Traité de la lumière, t.2

Exceptions nombreuses à la loi de la réfraction ordinaire. — Double réfraction. — Axes de double réfraction. — Les rayons dirigés suivant les axes ne subissent que la réfraction simple. — Axes ou lignes fixes d’un cristal. — Énumération des classes de cristaux qui »’ont qu’un seul axe, — Réfraction du rayon ordinaire. — Loi de Huyghens pour la vitesse du rayon extraordinaire. — Connexion de cette loi avec celle de la réfraction extraordinaire. — Comment celle-ci se déduit de la loi de Huyghens.—Valeur du rayon du sphéroïde qui représente la réfraction extraordinaire. — Application du principe de moindre action ou de plus prompte propagation. — Etant donné la route du rayon hors du cristal, déterminer la route dans l’intérieur. — Applications à des cas particuliers. — 1° Quand l'axe est perpendiculaire à Ja surface. — 2° Quand l'axe setrouve à la surface. — Cas de réfraction dans la section principale. — Cas de réfraction dans un plan perpendiculaire à la section principale. — Méthode pour déterminer par l'expérience le sphéroïde de double réfraction. — Loi de l’accroissement de la vitesse. — Division des cristaux en positifs et en négatifs. — Les ondulations se propagent en formant des surfaces ellipsoïdales. —"Recherches de Malus. — Foyers d’une lentille biréfringente. — Construction de Huyghens pour la réfraction extraordinaire. — Démonstration fondée sur le principe des ondulations sphéroïdales. —

Propagation oblique du rayon extraordinaire. — Forme et position du rayon extraordinaire. — Distinction entre la vitesse des ondes lumineuses ét celle des rayons de lumière,

779. — Quand un rayon de lumière tombe sur la surface d’un milieu transparent, une partie de ce rayon se réfléchit sousun angle égal à l’augle d'incidence; une autre , très petite ( assez du moins pour qu'on puisse la négliger), se dissémine dans toutes les directions, et sert à rendre [a surface visible; le reste entre dans le milieu où il se réfracte. Dans le premier volume nous avons fait connaître la Loi de cette réfraction , ou les règles auxquelles est assujettie la route de cette dernière partie du rayon. Jusqu'ici nous avons regardé cette loi comme générale; mais elle n’a réellement lieu que pour les milieux réfringents, qui appartiennent aux classes suivantes :

1° Les gaz et vapeurs.

2° Les fluides.

5° Les substances dans lesquelles un passage trop prompt de l’état liquide à l’état solide ne permet pas aux molécules de prendre un arrangement cristallin régulier, comme le verre, la colle, etc. ; les gommes, les résines, etc.; la viscosité qu’elles acquièrent durant le refroidissement y faisant obstacle.

4° Les cristaux , dont la forme primitive est le cube, l’octaèdre régulier, le dodécaèdre rhomboïdal, ou qui appartiennent au système tessulaire de Mohs. Cette classe offre très peu d’exceptions ; encore est-il probable qu’elles'ne proviennent que de l’imperfection de nos connaissances en cristallo-

graphie.

Cependant les corps solides qui appartiennent à ces classes cessent d’en faire partie lorsqu'ils sont soumis à une compression ou à une dilatation violente , produite par une force mécanique ou par l’action inégale de ja chaleur, qui distend leurs molécules avec assez de violence pour causer daus certains cas la rupture de ces corps. C’est ainsi qu’on voit souvent un morceau dé vérre se briser par l’échauffement subit d’une de

ses parties. Les fluides offrent bien aussi quelques’exceptions, lorsqu'on les examine de très près ; mais la déviation n'étant apercevable qu’au microscope, nous n’y aurons pas égard

pour le moment.

780. — Tous les autres corps, tels que les sels, les pierres précieuses, les cristaux, qui ne font point partie des classes rapportées plus haut; tous les corps ; tant du règne animal que du règne végétal , dans lesquels il existe quelque disposition à un arrangement régulier de molécules , comme la corne, la nacre, la plume, etc., et’ en général tous les corps inégalement comprimés ou dilatés, partagent la lumière qu'ils réfractent en deux faisceaux distincts, dont chacun poursuit sa routé en ligne droite, suivant des lois particulières, et sans éprouver denouvelle subdivision tant qu'il ne sort pas du milieu. Ce phénomène est très sensible’ dans le spath d'Islande, qui n’est, au fond, que du carbonate de chaux cristallisé régulièrement. Ce minéral se trouve ordinairement sous la forme de parallélipipèdes obliques, que l’on réduit par le clivage à des rhomboïdes réguliers obtus. On le rencontre quelquefois à un état de transparence parfaite, ce qui suffit pour le rendre remarquable, indépendamment de ses propriétés optiques. à L

