 2 a x cos À + «7°.
Les seconds membres de ces équations étant donnés, l’on connaîtra A et B, et par conséquent
y + pe" — À sin (0 LB).
En écrivant A! cos (9 + B)
au lieu de x + x', on trouvera pour A’ et B' des valeurs semblables à celles de A et de B, en changeant simplement « et «'euaeta!.
612. — Corollaire 1. Nous conclurons de ce qui précède: que le rayon résultant est semblable à ceux qui le composent, et qu’il a la même nériode, c’est-à-dire la même couleur.
615: — Coroll. 2. C'est à Fresnel‘qu’on dôit ia règle suivante pour déterminer l'amplitude et l’origine du rayon résultant. Elle dérivé immédiatement dela valeur de A et de l'équation
trouvée plus haut.
Si l’on construit un parallélogramme dont les côtés adjacents soient proportionnels aux amplitudes a et a! des rayons composants , et que l’angle compris, mesuré par un arc de cercle dont le rayon = 1, soit égal à la différence des phases de.ces mêmes rayons, la diagonale de ce parallélogramme représentera l'amplitude du rayon résultant. L’angle entre cette diagonale et l’un des. côtés représentera la différence de phase entre le rayon résultant et le rayon composant représenté par ce côté, ou, ce qui revient au même, la différence de leurs origines quand on emploie des mesures linéaires.
614. — Coroll. 3. Dans le cas. d’opposition complète, la diagonale du parallélogramme devient nulle ; l’angle devient égal à 180°, et correspond à une différence d’origine égale à une demi-ondulation.
Dans le cas d’accord parfait, l’angle est zéro ou 360», et les origines des rayons coïncident ; ou, ce qui revient au méme, elles différent d’une ondulation entière ; la diagonale est égale au double-d’un des. côtés adjacents, de manière que l’intensité du rayon résultant est quadruple de celle de chaque rayon composant.
615. — Coroll. 4. Si les origines de deux rayons également intenses diffèrent. d'un quert d’ondulation, l’amplitude du rayon résultant sera, à celle de chaque rayon composant, dans le rapport de L/2 à 5 : son intensité sera donc double, et la différence entre son origine et celle d’un rayon compo sant sera d’un huitième d’ondulation.
5go Ainsi, dansice cas particulier, lé rayon résultant a un éclat
égal à la, somme des éclats des rayons composants, et sa:di-
xection tient exactement le milieu entre. cellés ‘des: déux
autres.
616. — Coroil. 5: Tout rayon peut se partager en deux autres d’origine et d’amplitude diflérentes, en obsérvant les règles qui coticérnent la décomposition des forces en mécanique.
617. — Côroll. 6. — "La somme des éntensités des rayons cômposants Surpasse l’intensité du raÿon résultant, quand la
différence dés origines, est au-dessous d’un quart d’ondula-
tion ; maïs elle lui est inférieure lorsque cette différence tombe entre ? et, et encore une fois supérieure entre les limites + ét £ : en effet, la valeur dé A’, rapportée plus haut, donne a + a? — A —2aa.cos k; \
a, a! el A7, représentant les intensités respectives des rayons dont les amplitudes sont a, a! et A.
Coroll: 7. On peut composer de-la même manière un nombre quelconque de rayons-semblables; le rayon résultant sera semblable à ceux qui ont servi à le former, et réciproquement. ;
618. — Considérons maintenant l’interférence d’ondes ayant la même période (ou couleur), mais qui diffèrent sous tous les autres rapports.
Les molécules qui composentles corps lumineux, et ébranlent l’éther;, n’engendrant que. des ellipses en vertu de leur loi de vibration , il en sera de même des molécules de, Véther : or chaque vibration elliptique achevée sous, l'influence d’une force, dirigée vérs: le centre durmouve-
ment et proportionnelle à la distancepeutise décomposer en trois vibrations rectilignes, suivant trois plans rectatigulaires. Chacune de celles-ci s’accomplira dans le même temps, par l'effet de la même force , et en suivant les mêmes lois à Pégard de la viteséé ‘du temps et de l’espace. Ainsi chaque Vibration elliptique $éra détévmiinée quand on connaîtra la place dé la molécule, à uñ'instant queléonque#, en fonction de ses trois coordonnées, x, 7, z; de manière que, 9 étant un arc proportionnel au temps, nous,auréns
æ—a.cos (6 Lp), y = b.0cos (9 + aq), + + (1) C. COSNNEE r); }
7 =u—a.sn (Ep)
ET = pa 26. : sin, (0 , s +1. (2 PS £ no) ( + g); \. (2) d z
T WE y: sin (0 +7)
En effet, si l’on multiplie la premiere de ces équations par un cocflicient indéterminé Z, la seconde par 77 ct la troisièe-
me par #, on trouvera, en addilionnant,
1x -bnz=cos6 (la.cosp+-mb.cosq—n c.cosr) G) —sin { (la.sinpÆmb.sing+Hne.sinr), et par conséquent, en déterminant Z, #2 et n, par les condi-tions La.cosp +mb.cosg+<nce.cosr—=o,
la.snp+mb.smqg#}nc:snr—=o, -
auxquelles on peut toujours, satisfaire, puisque ces équations
ne sont que du -premier.degré ; ilbresteratune relation indépendante de 4; qui sera G
ÉTEEMY + nRZzZ— 0. su. (4)
Comme cette équation est.celle d’un plan, on en conclura que la courbe caractérisée par les équations (1) et (2) est en-
CO
tièrement plane : or, en éliminant 6 entre les équations qui ne contiennent que et. y, il vient
