L’onde résultante sera exprimée par l’équation

x= Ga) G— 4) [essi+aco(o+er.2t)],

qui donne, lorsqu’on la réduit à la forme

A . cos (0 + B),

A2—(1—a)'x à) [itaa.cos(ar 2) +]

À : QUE a SIN 2T. — À J : 24 É Dita (er) Le

668. — Telles sont les formules générales relatives à l'intensité et au changement d’origine du rayon transmis. Cependant, lorsque a et « sont des quantités très petites, ce qui arrive nécessairement dans eertains cas, la valeur de A? se simplifie en négligeant les carrés et le produit de a et de «, et devient égale à

Gate) has (or à);

sin B =

- expression analogue à celle de l’art. 662, dans le cas de

l'incidenee perpendiculaire.

On voit par là qu’à une très légère différence près dans le degré de coloration , l’éclat pour la lumière homogène , ou la teinte pour la lumière blanche, varie suivant les mêmes lois dans les deux cas.

669. — Il y a pourtant une différence essentielle : c’est que les teintes correspondantes à l’épaisseur #, dans le cas d’incidence oblique , auraïent été produites par l'épaisseur £ cos p dans celui de l’incidence perpendiculaire ; ce qui proviént de ce que

Comme cette dernière valeur est toujours moindre que £, la teinte qui répond à une épaisseur donnée, quand l'incidence est oblique, est toujours d’un ordre plus élevé ( c’est-à-dire qu’elle correspond à une épaisseur moindre) que si l’incidence était perpendiculaire. Ainsi les anneaux ou franges que l’on voit par transmission s’élargissent quand on incline la lame par rapport à l'œil. Tant que l’obliquité de l’incidence n’est pas trop considérable, la loi de cette dilatation revient, à très peu près, à la règle de Newton : car celle-ci donne, en négligeant sin#p, L

sécu —séc p[i—1}.1$(p—1)tang p];

valeur qui s’écarte peu de séc. b quand l'incidence n’est pas

trop oblique.

670. — Il n’en est pas de même quand l’obliquité est très grande. Les résultats de l'expérience s’écartent tellement de ceux que donne la théorie des ondulations, qu’on pourrait en tirer un argument solide contre cette doctrine, si l’on était sûr que le sinus d'incidence conserve un rapport invariable avec le sinus de réfraction dans le cas d’une lame mince et d’une extrême obliquité ; ce qui est néanmoins très probable, comme l’a remarqué Fresnel (Mém. sur la diffraction, etc), et comme nous avons déjà eu occasion de le faire observer.

Nous nous contenterons dé proposer ici une explication vraisemblable de cette difliculté, que le système ondulatoire L * 4 n'a pas encore su lever entièrement; sans discuter à fond ce point délicat.

671. — On peut attribuer les anneaux réfléchis à la transmission partielle des ondes qui, étant renvoyées en arrière par la seconde surface , interfèrent avec celles que réfléchit immédiatement la première. Les intensités de ces ondes sont, en général, dans le rapport de a à(1—a)(1—«)«; ou, lorsque a et « sont assez petits, dans celui de a à &. Dans le cas d'incidence perpendiculaire, ce rapport approche beaucoup de l'égalité : ainsi,la destruction des ondes, dans le: cas d’opposition complète, sera beaucoup plus exacte pour les anneaux réfléchis que pour les autres; les couleurs seront plus vives aussi, étant moins affaiblies par le mélange du

blanc.

672. — On a fait encore contre la doctrine ondulatoire une objection trop importante pour être passée sous silence. Si. lon appliquait aux anneaux réfléchis le raisonnement dont nous ayons fait usage pour les anneaux transmis, on arriverail à Ja.conclusion que leurs teintes seraient précisément les mêmes et dans le même ordre, à partir d’une tache-d’un blanc'brillant qui occuperait le centre. En effet; la route du rayon dans l’intérieur de la lame devenant nulle en ce point, les ondes réfléchies par les deux surfaces devraient s’accorder parfaitement , tandis qu’au contraire l'expérience nous apprend que la tache au centre est noire. Il faut nécessairement supposer, dans ce cas, qu’il y a une demi-ondulation gagnée ou perdue par l’une des ondes que réfléchissent les deux surfaces. Cette hypothèse admise, les phénomènes que présentent les anneaux réfléchis sont exactement représentés dans le système des ondulations. L’onde réfléchie par l'action combinée des deux surfaces est exprimée par l’équa- Lion

Res

VINS Ale Ze

{ ù Ji

X= a 60s 0 Lf/ ar a)j(i— 2). cos (42, 2");

et, si l’on pose

X—Acos(0—B), il vient

Ra pate) (1 9) a BTE à cn (ar. 26),

Si a et « sont des fractions très petites ,

A (Na La) Lau sin (27 +)

Si en même temps l'incidence est perpendiculaire, auquel

cas 44 et « —a à très peu près,

A 4 a. sint (2 E)

675. Nous voyons ainsi que, dans ce dernier cas ; l’intensité totale de l'onde réfléchie , plus celle de l’onde transmise (art. 662), vaut l'unité, quireprésente l'intensité de l’onde incidente.T”hypothèse de la perte ou’du gain d’une demi: ondulation n’implique donc aucune contradiction avec le principe des forces vives.

