ACI

ICFG = a(c4-/0,

AGHB — ^(6-hc + ^),

doù

S = P5mp + Qco5p (4)

Deuxième cas. — L'angle j3 est > 60^ Nous admettrons que le joint de rupture soit incliné à 60** sur la verticale, que la^coiiriSè «stressions passe ainsi par le point inférieur A' du joint ^'B', înc^é^sur la verticale à 60'', en sorte que i^ forée Q agiss^ut en D Mra 6i]fi|kiilibre avec le poids A'B'H'FC autouiiîflu point A'.

Soient, pour le point A',

a' la distance horizontale A'E';

b' la distance verticale E'C ;

d' l'épaisseur de la voûte A'B' au joint de rupture, qu'on peut

prendre égale à d' =c ■+■ j {d — c), par approximation ;

5' = 0,80.rf' la projection liori;Jontale G'H' du joint A'B' ;

P' le poids A'B'H'FC;

M le moment de P' par rapport à A'.

On a, comme précédemment :

M' =^' H- ^2S^ — 0,32.rf''(é' + c + h). (6)

Le poids P conserve sa valeur (1), e^ on a encore ici pour la pression normale contre la culée : S = P «n ^ + Q cos j3. . • • • (8).

C'est ces pressions moyennes |, j, qu'il s*agit de déterminer par

les valeurs qu'elles possèdent dans les voûtes de pont existantes.

o s Nous avons calculé dans ce but Q> S, y, -j pour une série d'ouvrages

connus ; là où la surcharge consistait seulement dans la chaussée ordinaire, nous avons pris h = 2 pieds; quand l'augmentation d'épaisseur de l'arc, de la clef h la culée, était inconnue, nous l'avons supposée nulle {d= c).

La table suivante renferme les éléments de ces calculs, et donne en outre d'autres résultats dont nous ferons ultérieurement usage *•

^ la table origûiale est dressée en prenant le pied pour unité.^ Mais le pied

Pour rendre plus apparentes les lois cherchées, on a classé les ponts dans l'ordre ascendant des valeurs de la poussée déterminSe, suivant les cas, par la formule (3) ou (7). La résistance des matériaux employés n'est pas la même pour les divers ponts ;.tnais, faute de renseignements suffisants sur cette résistance, on a été obligé de ne pas tenir compte de cette différence; ce qui n'a pas en pratique de grand inconvénient, parce qu'on prend toujours pour les voûtes des matériaux de choix : elles sont généralement construites en calcaire dur ou en grès dur, plus rarement en granit ou autres roches plutoniques. J^es deux premières espèces de pierres ont à peu près la même résistance ; d'ailleurs on n'expose dans la pratique les voussoirs qu'à une faible partie dé la résistance qu'on a obtenue des échantillons expérimentés. En se fiant à la table driqirès pour les dimensions d'un pont nouveau, on n'aura pas à craîiidre de dépasser la limite de stabilité, à moins qu'on n'ait des matériaux d'une fSstiblesse exceptionnelle.

Il est entendu d'ailleurs que nous supposons des voussoirs quadrilatères formés d'une seule pièce sur toute l'épaisseur de la voûte, et non de pièces superposées comme les briques \

Ces remarques générales faites, notons que dans le pont n* 28, construit à Schwelm, sur le chemin de fer de Berg et Mark, un grand nombre de voussoirs, dans toutes les parties de la voûte, sont

adopté est, suivant le lieu de construction des ouvrages, le pied de Paris (0«,325), ou le pied du Rhin (0«»,3U). L'auteur remarque avec raison que cette variation n'a aucune importance pour le but qu'on se propose ici. Nous avons, bien entendu, traduit cette table et les autres tables de Fouvrage en mesures métriques. Afin de conserver identiquement les valeurs du texte allemand, nous avons à ht colonne (12) donné à fc la valeur 0»,63 ou 0",65, suivant qu'elle représentait 2 pieds du Rhin ou 2 pieds français.

Par cela même que notre table est une traduction pure et simple de celle de Tautnir, il est possible qu'il y ait des erreurs de quelques centimètres sur les données de quelques ponts. Cela n'a aucun inconvénient sérieux.

M est exprimé en mètres cubes (col. 26).

P'» P, Q, S, W en mètres carrés (col. 19, 20, 21, 22, 30-

a,6,c,d,fc,Aflf,c,a',6', (^-J, (|j, en mètres

(col. 6, 7, 8, 10, H, 12, 13, 14, 15, 17, 18, 23, 24). P, a, 7, en degrés sexagésimaux et minutes (col. 16, 29, 30).

