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tées par des équations qui ne passent pas le quatrième degré;

29 Ces équations ne. peuvent s ‘abaisser au-troisième degré ; mais , däns GUHEE cas ‘particuliers, ue deviennent du second ; <

3° Les surfaces réfléchissantes qui ont deux Br conjugués ne s'élèvent pas au-delà du second degré ;

4° Les surfaces réfléchissantes ou dirimantes qui ont deux foyers conjugués sont nécessair ement de révolution.

: Eemme lesisurfaces qui ont deux foyers inériteht une attention. particulière: à cause des’prôpriétés dont elles jouissent en-physique , je suis entré dans plas de détails à leur égard,

Des surfaces et des lignes aplanétiques en général (numéro 305],

Nous aurions pu , sans calcul , déduire immédiatement du théorème démontré au commencément de ce mémoire Île corollaire suivant , qui comprend ; sous un-énoncé général, toutes les surfaces à deux foyers. Cette simplicité de résultats donnera uné nouvelle preuve de l'utilité qu’on peut retirer de l'emploi de La théorie des caustiques secondaires,

Les surfaces aplanétiques (x) sont telles, que les deux rayons Vecteurs , menés de chacun de leurs points aux deux foyers, étant pris chacun avéc une: quantité constante}; sont dans le rapport de: la ré-

fraction:

Ainsi, supposons que ps et p! représentent les deux rayons vecteurs menés d’un point de la surface dirimante vers le

‘point lumineux et vers.le point par lequel passent:les rayons

réfractés , on aura

Em pour la réfraction ; S RE as — 1 | pour la réflexion.

(1) Du môt grec arluwnrixoc, errant, dvec l« privatif, pour désigner la propriété des surfaces sans aberrätion,

399.; a et b sont des.quantités constantes ; positives ou négatives, et représentent ici.les.rayons-de deux. sphères qui ont les foyers pour centres : TEE et p—b ‘sont alors les: portions des rayons vecteurs ; extérieures à ces sphères.

Les équations précédentes peuvent être mises: sous une forme nn peu différente ,:en-écrivant

p—pin=r si l'on fait r—4—4n, per ru D.

Si l’on rapporte la surface à des plans, par des coordonnées rectangulaires, en choisissant pour axe des z. la droite qui contient les deux.foyers , on reproduit sur-le-champ l'équation à laquelle nous sommes parvenus par l’analyse (r).

Les dernières équations nous montreht que , si l’on nesse donne que les deux foyers de la:surface dirimante et Le rapport de la réfraction, le problème est indéterminé.; car à chaque valeur de r corréspond une surface dirimante différente. De plus , pour une même valeur der, tout, ést déterminé : ainsi lu surface aplanétique est.entièrement connue quand avec, les deux foyers et le rapport de la réfraction, on. connaît un point de cette. surface-

Puisque les surfaces que nous considérons sont de révolution., nous.pourrons,, pour plus de simplicité , nous borner à considérer une de leurs sections méridiennes. En rapportant ces lignes à des, coordonnées polaires, nous prendrons pour pôle l’un des foyers ; nous représenterons par c la distance des deux foyers et par « l’angle que le rayon vecteur de Ja courbe forme avec le diamètre. Nous trouverons’alors, dans le triangle qui a pour côtés p, gl etc , la relation

> Pig ccos.anr r°—0c?

P'==2P ie

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Cétte équation du second degré nous permettra de saisir

(1) M. Herschel s’est occupé, dans le texte, du cas particulier où la réfraction s'opère dans un plan , et il à remarqué le rapport qui existe entre les rayons vecteurs.

facilément: plusieurs propriétés de la courbé que nous avons vu soin de construire pour quelques, cas particuliers (Voyez la fig, 1.) Ainsi : :

vo Quandiles foyers et le rapport dela réfraction sontdonnés É à chaque valeur-de r répondüne|{courbe aplünétique qui se compose en général de deux branches. Ge résultat se déduit immédiatement de la double valeur que.prend p dans l'équation précédente pour une même valeur de &: Les deux branches a! b' et w,W', de chacune de ces différentes courbes seront tantôt sépartés , lautôt uniés: Pour. un cas ‘païticuliér , l’ane des branches peut sé réduire au point F; ét l’autre branche AB est'une épicycloïide aussi remarquable par sa forme que par ses.propriétés ; nous aurons occasion d'en parler plus loin.

2° Be produit'des deux ràÿons vecteurs nienés d’un même foyer du deux branches dé la courbe, et-dont lés directions coincident, forme une quantité constante. Ceci tésulté encore de l’équation précédente dans laquelle’ le produit des deux r'äcines égale la quañitité toute connue du’sécond'mémbre.

30 Si l’on porte bout à bout les leur rayons vecteurs menés dun même foyer aux ‘deux branches de là courbe » ct dont les directions coincident , l'extrémité Sera sur une nouvelle tighé üplénique dont une des branches se réduit à un point + c'estilé éàs de la première branche est une épieycloïde. Ce résultat ést éntore: uneë Ton-

| séquence de l’égnation précédente. M. Chasles , à qui j'avais communiqué ces détails, à observé de plus que la valeur ‘inversé du rayon de cette épicyctoide appartiént à ute conique , ét que, si l’on prend eï général sur là direction, commune de deux rayoh$ d’une ligne ‘aplähétique le point conjugué harmonique du foyers: par rapport aux extrémités des deux rayons , ce point a pour lieu géométrique une conique--dont. un. des foyers est le foyer, de la courbe antour duquel tournent les rayons. É Correspond. mathématique ; tome 5, page 190.)