674. — D'ailleurs, si l’on ne considère que la manière dont se propagent les ondulations à la limite entre deux milieux , on ne trouvera rien de contraire aux lois de la dynamique dans l'hypothèse précédente. En effet, on ne peut supposer que l’éther change brusquement de densité où d’élästicité à la surface d’uñ milieu ; il paraît plus probable qu’il

-y a là une légère couche, où cette densité varie continuelle-

ment, et où la longueur d’une ondulation ne répond exactement ni au milieu le plus dense ni au plus rare. C’est pour-

quoi le nombre des ondulations qui doit déterminer la phase du rayon, lorsqu'il aura traversé cette couche, ne sera pas le même que si les milieux se succédaient immédiatement.Sans connaître ni la loi de la densité, ni les limites entre lesquelles s’opère ce changement , ni la manière dont les ondes se réfléchissent partiellement dans cette couche, il est impossible de soumettre cette question à l’analyse. Nous sommes donc obligés de recourir à l'expérience, et de nous contenter de ce qu’ellemous apprend.

Dans le cas précédent, on observe qu’il y a une demiondulation de plus entre les phases de deux rayons réfléchis qu’entre celles de deux rayons transmis. On peut inférer de quelques expériences du docteur Young que cette différence n’est pas toujours exactement d’une demi-oudulation, mais

plutôt d’une fraction dépendante de la nature des milieux contigus.

675.— Les formules de l’art: 672 prouvent que les teintes nesont pures que'dans le cas de l'incidence perpendiculaire; dans tous les autres, surtout pour de grandes obliquités ; quand: à’ et widifférent considérablement ; les couleurs sont mêlées ‘de’blanc. Sous l'incidence perpendiculaire , les anneaux-minima doivent disparaître entièrement quand la lumière est homogène ; de manière que, sil’on posait un objectif sur un plateau de verre "en empêchant les rayons réfléchis’ par: la surface supérieure d’arriver jusqu’à Pœil (à Paide d'untprisme, ‘par exemple) , les intervalles entre les anneaux produits par la lamière homogène paraîtraient absolument noirs. Ce fait semble contraire à la doctrine de” Newton, car, d’après celle-ci, la lumière réfléchie par la surface supérieure de la couche d’air.éclairerait toujours les ânneaux:mininia : cette remarque permet donc de décider entre les deux théories: Fresnel décrit une expérience qu'il a faite à ce sujet, et1l affirme qu’elle est péremptoire en faveur du système des ondulations. ( Diffraction de la lumière, page 11.)

$ V. — Des couleurs produites par des lames “dpaisses.

Expérience de Newton avec un miroir de verre. — Explication des anneaux colorés , suivant la doctrine ondulatoire. — Loi des diamètres des anneaux. — Loi des couleurs. — Concentration de la lumière de tous les points de la surface. — Discussion de l'expérience de Newton. — Cas d'incidence oblique. — Phénomènes observés par le: duc de Chaulnes et par sir W. Herschel. — Franges vues par le docteur Brewster dans des lames épaisses : leur description, leur explication. — Définition des lignes isochromatiques. — REte) entre des lames très minces de verre soufllé. dr

676. — Dans certaines circonstances, des lames épaisses de diversés matières transparentes produisent des anneaux colorés. Un des cas principaux a été observé par Newton, qui l’a expliqué d’après sa doctrine des accès. Voici comment il décrit ce phénomène :

« Ayant fait passer un rayon solaire dans une chambre obscure , par un trou d’un tiers de pouce de diamètre, je le reçus perpendiculairement sur un, miroir de verre étamé concayo-convexe, d’un, quart de pouce d’épaisseur,-et dont chaque surface appartenait à une sphère de six pieds de rayon. En tenant alors, au centre de courbure, un morceau de papier percé d’un petit trou, de manière à laisser passer la lumière incidente et la lumière réfléchie par le miroir, ce trou me parut entouré de quatre ou cinq.anneaux, colorés concentriques , exactement semblables aux anneaux qui entourent la tache au centre dans l’expérience avec les lentilles ; seulement les couleurs étaient lavées.etles anneaux plus larges.

. . . . se . . . . . . . .

« Quand le papier était à plus ou moins de six pieds du miroir, les couleurs deyenaient plus pâles et finissaient par s’effacer.

« Les couleurs se succédaient dans le:même ordre que

celles que l’on voit par transmission dans les lames minces ; c’est-à-dire le blanc d’abord, puis le blanc grisâtre, le noir, le violet; le bleu, le jaune vérdûtre, le jaune, le rouge, le pourpre, etc.