1' (qs)» **» \^]> (w)' ***» sont des nombres abstraits, (col. 9, 25, 27, 28, 32, 33;.

^ Voir, plus loin, des observations sur les rouleaux de briques. ^

écrasés, mais que les matériaux n'étaient pas de bonne nature. Le pont n* 87, à Vieill^-Brioude, sur l'Allier, est tombé par écrasesement des voussoîrs, peu solides vers la clef.

Le pont (n~ 33 et 40) de Neuilly est un pont très-solide, fait de bons matériaux ; cependant il s'est produit dans les voussoirs supérieurs des têtes plusieurs ruptures. Le pont n** 3S sur le Taff est tombé sous une surcharge aux reins, mais sans écrasement.

De la table ci-contré on déduit les conclusions suivantes :

1° La poussée horizontale par mètre carré à la clef f^j est trèsloin d'avoir une valeur sensiblement constante pour les divers ponts. Elle augmente ayec la grandeur des ponts et même avec la valeur absolue de la poussée Q.

2'' Cette varii^on de ~ est si considérable, que cette pression

répond, pour les très-petits ponts, au poids d'uifê colonne ayant la densité des voussoirs et haute de 3 mètres environ ; et pour les trèsgrands ponts, elle peut équivaloir au poids d'une colonne de 70 mètres de haut.

3° Les mêmes remarques s'appliquent à la pression normale sur

le joint de culée par mètre carré, j. Cette pression est presque

toujours très-supérieure à —, et peut atteindre le triple ou le quadruple de celle-ci, c'est-à-dire le poids d'une colonne de pierre de 250 mètres de haut.

Si l'on observe que les pressions Q et S ne sont jamais uniformément réparties sur les longueurs entières c, d des joints correspondants,/que quelques parties de ces joints supportent le doable ou

le triple de la pression moyenne ^ ou -j, on reconnaît qu'il est bon

de déterminer les dimensions de la voûte, de sorte que le joint au sommet ne supporte jamais une pression supérieure à celle d'une colonne de pierre'îte 60 à 6S mètres de hauteur, et que le joint de culée ne supporte pas une pression normale supérieure au poids d'une colonne de 90 à 100 mètres de haut. Nous poserons comme

limites -5 = 63, 1 = 94.

D'après ces bases, on tire de la table ci-contre la table suivante qui peut servir à déterminer les épaisseurs à la clef et à la culée, nécessaires pour un pont dont on connaît les autres dimensions.

Table pour la détermiaaUoa de l'épaisseur des w^l^ieih

^.Pkmm^

POÔSSÈB Q

exprimée

en mètres

Ciirrés.

ilo«fiiàle

PreitiM ■•jraae par Mètre ctrri'

ifAFPORT

de

à la clef OQ ;i IX naissances.

maximum

contre la culée : S.

au sommet:

àljicutée (maximum)

ces pressions S .Q d'c'

l,Oi

l,il

Voici de quelle manière on se servira de cette table : étant données forme de Tintrados et la hauteur de la surcharge, on donne aux

76 STABIUTÉ DES CONSTRUCTIONS.

épaisseurs c et rf des valeurs qui répondent par aperçu aux dimensions deâ voûteâ existante^» Au moyen ifes nombres aind choisis, on calcule par la formule ci-dessus (3) ou (7) la poussée Q. On prend ensuite comme valeur corrigée de Viff/jg^iar c à la clef le nombre de la première colonne (iri4a table qùi'^^î^ill^nd A la valeur trouvée deQ.

De même on calcule par la formule (4) ou (8) la pression normale S sur la culée. Si celle-ci est inférieure à celle qui, dans la table précédente, répond à la valeur trouvée pour 0, on donne à la voûte la même épaisseuor à la culée qu'au sommet : d=±c. Mais si la formule (4) ou (8) donne une valeur de S plus grande, on prend pour rfla valeur qui, dans la première colonne de la table, répond à la yafeur trouvée de S. Dans ce dernier cas, si Ton veut une voûte d'éj^îsseur constante, on donnera pour épaisseur à la clef le nombre tïouvé pour l'épaisseur aux naissances.

Si les valeurs trouvées ainsi pour c et rf diffèrent notablement de celles qu'on avait choisies tout d'abord, on les corrigera facilement par une nouvellei^application des formules qui donnent et S.

Toutefois, dans aucune application aux routes ou aux chemins de fer, on ne doit prendre c ou rf inférieur à 0"*,32. Dans les constructions qui ne sont soumises à aucune secousse, on peut adopter des valeurs moindres, jusqu'au minimum de 0"*,16.