4° Dans le cas particulier où rx —0, les deux branches de la

courbe se confondent et forment une circonférence de cercle. Cette

circonférence Od répond au cas qui a été remarqué par M. deLarive (1); elle mérite une attention particulière parmi les'courbes que nous considérons.

Be Cette circonférence nIAMÈTRE est tellement placée par rapport à toutes les autres lignes aplanétiques , qu’elle est le lieu des centres de tous les cercles qui, touchant une branche , sont en même temps tangents à l’autre branche de la courbes Nous reviendrons sur cette propriété , qui sera démontrée plus loin.

6° Les lignes aplanétiques peuvent être 1considérées comme les projections orthogonales de l’intersection de deux cônes de révolu= tion du second degré qui ont leurs axes perpendiculaires au plan des lignes aplanétiques ; Dette

Les deux foyers sont les projections orthogonales es sommets des deux cônes ;

En considérant l’angle que forment les génératrices de l’un des cônes avec l’axe comme étant de 45° , la tangente du même un gle dans le second cône est réciproque à l’indice de la réfraction:

Ce dernier résultat me semble très intéressant | ence qu’il répand un nouveau jour sur la nature des lignés:{aplanétiz ques ,etqu'il peut conduire à différents théorèmes relatifs à la ligne de pénétration de deux cônes de révolution, dontiles! axes sont parallèles. On peut le déduire d’une manière très

simple de l'équation en coordonnées rectangulaires des lignes aplanétiques

VERT HI RTS.

Or, cette équation peut être écrite sous cette forme : cs VER ere.

Si l’on regarde chacun des membres de cette équation comme ayant été primitivement égal à une troisième ordonnée: n

(1) Dissertation sur les caustiques, Genève , 1823, in-4°. Il, 26

que l'élimination a fait disparaître , on aura les équations dés: deux-cûries dont nous avons parlé plus haut,

MERDE où 4e) Gr) rer ou n°(E + ={n—r). (2)

-Ïl sera facile.de vérifier sur ces équations ce que nous a vons énoncé précédemment; on remarquera de plus que l’un des deux.cônes a son sommet dans le plan des £y; tandis quéde sommet de l’autrese trouve sur l'axe desn , à la distanceir de ce même plan , qui est aussi le plan des lignes aplanétiques.

Onvpourra remarquer encore , en éhminant £ entre les équations {1) et (2), qu’on obtient une équation du second degré. Ainsi , quand deux cônes de-révolution dont les azes sont pargllèles se pénètrent, la projection orthogonale de la ligne de pénétration sur le plan des deux axes est üne section conique.

Faisons maintenant différentes hypothèses sur la nature desconstantes qui entrent daus les équations (1) et (2) :

19Sir —0o,les cônes qué nousconsidérons ont tous deux leurs sommets de le plan des £>, et la ligne aplanétique est dans cette circonstance une circonférence, On en déduit que: ;lsi deux cônes de révolution se pénètrent , quand ils ont leurs axes parallèles et leurs sommets situés dans un même plän perpendiculaire aux axes, la projection orthogonale de la ligne de pénétration est, par rapport à ce même plun , une circonférence dans laquelle les sommets des deux cônes sont des -pôles réciproques. Ce théomètre a lieu quels que soient les angles que forment les génératrices avec les axes des deux cônes de révolution.

2° À mesure que r varie, c’est-à-dire à mesure que le sommet du second cône se meut le long de l’axe des , n ne variant pas, les lignes de pénétration changent , et leurs projections orthogonales dans le plan des 1£ donnent toutes les lignes aplanétiques qui ont des foyers communs, le rapport de la réfraction demeurant constant.

5? Dans le.cas particulier où ce =} c étarit la distance des deux foyers, le sommet du second cône se trouve sür la surface du premier ; etla: ligne aplanétique présente généralement un nœud par l’union de ses deux branches.

4° Quand n— — 1; ce qui est le cas dela réflexion, les deux cônes ont:les génératrices respectivément parallèles ; mais nous savons que dans ce cas les lignes aplariétiques sont des courbes du secoud degré ; il est aiséde voir d’ailléars que la projection(dans le plan des #7 -est une ligne droite. Ainsi, deux cônes dont les ames et: les génératrices'sont respectivement parallèles, se pénètrent selon des lignes ptANESs dont l& projection orthogonale sur un plan perpendiculaire aux axés est une section sonique qui a ‘paur foyers les projections des sommets des deux cônes. :

De l'identité des lignes aplanétiques et des caustiques secondaires par réflexion ou par réfraction dans Le cercle.

Les physiciens et les géomètres se sont beaucoup occupés deslignes aplanétiques, ét surtout des caustiques par réflexion ou-par réfraction dañs le cercle ; l’on peut s'étonner cependant qu'aucun d’eux n’ait remarqué que les premières lignes ne sont que les développantes des secondes. Je vais tâcher de mettre en évidence cette singulière propriété que je crois avoir reconnue le prémier ; el je démoutrerai en même temps quelques autres propriétés qui téndront à compléter la théorie des lignes dont il est ici question.

Soient Od une circonférence réfléchissante ou dirimante , et Fun point rayonnant : d’après la théorie des caustiques secondaires, si les rayons lumineux , tels que FO, se réfléchissent sur la circonférence , ils deviendront, -après la-ré-

flexion , perpendiculaires à une lignée AB (r), et «les deux

FEB, (1) J'ai déjà eu occasion d’examiner quelques unes des nombreuses ll, 26.

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