Le premier qui ait parlé de la double réfraction paraît être Bartholin , en 1669. Ce phénomène fut examiné depuis avec la plus grande attention par Huyghens, à qui l’on doit le système des ondulations de la lumière. Ses recherches sur cé

sujet font époque dans l’histoire de l'optique, et sont com=

parables à la fameuse, déconverte de l’inégale réfrangibilité des rayons colorés, dont l'honneur appartient à Newton. C'est Huyghens qui découvrit la véritable loi de la double réfraction dans les cristaux.

Trompé par quelques mésures inexactes (ce qui lui arrivait très rarement), Newton proposa une autre loi; mais les raisonnements de Huyghens, tombés depuis long-temps dans un

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inexplicable oubli, furent enfin appuyés par des expériences incontestables, que l’on doit au docteur Wollaston.

Depuis lors une impulsion nouvelie a été donnée à cette partie de l’optique par les travaux successifs de Laplace, Malus , Brewster, Biot, Arago et Fresnel. L'histoire des recherches de ces savants, qui semblaient animés d’une heureuse émulation, est une des plus belles pages que puissent offrir les annales des sciences physiques depuis le développement du véritable système de l’univers. Cependant il n’entre point dans notre plan de la retracer ici, ni d’assigner à chacun de ces hommes célèbres la part qui lui revient de tant de brillantes découvertes. La perte de plusieurs d’entre eux est encore trop récente pour que nous osions porter un jugement sur une matière aussi délicate, et balancer la science profonde du mathématicien avec l’adresse et la sagacité du physicien, ou le génie subtil du philosophe investigateur. ;

Nous proposant de laisser de côté tout ce qui est parement historique, excepté dans des cas particuliers où nous serions forcés de nous écarter de cette règle, nous nous contenterons de mettre sous les yeux du lecteur l'exposé systématique des connaissances actuelles sur la théorie de la double réfraction. Comme il a été démontré que la loi de Huyghens s’applique rigoureusement au cas pour lequel elle a été imaginée, ainsi qu'à une classe de corps très nombreuse , nous nous occuperons d’abord de cette classe, pour passer ensuite à des cas plus

difliciles.

781. — On a remarqué que, dans tous les cristaux doués de la double réfraction , la lumière qui traverse la surface se divise en deux faisceaux égaux qui suivent des routes rectilignes en formant ensemble un angle dont la grandeur varie avec l’inclinaison du rayon incident par rapport à la surface et à, certaines lignes fixes ou axes dans l’intérieur du cristal. Ces lignes ont des relations invariables-avec les plans de clivage ou avec d’autres plans.et lignes fixes qui appartiennent

à la forme primitive. Or on sait que dans chaque cristal il ya au moins une de, ces lignes fixes qui jouit de la propriété de faire coïncider les rayons transmis dans sa direction, et far conséquent de faire évanouir l’angle entre les deux faisceaux.

En outre, jusqu’à présent on n’a pas encore trouvé de cristal dans léquel il y ait plas de deux semblables lignes ; on les appelle les axes optiques. Tous les cristaux biréfringents (doués de la‘double réfraction) peuvent donc être divisés en deux classes : ceux qui ont un axe oplique et ceux qui en ont deux.

782.— Tont rayon qui traverse un cristal le long de Paxe optique, sans se diviser, suit la loi de réfraction ordinaire, tant à son entrée qu’à sa sortie du‘cristal, quel que soit d’ailleurs son angle d'incidence ou d’émergence. Dans ce cas particulier le cristal agit exactement commé un milieu ordinaire. H ÿ a cependant quelques exceptions, dont nous parlerons

plus tard.

