LIVRE 1. - PRINOPE DE LA MOINDRE RÉSISTANCE

le système donné s'appuie contre trois surfaces fixes ou contre un nombre moindre. Car, pour trois points d*appui A, B, C, les polygones EFG, a'^'y' deviennent des triangles, qui sont toujours semblables à^ux-mêmes, quand Fig. 3.

on donne les directions des côtés. Pour deux points d'appui A, B, Ma et M^ tombent nécessairement sur les deux directions opr posées d'une s^ule et même ligne droite, et les composantes Q,, 0„ représentées par Ma', M/3', sont égales et opposées. Pour un seul point d'appui A , il ne peut se produire aucune composante telle que Q„ car il faut qu'il y ait destruction en ce pcMut :

dans ce cas, l'équilibre n'est possible que si la surface d'appui en A est capable de s'opposer directement à la résultante P du système entier, Le principe de la moindre xésistance ne laisse non plus aucune inr décision quand les masses dont se composent le système donné et ses appuis ne sont plus absolument rigides, mais sont compressibles et élastiques. On ne doit pas alors se représenter les surfaces Aa, Bô, Ce, Drf des appuis comme liées invariablement aux tiges incompressibles Ma, M^, My, M(î par le moyen des tiges inflexibles aa, ôj3, cy, dd ; parce qu'en laissant ainsi complètement de côté les appuis élastiques pour les remplacer par la fixation de certains points de ces surfaces en des lieux fixes de l'espace, on fait subir à la nature véritable de la faculté de résistance résidant dans ces appuis une altération inadmissible *.

* Inadmissible, parce que l'hypothèse d'une transmission de force d'un corps à Fautre sans déformation corrélative de Tun et de l'autre est une hypothèse absurde. On peut souvent conserver cette fiction comme manière de dire, mais à la condition expresse qu'elle ne passe pas dans les raisonnements et les calculs.

On pourra cependant reproduire les raisonnements qui précédent dans ce cas, en admettant que les surfaces liées aux tiges Maa, Môj3, Mcy, Mdd sont des surfaces absolument rigides qui ont dévié à rintérieur ou à l'extérieur des appuis pour prendre une position telle, que les compressions et extensions possibles des autres parties n'obligent plus ces masses à de nouveaux reculs moléculaires. Ces surfaces seront ainsi supposées à une distance, peut-être infinie dans certains cas, des surfaces d'appui.

Mais, quand il s'agit de systèmes ainsi composés (seul cas qui se présente dans la nature), il faudra, dans la recherche des groupes de réactions possibles, tenir compte des effets de l'élasticité et de la compressibilité des corps, ce qui restreint de difrérentes manières l'indétermination. On fle pourra pas admettre, par exemple, que la direction d'une réaction R, quelconque, c'est-à-dire 1^ direction de la résultante de toutes les réactions élémentaires distribuées sur la surface Aa, passe par une arête ou un sommet mathématique d'un corps quelconque ; il faudrait pour cela que sur un espace infiniment petit s'exerçât une pression finie, ce qui est impossible sur les corps naturels. Le point d'application A d'une telle réaction devra être, au contraire, toujours à une certaine distance de tout sommet et de toute arête, à cause de la compression qui s'exerce dans son voisiQage.

j^8. Construction du vrai système des résistances.

Il nous reste un mot à dire sur la construction des systèmes de réactions R,, R,, R,, R4, qui correspondent au minimum des composantes Q,, 0„ 0„ 0^, et qui devront ainsi être considérés, en vertu du principe de la moindre résistance, comme des systèmes possibles.

Je suppose connus les points A, B, C, D des surfaces d'appui où doivent s'appliquer les réactions R,, R„ R„ R^. Si l'on ne pouvait les connaître d'avance, on aurait à répéter les considérations précédentes pour toutes les positions possibles des points d'application, ou à les faire varier par une méthode générale, pour obtenir le minimum cherché des composantes.

