APPUCATIONS DU PRINCIPE DE LA MOINDRE RÉSISTANCE

§ 5. Ec[uilibre d'une tige pesante appuyée contre une paroi verticale et une paroi horizontale.

Pour faire apprécier l'importance du principe de la moindre résistance dans la science de l'équilibre, nous discuterons quelques cas

* La démonstration de Moseley est si évidemment vicieuse, qu'on ne comprend pas qu'elle ait trouvé place dans son estimable ouvrage. Nous la reproduisons ci-dessous textuellement.

" Let the pressures of the System, which are no résistances, be represented " by A, and the résistances by B; also let any other System of pressures, wbich '^ may be made to replace the pressures B and sustain A, be represented " by C.

" Suppose the System B to be replaced by C ; then it is apparent that each " pressure of the system C is equal to the pressure prop^^gated to its point of " application from the pressure of the system A ; or it is equal to that pressure, " together with the pressure so propagated to it from the other pressures of ^' the System C. In the former case it is identical with one of the résistances of " the System B ; în the latter case it is greater than it. Hence, therefore, it " appearsthat each pressure of the system B is a minimum, subject to the " conditions imposedby the equiUbrium of the vvhole.'' (The Mechanical jpnnciples of engineering and architecture. 1 843.)

particuliers où ce principe s'applique. Nous choisirons pour premier exemple le problème suivant :

Une tige pesante AB inclinée (fig. 6) s'appuie sur le plan horizontal fixe AE, et contre le plan vertical EB ; ses extrémités A et B peuvent glisser en frottant sur ces plans. L'angle de frottement correspondant au glissement effectif sur le plan AE est ç,,. sur le plan BE, y,. On demande les conditions d'équilibre.

Premier cas. Où (on considère AB comme une ligne pesarUe. rigide et inflexible. JtP^

Dans ce cas les surfaces d'appui se réduisent à deux points invariables A et B, et dès lors le principe de la moindre résistance sera satisfait si l'on remplit la condition que les angles R,FP et R,FP que Fig. 6. font les réactions R,, R, en A et B

avec la direction de la résultante, c'est-à-dire avec la verticale, soient minimum.

Mais, eu égard à la disposition physique des surfaces AE et BE, il faut encore en même temps remplir la condition que les directions R,, R, fassent avec les normales AM et BN des angles qui ne soient pas inférieurs aux angles limites de frottement ç, et ç,.

Comme enfin l'équilibre des trois forces P, R„ R, exige que les directions des deux dernières se rencontrent sur la verticale de P, il s'ensuit que l'on a la direction R,F de la réaction R,, en prenant l'angle RjBN aussi grand que possible, c'est-à-dire égal à ç„ et que la direction de la réaction R, doit être donnée par FA. Connaissant le poids P de la tige, représenté par FG, on obtiendra les grandeurs des deux réactions par la décomposition de P suivant le parallélogramme des forces : R.=FH, R.=FJ.

H est sous-entendu que la construction ci-dessus donnera un angle R|AM au plus égal à y,. S'il était plus grand, l'équilibre serait impossible, attendu que l'angle R^BN a été pris égal à sa valeur maximum, et ne saurait être que diminué, ce qui augmenterait encore l'angle R,AM. Dans ce dernier cas la tige glisserait, ses deux extrémités A et B se mouvant respectivement dans les directions EA et BE.

Fig. 7.