785. — Dans tous les autres cas la Loi est très différente et singulièrement compliquée , du moins quant à l’un des faisceaux \Nous l’expliquerons d’abord dans l'hypothèse d’un seul axe optique; mais il convient auparavant de bien définirice que l’on eatend par les axes ou lignes fixes d’un cristal. Qu’on se figare un bloc de maçonnerie, aussi grand que l’on voudra, bâti en briques disposées par assises parallèles , et d’une formé quelconque , cubique, pyramidale, ete: Ge bloc; en séchant , devient une masse compacte , qu’on peut tailler à volcnlé en sphère, en cône; en cylindre, etc. ; mais les arêtes des briques n’en restent pas moins parallèles entre elles, et leurs directions, aussi bien que celles des diagonales des surfaces et des volumes des briques, peuvent être regardées comme autant d’axes, c’est-à-dire de lignes ayant une position déterminée dans l’espace, aussi long-temps quecelle du cristal reste la même. Ces axes sont donc tout-à-fait indépendants

Los

de la surface extérieure ou des lignes qui limitent le bloc ,

que l'on peut couper par un plan incliné d’une manière quel conque par rapport aux arêtes des briques. Chaque fois qu’il sera question de lignes fixes ou d’axes d’un cristal , il faudra toujours les concevoir comme des directions, dans l’espace, parallèles à un système de droites menées dans chaque molé. cule, suivant des lois géométriques données, et d’une manière déterminée, par rapport aux côtés et aux angles des molécules mêmes. Ainsi l’on doit regarder l'axe d’une masse cristallisée non comme une simple droite ayant une place déterminée, mais comme une droite arbitraire ayant seulement une direction fixe dans l’espace. Cette direction est parallèle à l’ase de chaque molécule c’est-à-dire à une ligne entièrement déterminée dans l'intérieur de la molécule.

784: — Dorénayant nous dirons less axes d’un cristal pour désigner les directions des axes de ses molécules, ou des molécules d’un cristal semblable et semblablement placé.

De la loi de double réfraction dans les cristaux qui n’ont qu’un seui axe, optique.

785. — Cette classe de cristaux comprend tous ceux qui appartiennent au système rhomboëdral de Mobs, c'est-à-dire ceux qui ont pour forme primitive le rhomboïde aigu ou obtus; ou le prisme hexagonal, aussi bien que ceux dont la for: me primitive est l’octaèdre à basé carrée, le prisme droit à base carrée, ou le dodécaèdre bipyramidal. Le docteur Brewster a démontré que tous ces cristaux n’ont qu’un seulsaxe, qui est celui de symétrie de leur forme primitive.

Dans le rhomboïde c’est l'axe de la figure ou la droite qui joint les deux angles formés par trois angles plans égaux ; dans le:prisme hexagonal c’est l'axe géométrique ; dans l’octaèdre , ou le prisme à base carrée, c’est une droite qui passe par le centre de la base perpendiculairement à son plan. Cette

règle s'applique à un si grand nombre de cas , et les exceptions-(si toutefois on croit devoir en admettre } sont Si-rares ét ont si souvent disparu dès que l’on a mieux connu/la forme cristalline des minéraux exceptés, que, si l’on rencontre quelque ‘anomalie, il est plus raisonnable de lattribuer à l’inexactitude des données qu’à un défaut de généralité dans

la règle.

786. — Dans tous les cristaux de cette classe unes faisceaux suit la loi ordinaire de Snellins et de Descartes, ayänt an indice de réfraction (x) invariable, c’est-à-dire qu’ilexiste un rapport constant entre les sinus d'incidence et de réfraction, quelle que soit l’inclinaison de Ja surface. Ainsi la vitesse de ce faisceau-dans le milieu est la même, dans quelque sens qu'il traverse les molécules ; et le cristal se comporte comme un milieu nôn cristallisé à égard de cette partie de la lamièré réfractée que l’on nomme pour cette raison le faisceanordi=

aaire.

787: — Pour nous rendre compte de la loi que suit le faisceau extraordinaire, concevons-le plongé librement dans le milieu, et poursuivant son -éhemin à travers les molécules. La vitesse ne sera pas la même dans toutes les directions, comme dans le cas du‘rayon ordinaire, mais elle dépendra de langle entre l’axe et la route du faisceau, sa valéur minimum correspondant au cas de parallélisme et son maximum au cas de: perpendicularité. Dans les positious intermédiaires elle prendra des valeurs moyennes assujettiés à Ja lor suivante : Supposons un ellipsoïde de révolution , allongé ou aplati suivant les circonstances, dont l'axe de révolution /coïncidé avec celui du cristal, et dont le rapport du rayon polaire au rayon équatorial soit celui des vitesses maximum et minimum mentionnées plus haut , c’est-à-dire celui de la vitesse du faisceau qui se meut parallèlement à l'axe, à là vitesse du faisceau qui se meut suivant une perpendiculaire à ce même axe. Alors,

dans toutes les positions intermédiairés,le rayon dece sphéroïde, : parallèle au faisceau ; représentera la vitesse de’celuici, dans le même rapport que les rayons polaire et équatorial représentent, parhypothèse, les vitesses parallèles à leurs directions respectives.