Premier exemple. — Appliquons les règles qui précèdent au pont de Pont-Sainte-Maxence, dont les dimensions sont données au n** 24 de notre tableau. Si l'on prenait les épaisseurs c = rf= 1",46, les formules donneraient Q = 43,9, S =37,8. A cette valeur de Q répond dans la table la valeur c = 1,429, qu'on peut prendre aussi poÉur épaisseur à la culée, puisque la valeur S = 37,8 est loin d'attetndre la valeur inscrite comme maximum dans la même table en r^rd de cette valeur de c. On voit ici que l'épaisseur calculée diffère très-peu de celle adoptée en effet, 1",46,

DEUXIÈME EXEMPLE. — Preuous pour la partie moyenne dii pont de Neuilly, dont les dimensions figurent au n"* 33 du premier tableau, c=rf=l,62. Les formules (7) et (8) donnent : 0=70,9, S = 127,2. A cette valeur de Q répond, d'après la table précédente, répaisseur au sommet c= 1",393, laquelle peut être adoptée également pour la culée et diffère peu de celle réellement existante, qui est l'»,62.

Troisième exemple. — Pour le pont de Schwelm (n** 38 du pre-

mierlableau), prenons c = rf=0",94. On en tire, par les formules (7) et (8), 0=87, 8 = 190. D'où, au 1907611 de la seconde table, (?-= 1,658. La valeur de S, 190 dépasse le maximum 188 correspondant à e, et exige une épaisseur de 2 mètres aux naissances.

D'après cela, ce pont, qui a en réalité O^^Si, aurait dû avoir l'',65 à la clef, 2 mètres à la culée, ou, si l'on voulait une dimension uniforme, 2 mètres partout.

Dans l'application d'os formules précédentes et de leurs résultats aux viaducs de chemins de fer, il sera utile, mais aussi suffisant, vu la plus grande charge et les secousses auxquelles le passage des trains soumet ces ouvrages^ d'augmenter de 0'",94 la hauteur h de la charge permanente. Il est clair qu'une telle augmentation aura proportionnellement plu^ d'influence sur les dimensions des ponts chargés d'une faible hauteur de remblais que pour celle des ponts établis sous des remblais élevés.

Si, par exemple, le pont de Neuilly, avec sa charge de 0",65, devait porter un chemin de fer,au moyen de A=0'",65-h0",94=1",59, on aurait la poussée = 87,2, qui correspond à une épaisseur

Enfin nous rappellerons encore que dans les formules précédentes on suppose l'emploi de voussoirs très-résistants et formés chacun d'une seule pièce*.

On peut admettre en général que le grès ou le calcaire dur, pc-

* En réalité les dimensions indiquées dans ce paragraphe s^appliquent soit à des voûtes en pierre de taille^ soit à des voûtes en maçonnerie de moeUoii. Dans le premier cas on ne tient pas compte de Tadhérencedu mortier; dans le second les mêmes considérations ne sont applicables qu'à La condition d'imaginer des voussoirs monolithes fictifs, en d'autres termes de tenir compte de Tadhérencc des mortiers dans le sens parallèle aux joints, tout en continuant à la négliger dans le sens perpendiculaire.

On 4fi|Biile ces voussoirs fictifs à des voussoirs en pierre de taille dont la Cfihésioti'jijÀ*ait due à la fois à la cohésion propre des moellons, à celle du mortier ompitJyé, et ù Tadhérence du mortier sur les moellons. Dans les cas ordinaires, où Tadhérence du mortier a une valeur notable, on peut admettre pour lt*s voûtes en moellon les dimensions calculées d'après les indications de ce paragraphe. Si Tadhérence du mortier était faible, on se comporterait comme si les moellons étaient peu résistants, en augmentant les dimensions, comme il est dit plus bas.

Nous venons de rappeler que l'adhérence du mortier, au moins dans un sens, entre implicitement en considération quand il s'agit de voûtes en maçonnerie do mm^Uon : si Ton n'en tenait pas compte, il n'y aurait pas dans ces voûtes de

sant de 2,100 à 2,300 kilc^rainmes par mètre cube, possède une résisytance ^ 750 ktlogrammes par centimètre carré, et ne serait ainsi écrasé ^pie par le poids d'une Colonne de môme matière de 4,000 à 8,000 mètres de hauteur. D'après la table précédente, la

matière ne travaillerait ainsi dans les grands ponts qu'à 79 ou ^

de sa résistance à la clef, et à la culée à 45 ou g^, si la pression se

répartissait uniformément. Mais comme cette dernière condition est loin d'être remplie, il s'ensuit que la résistance mise en jeu aux joints où la courbe des pressions s'approche des limites de la voûte

est beaucoup plus forte, soit peut-être -^ dé la rSsistancè limite.

