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points.F et A seront symétriquement placés par rapport à [a tangernite au point d'incidence. De sorte qu’une circonférence de cercle qui contiendrait. les trois points F, A,O, aurait nécessairement son centre sur cette tangente:

Siles rayons lumineux se réfractent sur la circonférence Od , ils deviendront , après la réfraction; perpendiculaires à une ligne:a!,b!, ; et le point a!, , pied dela perpendiculaire, est aussi sur la circonférence AOF. Il ÿ aura même ; pour compléter la solution, un second point a! qui sera placé symétriquement an premier, de l’autre côté de la tangente au point d'incidence et sur le cercle AOF, quenous représenterons désormais par la lettre r, parce que nous aurons fréquemment occasion de le considérer. Nons rappellerons que c’est par a! que passerait le rayon réfracté , s’il avait été émis primitivement du point À , et que les deux points a’ eta!, sont ceux où le cercle mobile Ou touche les deux branches ab! et a',b', dela caustique secondaire par réfraction.

Cela posé , démontrons d'abord que {a circonférence mobile du cercle générateur touche les deux branches de la caustique secondaire par réfraction du cercle en deux points situés sur une ligne droite qui passe constamment par un point five. En effet, par la nature de la caustique secondaire , les rayons vecteurs FO et a',0 seront toujours dans un rapport constant qui est celui du sinus de l'angle d’incidence au sinus de l’angle de

propriétés de ces courbes , qu’on peut regarder encore comme des épicycloïdes ou comme des conchoïdes.circulaires. M. Dandélin s’en est occupé également dans les Mémoires de l'Académie de Bruxelles, et a reconnu leurs foyers, dont il compare les propriétés à celles des foyers dans lés sections coniques. Ces courbes, du reste, étaient connues des

géomèlres des 17° et 16° siècles ; l’une d'elles porte même le nom de Timaçon de Pascal,

réfraction. Mais ces rayons peuvent être considérés encore comme des cordes du cercle r ; en conséquence, les segments adjacents fO'et eO seront aussi dans un rapport constant , de même que Ftet ct, à cause du parallélisme du rayon Ot et dela droite a'a', qui, joint deux points symétriquement placés par rapport à la perpendiculaire à çe rayon. Il résulte de là que le pointc ne peut varier de position sur la droite Ft, quelle que soit la position que prenne le cercle mobile Ov! : donc, etc.

De là nous déduisons encore que {a circonférence r qui passe par le point fixe F, par le centre O du cercle mobile et par les points où ce cercle touche les branches de la caustique secondaire, est assujettie à passer encore par un second point fixe F' et à'avoir ainsi son centre sur une perpendiculaire qui partage en deux parties égales la droite FF'. La propriété du cercle donne en effet Ot=1F.1F'; mais nous savons que deux de ces trois quantités sont constantes : ‘la troisième doit donc l’être également et le point F! aura une position fixe sur le diamètre de la caustique secondaire : ainsi!, etc.

De la similitude des triangles FOt.et FO! nous conclu-

F'O': Ft à rons en dernier lieu l'égalité —— FO — 0 Comme d’ailleurs ce

dernier rapport est constant , le premier le sera également ; et par suite , lerapport dessinus des angles F'SO et FSO , ou bien encore des angles F'aO et Fa'O, sera aussi invariable. Nous en conclurons que les rayons partis du point F' se réfractent sur la courbe 4/b! dans des directions qui passent par F, si le rapport de la réfraction est constant et égal au rapport de F't à Ot,, où de Ot à Ft. De là ce théorème qui a été énoncé au commencement de ce paragraphe : Les lignes aplanétiques sont identiquement les mêmes courbes que les caustiques secondaires du cercle; ou bien les lignes aplanétiques sont aussi les développantes des caustiques par réflexion ou par réfraction dans leicercle;

On remarquera que le cercle r coupe à la fois toutes les