Maintenant je décompose parle principe des moments la résultante générale P du système en forces parallèles />,,/>„ /^j, /?„ ap-

LIVRE I. -^^JayNGIPE DE LA MOINDRE RÉSISTANCE. H , C, D * (il faut bien distinguer ces forces

Fia. 4.

plîquées aux

des forces P„ "tfjpj^xt^ qui sont des coni] deR., R„R^, R^). Si tous les points d*appuî étaient capables de fournir une réaction parallèle à la force P, ou s'il ne se produisait aucune action latérale dans l'intérieur du système, />,, P*jP*jPa seraient les réactions effectives. Gomme, par l'état de la question, il n'en est pas ainsi, il se joint aux forces />,, />,,/?s, j9^, dans des directions inclinées sur la direction de P, d'autres composantes que nous désignerons par Çi9 y«5?s5 9* (distinctes de Qi> 0,î O5? 0^? qui sont les composantes normales des réactions R,, R„ R„ R4). Ces dernières forces se construisent en faisant des parallélogrammes dont pig. 5.

les diagonales soient R,.... et ayant respectivement j9,... pour premiers côtés.

De ces constructions il résulte que, pour chaque point d'application A, les forces considérées jusqu'ici, R,, P,, QîjPtyÇn sont toutes dans un môme plan, et que les points qui terminent les lignes représentatives de Q,, y,, R, sont en ligne droite (fig. 5).

Il est clair, en outre, que, les forces /?,,/?a, JO5, jo^ formant un système en équilibre avec la résultante P, le système des forces y,, y„ Çj, q^ doit se tenir de lui-même en équilibre. D'où il suit que, s'il

' On a déjà remarqué plus haut que ces forces p,, p„ p„ p^ ne sont pas toutes détermioées en générai^ attendu qu'elles ne sont liées que par trois équations.

12 STABILITÉ DES CONSTRUCnONS.

n'y a que deux points d'appui A, B, les ^^^llÛÊB^ 9^ ^^ 9* devront être directement opposées l'une à l'autre ef qrof^ A doit passer par les deux points A et B; si l'on donne trois points d'appui A, B, C, les directions des trois forces y,, y,, y, doivent être dans le plan ABC. Ainsi, dans ces deux cas, les plus importants au point de vue pratique, les directions des forces y« , y,, y, sont faciles à déterminer.

Remarquons encore que si les forces P, et Q^ varient au point A, la force j9, demeure invariable en grandeur et en direction, et la force y,, quant à sa direction seulement: donc si 0, est minimum, q^ l'est également. Cette condition revient en définitive à celle-ci, que l'angle Ri Ap, de la réaction R, avec la direction de la résultante générale doit être un minimum.

D'après cela, sous la condition expresse que la position des vrais points d'application A, B, C, D des réactions R,,R„R,, R^, dans l'intérieur des surfaces d'appui, soit donnée préalablement, le principe de la moindre résistance peut être aussi défini de cette manière : les angles des réactions avec la direction de la résultante générale du système doivent être simultanément des minimums. Les arguments que nous avons présentés pour montrer l'indétermination du minimum simultané des composantes 0,, Q», 0,, Q^ peuvent être reproduits pour les angles R, AP„ R, BP„ R, CP„ R^ DP,, dès qu'on donne plus de trois points d'appui. Ici, comme précédemment, nous ne comparons entre eux, bien entendu, que les systèmes de réactions appartenant à la même classe, dans lesquels, par conséquent, les réactions R,, R^, R,, R, sont situées dans des plans déterminés parallèles à la résultante P : Q. AP„0, BP.jQ» CP^, 0,DP,.

§ 4. Observations sur la manière dont Moseley expose le principe.

L'exposition du principe dont il vient d'être question a été faite comme il suit par Moseley, dans ses Principles of Engineering and Architecture :

« Quand un groupe de forces est en éqnilibre et qu'il s'y trouve un certain nombre de réactions, chacune de ces dernières est un minimum eu égard aux conditions dans lesquelles se trouve le système entier. »

A cet énoncé, on peut objecter tout d'abord que les réactions du