Dans le cas des matérieux peu résistants, Ofx devra prendre l'épaisseur plus grande qu'il n'est admis dans Ta table. Cependant il n'est pas nécessaire de proportionner l'augmentation à la différence de résistance, parce que, lorsqu'on augmente l'étendue du joint, la tendance à l'ouverture de ce joint diminue, en sorte que la répartition sur la surface du joint devient plus uniforme.

Pour fournir un point de comparaison, nous dirons que si l'on emploie les briques, qui sont l'une des plus faibles sortes de matériaux, présentant une résistance de trois à six fois plus faible que celle des pierres dures dont nous avons parlé plus haut, on adopte une épaisseur égale à une fois et demie celle inscrite dans la table.

On construit souvent des voûtes de briques à plusieurs rangs de briques superposées et liées entre elles. Ce genre de construction a cela de vicieux, que, si l'épaisseur à la clef est trop forte, le rouleau intérieur ne supportant aucune pression peut tomber en dedans. Cet accident, qui rie compromet pas beaucoup du reste la stabilité de l'arc, peut être évité par des soins de construction.

Mais on construit quelquefois de semblables voûtes en rouleaux superposés sans liaison entre eux. Ce mode est admissible en certains cas; mais il est souvent très-fautif. La voûte est en équiliblB, seu-

joints bien déterminés, et dès lors la poussée pourrait être effectivement plus grande que la poussée calculée.

En effet, étant donnée une voûte monolithe présentant une certaine poussée Q, telle qu'il n'y ait écrasement en aucun point, si Ton vient à supposer cette voûte composée de voussoirs suivant des joints qui suivent une certaine loi, la poussée véritable pourra être Q comme dans le monolithe, si l'appareil est bien fait ; mais un appareil mal conçu donnerait lieu à une poussée plus grande, parce que la voûte dans son mouvement ne pourrait s'arrêter à Tétat Q.

lement lorsque le rouleau extérieur est stable, considéré comme

portant séparément - de la charge supérieure. Dans ce cas le

deuxième, le troisième, .... le w* rouleau soril dans le même cas et l'ensemble est stable sous la charge entière.

Mais si l'intrados n'est pas stable sous le n* de la charge, aucun des autres rouleaux ne le sera et l'ensemble ne le sera pas. C'eôt ainsi par exemple qu'un plein cintre de 6", 28 d'ouverture et 0°,31 d'épaisseur, non chargé, ne pouvant pas être en équilibre, un arc de cette ouverture, non chargé, aussi épais qu'on le voudra, mais formé de rouleaux concentriques de 0'",31 chacun, ne pourra se tenir davantage en équilibre ; si dans la pratique il se rencontre des arcs en équilibre dans ces conditions, cela tient uniquement à l'adhérence du mortier.

§ 23. — Guléés et tympans.

Une voûte, telle que CDBA (flg, 56), est ordinâireqieiiit^^ppuyée de chaque côté contre une culée de forme AEFKÈ^ fejjiismt 3ur une fondation EFUT dont on pjg. 55.

considère la face UT comme absolument fixe. Si le massif de fondation EFUT était luimême entouré de matière incompressible, on pourrait déjà regarder sa face supérieure EF comme la base absolument fixe de la construction qui s'élève au-dessus. En général, cela n'a pas lieu et c'est UT qui est la base fixe à considérer.

Tandis que dans les ponts la surface supérieure de la culée est au-dessous de la charge GH arasée horizontalement, comme par exemple LMN, dans d'autres constructions, au contraire, la culée s'élève beaucoup au-dessus, comme il arrive pour les voûtes des églises gothiques, où la culée s'élève fréquemment en forme de flèche ou de tourelle EFKZ. Lorsque dans les ponts la culée MN est couverte, comme la voûte, d'une surcharge MNIH, cette partie'de la charge joue le rôle d'une partie de culée.

Le massif demaçonnerie de forme angulaire, établi entre la voûte etlaeuléeou entife une arche et Tarche voisine, telle que LBM, porte le nomcletympAn : nous n'avons jusqu'ici tenu compte de ce tympan que comnie charge ; il a, en outre, une notable importance comme massif de soutien dans le cas de surcharges accidentelles et pour l^mortir les secousses résultant de chocs qui auraient pour effet de &ire accktentellement sortir de l'arc dans sa partie inférieure la courbe des pressions ; il domie souvent la stabilité h des arcs qui seraient trop fiables pour supporter par eux-mêmes la charge supérieure DGHH.

ir sera donc totgoursbpn de prolonger dans les tympans, ainsi que dans la partie supérieure de la culée, les joints obliques de l'arc, comme si la masse AONDC était une voûte homogène.