788. — Telle est la loi de Huyghens sous sa forme la plus simple et la plus générale. On ne voit pas d’abord ce qu’elle a de commun avec Ja loi de la réfraction extraordinaire ; mais , si l’on se rappelle ce qui a été démontré aux art. 539, 540, et qu'ouen fasse l'application au cas actuel, on concevra facilement que la détermination de la seconde au moyen de la première est un problème de pure géométrie, soit qu'adoptant le,système corpusculaire, on emploie, avec Laplace, le principe de moindre action ; comme dans les articles précités ;.soit que, donnant la préférence à l'hypothèse ondulatoire, on substitue à ce principe celui de plus prompte propagation, expliqué aux art. 587 et 588.

Nous remarquerons cependant que la loi de Huyghens est énoncée plus haut conformément à la doctrine ondulatoire, qui suppose la vitesse dela lumière plus faible dans un milieu dense que dans un milieu rare. Mais, si l’on fait usage du principe de moindre action, il faut supposer le contraire, ou, ce qui revientau même, regarder la vitesse dans.le milieu comme inversement proportionnelle au rayon de l’ellipsoïde. Comme.les résultats sont nécessairement les mêmes dans les deux hypothèses, nous nous servirons du langage propre au système corpusculaire.

780. — Conservant la notation de l’art. 540, on fera dériver la loi de réfraction de l’équation

V SH V'S'— minimum,

dans laquelle V est la vitesse hors du milieu’ et V' la vitesse dans le inilieu ; Set S! sont les espaces correspondants décrits

parlerayon, en passant/de point.en. point. Soient« et b les demi-axes équatorial et polaire de l’ellipsoïde mentionné plus haut (que nous appellerons l’eliipsoïde de double réfraction ); «> B,:y, les coordonnées du point (A) horsducristal; 4, 6'; y" lés coordonnées d’un point (B) dans l’intérieur, par lequel le rayon est censé passer; .æ, y, z,-les coordonnées d’un point à la surface du cristal, tel que le rayon qui y tombe de (4) passe par (B) de la manière prescrite par la loi de la réfraction extraordinaire ; o l’angle entre la route intérieure S'et axe du cristal : le rayon ( de l’ellipsoïde ) parallèle à.cette. route aura pour expression

a b Sn uiD

PR CL 0 . (1) 7 b? sin? o — a* cos* » W.>

a désignant toujours le rayon équatorial et b le rayon polaire du sphéroïdé. Or, puisqu'on a généralement

const

Fr ?

et qu’à l'instant où r —b, les faisceaux ordinaire et extras ordinaire coïncident , si l’on dénote par y l'indice de réfraction ordinaire,

Nr LV, et par conséquent u V = es et bu V'—=!const; d’où l’on tire b .

V'=uV.— et V! b

790. — En général la condition de moindre action est exprimée par

d(VS+V'S')—0 ,oa V .dS+Æ V'.dS'+S!':dV'=—0o. (2)

Mais, pour faire usage de cette équâtion , il faut exprimer V!, Set S', en fonction de quantités variables relatives à un point quelconque de la surface du cristal. A cet effet l’on peut employer indifféremment des coordonnées rectangulaires où polaires; cependant ces dérnières conviennent davantage. Soit donc € (fig. 169) le point d’incidence du rayon À C sur la surface H « O b, et de ce point, comme centre, décrivons une sphère. Soit Z C zla perpendiculaire à la surfäce et PCp la directionde l’axe du cristal. Lé plan Z PHzpOZ, perpendiculaire à la surface et passant par l'axe, se nomme la section principale de la surface. Soient Z A a,-2B b; des {plans Vérticaux contenant les rayons incident et réfracté. Joignons B p par un arc de grand cercle : cet arc sera visiblement égal

7910— Supposons maintenant l'axe des + parallèle à HC, projection de l’axe du cristal ; et, paisqu’il nous est permis de prendre à volonté le plan des æ y , faisons-le coïncider avec la surface réfractante, de manière que z —o. Abaissant alors

les perpendiculaires AM, Mm,BN,Nn, et posant

1= ZP=:2p— angle entre l’axe et la perpendiculaire,

7 —=Oa= l’inclinaison du: plan d'incidence sur la section principale ,

r'—=0O b — l’inclinaison du plan de réfraction sur la section principale ,

9 — l'angle Z CA — ZA — l'angle d'incidence ,

g’—2zCB=—=zB—= l'angle de réfraction,

nous aurons les relations suivantes :