Coroll. 3. Si nous posons
— tang M qP = cotang M P q = iang MP 9?
il viendra p PHP Tr) TZ:
THPITPL ?
et l'équation du rayon réfracté, exprimée en fonction des
coordonnées X et Y, comptées à partir de l’origine Q , sera Y—y=-P(X—x), : . . (N
parce que les coordonnées Y sont dans le sens opposé à celles de la courbe.
225. — Dans le cas de rayons parallèles, ces expressions deviennent ( en mettant x + à à la place de x, et faisant a infini)
Z=aVwQG+Fp)=1 | NV. CN (2) LL =RENEG Ep) : g 1+p Va G Ep) —i
ste bris #) Lies Ve Gr) 1-p
$ VIII. — Des caustiques par réfraction , ou diacaustiques.
Pour des rayons parallèles, la courbe est une section conique. — Caustique d’un plan réfractant.
226. — La théorie des diacaustiques est en tout point analogue à celle des catacaustiques que nous ayons déjà ex-
posée. Pour trouver les coordonnées X et YŸ du point de la diacaustique correspondant au point P sur la courbe réfractanté, nous n’avons qu’à regarder l’équation (f), et sa différentielle par rapport à x, y et p, comme subsistant simultanément, et nous obtiendrons ainsi en fonction de x et de y, de même que dans le €as de la réflexion, les équations nécessaires pour déterminer X et Y. Ces équations sont
P+p P+p is
LR Ep A An Clesaine (c)
Il n’y a de différence que dans les signes et dans la valeur de
P, qui, au lieu de la formule (c), art. 110, est exprimée ici par la fonction plus compliquée (e), art. 224. SE
L’équation de la diacaustique s’obtiendra également en
éliminant X et Y entre ces dernières équations.
227. — Il est évident d’ailleurs que, si nous faisons EÉprp M TP dir
comme dans la théorie des catacaustiques, et si nous dénotons par S la longueur de la caustique, et par fla ligne P y, nous aurons, de même que dans cette théorie,
————— d Y F=MI IEP P = 2:
et ù 1—Pp
£ EE É Le E P:
(Voyez les art. 159, 145, 144.) Maintenant nous avons, en substituant à P sa valeur (e), ur (1+p?) t+Pr+p2)?
(æbpy) (5) + pr +p 2
Vire =
1 — Pp —
ét par conséquent la valeur de dS devient (æ ) dx dr aS = af+ SERIE capte,
parce que (x+Epy) dx =rdr,
Intégrant ensuite ; { - S = const + f+ — :
F ainsi nous trouvons finalement (fig. 34)
are Fy = (CE —Py)# (QC — QP) . GO
228. — Dans le cas de la réflexion, p — — 1 ; mais, en méme temps, le signe de f'est négatif, parce qu’alors le rayon réfléchi se trouve du même côté du point d’incidence que le rayon incident : ainsi deux termes de la formule changent de signe à la fois, et cette expression devient celle de l’art. 144,
229. — Dans le cas de rayons parallèles, nous devons faire usage de la valeur de P trouvée à l’art. 225, équations (z). Posant
d'p TESTz?
et effectuant les opérations , on trouve alors
PE ue Gp
7 7) é Cp) = VE :
ar a 250. — Corollaire. En supposant y = , c’est-à-dire le
pouvoir réfringent infini, le rayon réfracté coïncidera avec la normale, ct la caustique avec la développée : il est évident que les expressions (m), quand y =, deviennent
identiques avec les valeurs connues des coordonnées de la
développée.
251. Si les rayons incidents sur la courbe réfractante ne vont pas en divergeant d’un même point, mais qu’ils soient tous tangents à une courbe V V! V’ (fig. 55), nous devrons poser z — a pour x dans la valeur de P [éq. (e), art. 224], et fixer l’origine des coordonnées en A en faisant AQ — a. Si nous regardons alors a comme variant suivant une certaine loi (ou x — a comme une fonction de +), et que nous prenions la différentielle de P dans cette hypothèse, les équations (:) continueront à subsister, et sufhront pour déterminer la caustique.
Problème.
252. — Etant donnés le point rayonnant et l'indice de réfraction, déterminer la nature de la surface courbe qui réfracterait tous les rayons en un même point.
Il faut ici chercher la relation entre x et y, en supposant Q q invariable. Soit Q = c : nous aurons
LU DE En ae Dre DR € CPU CS po) 2?
équation dans laquelle L= Ve CE) GED GFPr) Celle-ci donne
(x pr) (pc) =ÿ] =2(xz =c+pr);
carrant des deux parts,après avoir remplacéZ par sa valeur, Gœ+rry [tr(@—9 y +(r—c+pr)] = (2 -c+rprder, Ct) Gp).
En effectuant dans le premier membre les opérations in-
diquées, l'équation devient entièrement divisible par 1 +», et se réduit à
@+prY Cr (a ]=r(&—c<+pr} (r° zx),
: ; ! : d PTE qui devient, en y écrivant au lieu depsa valeur SL , multipliant æ
par dx”, et extrayant la racine carrée, x dx +ydy Exec) dr Erdr.
ÉD UNE Û zx —cy Tr: 3
intégrant ensuite ( chaque membre étant une différentielle
exacte)
We Ep =6+e ec}; Fr;
équation de la courbe cherchée, qui est en général du quatrièeme degré.
255. — Coroll. 1. Du point Q (fig- 56) comme centre, avec un rayon Q À pris arbitrairement, décrivons un cercle ABDE : soit CP la courbe réfractante, et Q À —6, nous aurons
QP=V Er, Pa == y Fr, et la nature de la courbe sera exprimée par la propriété sui-
vante :
BARRAGE OU DPI ESA EL 254. — Coroll, 2. Si b — 0, c’est-à-dire si le cercle ABE est infiniment petit, l’on a
DÉS AT Er QEPE PAGE MSN cé qui est une propriété du cercle bien connue.
L’équation (7) donne alors simplement
2° + 7° Eic u* Fix 145 cÿ + 7° FE
É 49 Si nous changeons dans celle-ci l’origine des coordonnées,
en substituant à x : pi — L? FE p? Ltrr Ê ?
elle se transformera en
3 M EnCRS pe T | | PE:
Le-rayon du cercle estidonc égal à
gi FREE DS D Q 4
et la distance du centre au point lumineux est
pe 1
Supposons maintenant un cercle HPC, dont le centre soit en E (fig, 37), et deux points Q, 9, tels que
(QE ESS Qui Di DA EL ni 0 LEE SEAT ADD Si les rayons divergent alors du point Q, ettombent surla
surface PH au-delà du centre, ils iront tous diverger du point q après leur réfraction par le milieu M.
255. — Coroll. 5. Si y = — 1, après l’évanouissement des radicaux , l’équation (n) entre x et y ne monte qu’au second degré, et appartient par conséquent à une section conique : on trouvera alors, après réduction,
ne drame able
ce qui fait voir que le point rayonnant Q occupe l’un des. foyers, et q l’autre ; résultat semblable à celui que nous avions déjà obtenu par une autre méthode d'intégration.
256. — Coroll. 4: — Quand Q est infiniment éloigné , et que les rayons:sont parallèles , il faut transporter l’origine