On commettrait toutefois une &uto grave si l'on croyait pouvoir, pour la chiarge ordinaire de la voûte, faire passer la courbe réelle des pressûms eu .dehors de Tare proprement dit, et la diriger dans sa pai4|f^j|nfi^faire, dans les tynqpaTis et les culées. On a, en effet, coiàÉruil i^irc lui-même en matériaux de choix, pleins, taillés et posés avec un soin particulier; tout ce soin est sans utilité si l'on s'en Ti^pportepour la résistance à un massif de maçonnerie à joints concentrique, il est vrai, mais n'offrant pas à beaucoup près au même d^ré que la voûte elle-même la capacité de résistance contre les force» obliques qui se développent.

Dans les cas où la voûte est en arc de cercle, le joint de culée AB

incliné : les constructeurs anglais ont souvent alors conservé aux

%ts la même inclinaison depuis le point A en descendant jusqu'à ) TU, et même incliné cette base elle-même ainsi que les pieux

fondation.

*tl^endant, dans la généralité des applications, les joints sont hodepuis AO jusqu'en bas. On n'en poursuivra pas moins le Ëi,la courbe des pressions d'après les principes antérieurs dans la culée et sa fondation, et on sera fixé ainsi sur la stabilité de ces massifs. La courbe de pressions, VWX, sera brisée au joint AO, à cause du changement brusque de la direction des joints et de la composante verticale de la pression.

Si la fondation présente en EF un empâtement brusque, symétrique des deux côtés, la courbe aura un jarret en W et descendra plus roide dans sa partie inférieure. Si, au contraire, l'empâtement n'est pas symétrique, la partie WX se séparera de V\V.

La courbe s'approche ordinairement des arêtes extérieures F de la culée et U de. la fondation : de sorte que les bases de ces massifs en sont les parties les plus exposées, au point de vue de la rotation. Pouf apprécier la stabilité de la culée et de sa fondation réunies, il suffira donc de déterminer la position du point extrême X de la courbe. On aura d'abord le point W en composant la pression R au joint de la culée, laquelle pig. 57.

passe au point I, avec le poids de la culée AEFKZ passant par le centre de gravité de la culée ; rintersection de la résultante avec EF est le point W. On Tobtiendrait encore en composant la poussée horizontale Q avec le poids du système CEFKZHG tout entier, appliqué au centre de gravité de cette surface.

On aura de même le point X en composant la poussée avec le poids du système entier, fondation comprise, ou, si Ton a déjà le point W, on composera la pression en W avec le poids de la fondation EFUT.

Quand W vient en F ou X eu U, la construction est à l'état d'équilibre limite. Dans l'application, on doit se réserver un excès de stabilité. Pour cela, on se posera cette condition que la distance FW du point W à l'arête extérieure* soit une fraction déterminé^,

g ou 5 de l'épaisseur totale FE de la culée (même relation entre UX

et UT); ou bien on exigera que l'équilibre ne puisse être détruit que par un multiple déterminé de la poussée Q. Ce second procédé est préférable, parce que le premier donne, toutes les fois que la hauteur FK de la culée est petite, des épaisseurs de culée très-faibles, qi;i ne seraient pas suffisantes pour résister convençiblement aux secousses accidentelles et aux augmentations subites et considérables des forces qui en résultent.

Cherchons donc à déterminer combien de fois, dans les constructions durs^bles, la poussée horia^ontale Q peut être augmentée sans que la rupture s'ensuive. Pour cela, nous admettrons qiie Vélax^vv

sèment des fondations n'est que le faible empâtement ordinairement ménagé pour donner à Tassise d'établissement une assiette convenable. Nous négligeons donc cet empâtement, et nous nous proposons de déterminer le coefficient par lequel il faut multipUer Q pour que la résultante générale passe par le point extrême F' de la fondation unie à la culée.

Conservons les dénominations et les hypothèses du paragraphe précédent, et posons en outre :

e, épaisseur constante AO mesurée depuis l'intrados ;

/, la hauteur E'Â de la culée et de la fondation au-dessous des naissances ;

ffy la hauteur F'K de la culée entière avec la fondation et la surcharge supérieure ;

Uj le coefficient cherché.