« Les diamètres de ces anneaux étaient entre eux dans les mêmes proportions que ceux des lames minces, leurs carrés formant une progression arithmétique qui commençait par o, diamètre de la tache blanche au centre. Les diamètres

des anneaux lucides avaient pour mesureo,11,2%,2, +.

« Enfin , quand j'employais des miroirs de diverses épaisseurs, les diamètres des anneaux homologues étaient réciproques aux racines carrées des épaisseurs. Quand la surface convexe du miroir était étamée , les couleurs des anneaux

n’en étaient que plus vives. »

677. — Ges phénomènes et d’autres semblables , d’une plus ou moins grande complication, suivant la: distance et l’obliquité du miroir et la courbure des surfaces , ont été expliqués d’une manière fort heureuse par Newton (Optique), en considérant les'accès de facile réflexion.et de facile transmission de cette faible portion de lumière quise dissémine en tous sens à la première surface du verre;.et qui sert à la rendre visible. Pour nous, nous allons essayer de rendre compte de ce phénomène d’après la théorie. des ondulations ; ceque l’on n’a fait jusqu'à présent que d’une manière incomplète et assez obscure. ;

678. — Aucune surface, quelque polie qu'on la: suppose, n’est exempte de petites aspérités dont l’effet est de réfléchir et de transmettre, outre les rayons principaux qui obéissent aux lois de la réflexion et de la réfraction, d’autres plus faibles qui se répandent dans toutes les directions , et qui rendent la surface visible pour un œil placé en un point quel-

conque de l’espace : ceux-ci se trouvent surtout en grande quantité dans le voismage des rayons régulièrement réfléchis ou transmis. Ces derniers, se disséminant en partie dans leur propre direction en traversant la première surface, produisent, par leur interférence , les anneaux qui nous occupent maintenant.

679. — Soient FAD, EBG (fig. 156), les surfaces parallèles d’un milieu qui reçoit perpendiculairement en A un rayon homogène émané de €. La plus grande partie de ce rayon passera par À, et sera réfléchie vers ce même point par B; mais, en À, il y a dissémination, et le rayon transmis AB est entouré d’un cône de rayons très faibles Aa, Ab, A'e, Ætc., qui divergent tous du point À, dans la méme phase d’ondulation que le rayon incident; de sorte que A peut être régardé comme une origine commune.

Soit Q le foyer conjugué des rayons réfléchis par la seconde surface, Aseral’autre foyer; ct, silessurfacessont planes, Q et A seront équidistants du point B. Les rayons disséminés formeront un cône qui aura pour axe le rayon réfléchi régulièrement, et qui divergera par rapport à Q. Or; quand ils repasseront dans l'air; ils iront en divergeant à partir de g; foyer conjugué , par rapport à Q, des rayons réfractés par la surface F D; et, par la nature même des foyers, les ondulations se‘propageront comme si elles avaient pour origme commu ne le point q quise trouve dans l'air, puisque les ondes ont, après la réfraction, la forme de sphères coneentriques autour de g : par conséquent, si elles émanaient réellement de:ce point en rayons isolés , ceux-ci seraient tous dans la même phase. Quand le rayon réfléchi est revenu en À, il s’en dissémine encore une partie'en forme d’un cône dont l'axe est le rayon régulièrement transmis A C.:Les rayons AO, AN; AM, etc., ont tous À pour origine, etsont, en quittantice point, dans la même phase que le rayon AC, qui se trouve dans la même phase que s’il émanait de. g. Conséquemment ; si l’on considère un point M hors de la direction du rayon

directement transmis, ce point sera touché par deux ondes à la fois, l’une appartenarffe au cône autour dé g M, et l’autre au cône autour de À M : la différence des routes est égale à

Lorsque M esttrès près de C, cette différence est très petite. En C elle s’évanouit , et les ondes s'accordent parfaitement ; elle augmente quand-M s’éloigne de C ;'et, lorsqu’elle devient égale à une demi-ondulation, les ondes sont en opposition complète et se détruisent mutuellement. Comme on peut dire la même chose de tous les rayons qui forment des cônes autour de À C, pourvu qu'ils aient les mêmes inclinaisons par rapport à À M et à 4N, si l’on place un écran en C; il paraîtra couvert d’anneaux alternativement obscurs et lucides , dont le centre commun sera lumineux. Pour déterminer leurs diamètres, nous poserons

gA+AM—gqN=n.…

ou , en prenant Gigi EX QU Ge

AE CEE

Résolvant cette équation, en négligeant y*, il vient

r= fn. ARR par où l’on voit, en écrivant successivement, 0, 1, 2,3, etc., au-leu de n,'que les diamètres dés anneaux sont entre eux

commeles racines carrées de ces nombres.