LIVRE 1. — PRINCIPE DE LA MOINDRE RÉSISTANCE

Deuxième cas. Où F on corisidère AB comme un prisme incompressible et inflexible.

Si les dimensions de la tige perpendiculairement au plan vertical AEB (fig- 7) sont nulles ou infiniment petites, il est clair que les réactions R, et R, se trouvent dans le plan qui passe parla verticale de la résultante P et par les points «, «', 6, b'. D'où il suit, quand les dimensions delà tige perpendiculairement au plan AEB ne sont pas infiniment petites, mais toutefois symétriques par rapport à ce plan, que les directions des réactions R|, Ri se trouvent dans ce plan vertical AEB passant par le centre de gravité de la tige : on le reconnaît en décomposant par la pensée la tige en tranches infiniment minces, parallèles à AEB, et remarquant que les réactions R, et Rt sont les résultantes des réactions élémentaires agissant sur chaque tranche.

Qu'on prenne maintenant sur les surfaces aa'^ bb'^ deux points quelconques A et B comme points d'application fictifs des réactions R, et R, : on trouvera les directions AF et BF de ces deAières exactement comme dans le cas précédent. Mais il faut que les composantes horizontales KF, LF, de ces réactions HF, JF, soient les plus petites qu'on puisse obtenir par la variation des points A et B sur les abouts du prisme. Il s'ensuit facilement que la réaction R doit passer par le point le plus haut b de l'about 66', et faire avec la normale à BE l'angle (p, du frottement, et que la réaction R, doit passer par le point a' de l'about oa', qui est }^e plus rapproché de E ; elle s'obtient enjoignant a' au point F' d'intersection de la direction R,A avec la verticale F 'P.

D'après cela les points b et a' seront ceux qui exerceront des pressions sur les plans d'appui, ce qui se voit avec évidence quand on se représente la tige sur le point de glisser.

Troisième cas. Ow F on considère AB comme flexible.

Dans ce cas, la pièce prend, par son poids, une courbure telle (Gg. 8), que les points extérieurs a ei b des abouts s'éloignent des

46 STABILITÉ DES œNSTRUCTIONS.

plans AE et BE, et les points intérieurs a'^ib' demeurent seuls en

contact avec ces derniers plans. D'a-

Fig. 8. . '^ ,

près ces données, les réactions R,, Rj ne peuvent passer que par les points «', b'^ et leurs directions se trouveraient comme dans le premier cas, en commençant par déterminer, d'après les lois de Télasticité, la position de la verticale passant par le centre de gravité de la tige fléchie.

Si fa tige est non-seulement flexible, mais aussi soumise aux lois générales de Télasticité, par conséquent compressible et extensible en chacune de ses parties, il s'établira en «', b' des compressions, et la tige s'appuiera contre les plans fixes par des surfaces d'étendue finie, prenant une forme telle que «aa'/3'j3ô (en supposant les plans fixes en A'E'B'). Les directions des réactions R,,Ra pourront alors ne pas passer par les arêtes des surfaces aa!^ p/3', mais en des points intermédiaires, qu'on pourra déterminer par les lois de la répartition de la pression élastique sur ces surfaces, en raison de la compression produite.

§ 6. Eiiullibre d'un coin entre deux plans inclinés. .

Entre les deux plans inclinés AE, BE, repose le corps ABE (fig. 9), en forme de coin, incompressible et de poids P; les faces AE, BE de ce corps peuvent développer contre les plans correspondants des frottements dont les angles sont respectivement 9, et 9, au moment où le corps commence réellement à glisser : on demande les conditions d'équilibre.

Si la verticale FP du centre de gravité du coin rencontre le plan inférieur AE en faisant, avec la normale à ce plan, un angle plus petit que 9,, ce plan s'oppose de lui seul à l'action verticale du coin, sans qu'il se produise d'action secondaire, ni qu'aucune réaction du plan BE entre en considération.

Mais si ce cas ne se présente pas, la réaction du plan BE est né-

FIg. 9.