On exprime l'équilibre de rotation autour de F' de la poussée nQ agissant en D et du poids du demi-ouvrage, on a :

n(/H-6 + c)Q^2(6-*)t((;-/) + ic«/^+eP4-M;

ou

OU

Dans les ponts ordinaires, où la charge passe aussi sur la culée, on a :

Le tableau inséré au paragraphe précédent donne la valeur du coefficient de stabilité n pour un grand nombre de ponts existants; seulement on a pris dans le calcul, pour l'épaisseur e de la culée, celle de la culée aux naissances, rie tenant pas compte ainsi des redans ou contre-forts. Les nombres de ce tableau sont très-divergents. On peut en conclure cependant que, pour les ponts-routes, la valeur n=2,S est nécessaire et suffisante. Pour les viaducs de chemin de fer, il sera sage d'adopter n=3.

Ayant w, l'équation (1) donnera l'épaisseur e de la culée projetée :

Dans cette formule, P, M ont toujours les valeurs (fonnées par les expressions (1) et (2), la valeur (3) ou (7) du paragraphe précédent.

Si Ton prend pour les ponts-routes n=2,S, on trouve pour la culée du pont de Neuilly, 6=9°*, 10; pour le pont de Brunswick (a* 5), e=4",5S : en réalité, e=9",7S pour le premier, et S'^jSO pour le second.

Si ces ponts devaient porter des chemins de fer (w = 3), on aurait e=ll",00;e=5",30.

Dans la pratique on ne prendra jamais de valeur de e inférieure à 0'°,63 ; au-dessous de cette limite, des murs en moellons seraient dépourvus de cohésion.

Si Ton fait croître la hauteur h de la charge, on augmente simultanément la force Q, défavorable à la stabilité , la force P, qui lui est favorable, le moment de cette force, enfin les épaisseurs c et rf. Il en résulte que l'épaisseur e de la cidée ne croît pas indéfiniment avec A, qu'elle a au contraire un maximum, et que, pour des charges plus fortes, elle s'approche d'une certaine limite par une diminution progressive.

Comme dans la pratique la charge est ordinairement apportée tout entière après l'achèvement de la voûte, il ne serait pas permis d'appliquer pour les fortes charges les valeurs données par la formule (3) si elles sont moindres que le maximum. G^est ce maximum qui sera adopté, afin que la voûte demeure stable pendant le chargement, au moment où la charge atteint la hauteur qui répond à ce maximum.

Nous ne nous arrêterons pas davantage ici à ce maximum de e et à la hauteur h qui lui correspond ; au paragraphe 66 ci-après, on trouvera des tables donnant pour diverses charges les épaisseurs des culées, et montrant avec une exactitude bien suffisante dans la pratique pour quelle valeur 'de h e est maximum.

Quand un pont a plusieurs arches égales que l'on veut construire l'une après l'autre, ou si l'on veut garantir l'ouvrage contre la rupture d'une arche, il faut donner à toutes les piles l'épaisseur e de l'équation (3). Si, ne tenant pas compte de ces éventualités, on veut profiter de la possibilité que donnent les actions égales et opposées de deux arches voisines de diminuer l'épaisseur des piles, on déterminera l'épaisseur dont il s'agit, en se guidant sur des constructions analogues. On peut admettre que cette épaisseur soit réduite à la

moitié de celle des culées. Elle doit d'ailleurs égaler au minimum îd, puisqu'elle doit supporter les retombées de deux arches consécutives. D'après cela, les piles intermédiaires du pont de Neuilly auraient en

1 e=4",5S ; on leur a donné 4" ,22,

§ 24. Procédé pratique pour la construction de la courbe

des pressions.

Nous ne donnerons pas ici de formules analytiques ni de constructions rigoureuses d'une courbe des pressions d'après des éléments donnés. Cela nous mènerait à des calculs et des opérations trop compliqués et peu pratiques ; nous nous bornerons à exposer avec détail une méthode pratique pour le tracé de cette courbe, fondée sur une construction graphique approximative. Une courbe des pressions est déterminée quand on en connaît Fjg 58 un point avec la pression en ce point

en grandeur et en direction, par exemple son point culminant et la poussée horizontale à la clef. Elle est encore déterminée quand on connaît deux de ses points. Nous nous ramènerons dans tous les cas à déterminer le sommet à la clef et la poussée d'après les éléments donnés. Tel est le but des calculs simples qui suivent :

Soit ÀB ri^orizontale passant par le somn^et A, et A le point de départ des distances horizontales et verticales des forces que nous aurons à considérer (fig. 38) ; .

Q, la poussée ;

y, sa distance vertics^le à AB ;

N, un point quelconque de la courbe des pressions ;

ff^ A, Jes coordonnées NC, AC de ce point ;

P, le poids de la partie de voûte MN, y compris la surcharge ;

jD, la distance horizontale de la verticale P au point A.

Si l'on a h considérer un autre point N ' de la courbe des pressions, on aura une notation analogue : y', p\ g% A', P'.

^' Posons pour abréger :

UÎTr t , r

leL:

Cela posé, si Ton connaît :

be 1° le point d'application M de la poussée Q et cette poussée ellefflême, on peut commencer sans calcul préalable la construction ci-après ; 2" le point M d'application de la poussée et un autre point N de ^- la courbe, on a î

: ' aPr^ôQ, d'oùO=??(0;

i^ Deux points N, N' de la courbe des pressioris, on a i

Quant au poids P et à sa distance p au point A, la méthode qui va suivre, et qui sert en même temps à la construction de la courbe des pressions cherchées, fournit Un moyen simple pour trouver leurs valeurs sans calculs*

Qu'on se représente une tranche de la voûte comprise entre deux plans verticaux distants d'un mètre, avec toutes les charges qui reposent sur elle. On prend pour unité des forces à considérer le poids d'un mètre cube de la matière des voussoirs ; les surfaces de la section verticale de là voûte, mesurées en mètres carrés, représenteront les poids des parties de voûte correspondantes.

Si la voûte est chargée de masses permanentes qui aient un poids spécifique différent de celui de l'arc lui-même, on tracera la courbe limite fictive de la surcharge, de manière à réduire les ordonnées verticales dans le rapport inverse des densités de la charge et de l'arc. On se ramènera ainsi au cas d'une masse homogène.

Si Ton a à considérer des poids isolés appliqués en certains points, on les remplacera par un nombre convenable de mètres

Flg. 59.

86 STABILITÉ DES CONSTRUCllONS.

cubes de la matière des voussoîrs, censés appliqués en ces points.

Cela fait, on prend sur AB des longueurs à peu près égales, et par

les points de division on mène des verticales de l'intrados à la

courbe DE, qui limite supérieurement la charge (fig. 59); on calcule

successivement les trapèzes ainsi formés en menant par les points milieux des côtés des verticales et considérant chaque trapèze comme un rectangle ayant pour hauteur la verticale moyenne. '

On admet ensuite que le centre de gravité de ce trapèze coïncide avec celui du rectangle correspondant; celui du trapèze D,D,G,G, sera ainsi sur la verticale moyenne dg qui partage en parties égales Thorizontale A,A,. Menons par C, le joint C,H,: nous considérerons la masse DD^G^G comme représentant le poids qui repose sur le joint C5H, ; cela revient à négliger le triangle HiCjG,, erreur en général fort petite. Si pourtant on la considère Fia. ^o comme sensible, comme cela peut être aux

joints rapprochés des naissances, et généralement quand la charge est nulle ou très-faible, on pourra corriger le joint C,Hj en le remplaçant par un autre cA, obtenu au moyen de la très-simple construction suivante :

Soient DCG (fig. 60) le côté du trapèze dont il s'agit et CH le joint passant par C ; on partage GH en deux parties égales en 6, on mène Gc parallèle à ôD ; ch est le joint corrigé. Dans le cas oti la surcharge est nulle, cela revient à faire passer le joint par le milieu de CG.

Inversement, étant donné un joint CH, si Ton cherche la verticale dg (fig. 61) c[ui limite la portion de charge afférente à ce joint, eu égard à la correction dont nous nous occupons, on mènera par C la verticale DG, et pour corriger celle-ci on partagera GH en deux

parties égales en A, on mènera Gg parallèle à D6, et gd sera la verticale cherchée.

Si les verticales qui se rapprochent des naissances ne rencontrent plus rintrados, comme, par exemple, pig. la verticale EC de la figure 59, il sera toujours facile, dans chaque cas, d'évaluer les aires et les distances des centres de gravité des parties de voûte isolées à joindre aux trapèzes supérieurs et d'assigner le joint auquel est appliqué le poids de toutes les portions de voûte qui précèdent.

Ce cas se présente particulièrement pour les voûtes de souterrain qui se continuent au-dessous du joint horizontal ; soit, par exemple, la figure 62 : nous formerons cinq trapèzes limités par les verticales D,6,, D^G,», D^Gj, D^G^, D^G^; le centre de gravité de chacim sera supposé sur la verticale moyenne ; les joints c,A,, c^„ c^Aj, c^//^, 0^,11^ seront tracés, savoir les trois premiers, d'après le procédé de ng. ai.

correction décrit plus haut, le quatrième d'après la disposition de la figure, le cinquième sans correction. Au-dessous de ce joint horizontal, nous avons encore quelques parties de voûte, pour lesquelles on ne doit plus tenir compte de la surcharge directe, et qui seront limitées par des jpints CeH«, G, H/, elles seront considérées comme des rectangles, et leurs centres de gravité seront aux centres de figure.

Si la voûte supporte des poids isolés F, on fera bien d'établir d'avance la division en trapèzes, de telle sorte que l'une des lignes de division passe par le point d'application de chacun de ces poids. On remarquera, du reste, que ces poids ne sont que la fraction des poids isolés réellement agissants qui correspond à l'unité de Ion-

STABILITÉ DES œNSTRUCTlONS.

gueur de la voûte. Si le poids est appliqué sur la clef, il ne compte que pour moitié dans la demi-voûte qu*on considère.

Après ces préparations, on fait le calcul d'après le type decalcul ciaprès : les poids des parties élémentaires DGG,D,, D,G,G,D„ D,G,G,D,, etc., simplement désignées par les n°* 1 , 2, 3, etc., seront calculés au moyen de leurs éléments ( colonnes (2) et (3) ) et figureront à la colonne (4). On indique les distances des centres de gravité partiels à la clef dans la colonne (S). Les produits des nombres (4) et (5) sont les moments des poids (colonne 6). Puis on cumule, à partir de la clef, les poids isolés (8) et les moments (9). Les quotients de la division de (9) par (8) sont les distances horizontales des centres de gravité des sommes partielles à la verticale de la clef.

Les sommes des colonnes (4) et (6) doivent reproduire respectivement les deux derniers nombres des colonnes (8) et (9), ce qui constitue une vérification.

POIDS fiLttMBNTAIRBS

SOMMES PARTIBLLBS

tZ

Namérofl.

Itf.

On intercalera facilement dans ce tableau des subdivisions de Tun quelconque des voussoirs élémentaires : 3.a, 3.6,... On intercalera aussi, chacun à son rang, les poids isolés : I, II, III..., s'il en existe.

Le tableau précédent montre que la surface de la demi-voûte entière avec sa charge égale 13n™fl,01, que son moment est 34™c,35, et la distance de son centre de gravité au joint de la clef 2", 64. On a donc ici :

Si maintenant on voulait faire passer une courbe des pressions par le point supérieur du joint delà clef et le point intérieur du joint de culée, on aurait :

y=0,6=A=4"*,70,y=3,77,d'oùû=5'— ;) = i,13.

La formule démontrée plus haut donnerait :

Si l'on demande, au contraire, une courbe des pressions passant par le point le plus haut du deuxième joint et le point le plus bas du quatrième, soit pour le premier A' =0,078, y '=0,94, et pour le second A=2,83, §'=3,14, on aura pour le premier point (qui répond à la 1" ligne du tableau) :

j9' = 0,47, P'=l,48, a' =j7'-y=0,94— 0,47 = 0,47, et pour le second point (3* ligne du tableau) :

J9 = l,62, P = 6,50, a=(7—;?=3,14 — 1,62 = 1,52. En outre, e = A — A'=2,83— 0,078 = 2,782.

Les formules connues donnent pour la poussée Q et sa distance q au point le plus haut de la clef :

De la valeur négative de y, il faut conclure que la courbe cherchée passe à 0",t3 au-dessus du sommet de la voûte.

Si maintenant on compose successivement par le parallélogramme des forces la poussée Q, trouvée en grandeur et en position par Tun des deux calculs précédents, avec les poids verticaux dont les grandeurs et les lignes d'application sont définies par les colonnes (9) et (10) du tableau précédent, les points de rencontre des diagonales résultantes avec les joints correspondants seront autant de points de la courbe des pressions cherchée.

Les paragraphes suivants contiennent plusieurs exemples de calcul et de construction par cette méthode, dont l'application est toujours facile et rapide.

§ 25. Premier exemple. Tètes du pont de Neuilly.

Nous prendrons pour premier exemple la tête du pont de Neuilly (flg. I, à la fin du volume). Cette voûte est un arc de cercle dont, la demi-corde égale 19°* ,86 et la flèche 4" ,22. Son épaisseur à la clef est 1,62, et à la culée 2,76 ; les murs qui forment parement audessus de la voûte ont 1",9S de hauteur au-dessus du sommet de Tare.

La forme aplatie de cette voûte permet de conclure tout de suite que la vraie courbe des pressions devra passer par le sommet du joint de la clef et Textrémité intérieure du joint de culée.

Pour construire cette courbe, on partage la surface de la voûte et de sa surcharge en sept voussoirs, à partir du sommet : chacun des cinq premiers a une largeur de 3"" ,25, le sixième 3",61 et le septième, qui comprend la masse delà voûte d'une arête à l'autre du joint de çulée, l"",!?. On a fait la correction des joints pour plus d'exactitude.

Le tableau suivant donne le? éléments du calcul et de la construction.

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