ÉQUILIBRE DE ROTATION SOUS DES CHARGES VERTICALES SYMETRIQUES

§ 8. Généralités.

Pour plus de simplicité, nous considérerons d^abord une voûte formée de deux branches AC, BC (fig. 16), symétriques et juxtaposées, et comprises entre deux ^.^ ^^ plans verticaux parallèles*. Cet arc est supposé chargé non-seulement de son poids, mais d'autres poids quelconques distribués symétrique- | ment de part et d'autre du sommet C. Cet arc, composé de voussoirs isolés en forme de coins, fonnés de matériaux incompres-sibles, s'appuie contre deux culées !

par ses extrémités A et B. La masse de la voûte est soumise aux lois du frottement dans ses joints ; on ne tient pas compte de l'adhérence, difficile à évaluer, du mortier qui peut s'y trouver interposé *.

• Perpendiculaires à Taxe de la voûte. Ce sous-entendu s'applique à tout ce livre, qui laisse entièrement de côté les voûtes biaises.

* On dira plus loin quelques mots du rôle de l'adhérence des mortiers. Voir le paragraphe 22 ci-après (note).

Pour étudier la stabilité de la construction composée de la voûte et de ses culées, nous chercherons les conditions d'équilibre de la voûte en elle-même, considérée comma s'appuyant sur des culées fixes. Cette recherche nous fera connaître en même temps les pressions que la voûte exerce contre ses appuis en A et en B.

Si Ton a des surfaces d'appui assez solides, par exemple une voûte établie entre deux parois de rocher , il n'y a pas à s'occuper de la stabilité de la culée. Si les culées sont formées de masses de maçonnerie susceptibles de déplacement ou de renversement , il faudra chercher si elles demeurent en équilibre sous l'action des forces qui les sollicitent. A cet effet, on considérera les culées comme formées d'assises isolées en continuation de la voûte, et l'on étendra à ces massifs, jusqu'au niveau de la plate-forme de fondation, les études qui se rapportent à la voûte. Cependant les culées très-massives, surtout quand elles sont construites avec soin, doivent être considérées comme des corps indécomposables, et se déplaçant ou se renversant tout d'une pièce.

Eu égard à la forme syijiétrique des deux demi-arcs par rapport au sommet, il est clair que les points d'application A et B des réactions R,, Ra des surfaces d'appui seront aussi symétriques par rapport à la verticale DP passant par le sommet, et que la ligne ABsera horizontale de quelque manière que les points A et B varient sur les surfaces d'appui. Si Ton décompose les réactions R,, R^ en leurs composantes horizontales et verticales P,, Q, et P,, Q,, on aura P,=P,=le poids d'une demi-voûte avec sa surcharge, et la poussée Q,=0, doit, d'après le principe de la moindre résistance , être un minimum.

Considérons maintenant une des deux moitiés, par exemple AC; soit EPj la verticale passant par le centre de gravité de cette moitié chargée ; pour tenir cette masse en équilibre, il faut qu'il existe au sommet une force dont la direction CE passe par le point d'intersection E de la verticale EP, avec la direction de la réaction R,. Comme la composante verticale de R, égale le poids P, agissant en E, on en conclut sans difficulté que la tension au sommet C de la voûte est nécessairement égale à la seconde composante Q, de la réaction R,, et doit être horizontale comme elle.

D'après cela il est permis de ne considérer qu'une demi-voûte AC et de chercher la condition d'équilibre de cette partie, appuyée en A contre une surface fixe, et sollicitée en C par une force horizontale ;

dans le cas où Féquilibre a lieu, on cherchera quelle est la moindre valeur de cette force horizontale Q,, et quel est son point d'application.

Soientflôjfl, ô.jfl'jA,, aj)^{^^, 17), les jointsd'unarb quelconque; P,,P,, Pj, les directions verticales des p. ^^

poids des parties abh^ a, , ahb^ «,, abh^ <?„ en y joignant les surcharges qui agissent sur l'extrados en iô,, bb^^ bb^^ ces charges pouvant consister en des masses continues ou en des poids isolés ; soit Q une force horizontale appliquée au point C- du joint supérieur, laquelle coupe les directions des poids P,, P,,, P, en C,, Ca, C,, et qui tient la voûte en équilibre, de concert avec la réaction R, qui agit sur le joint inférieur a, 65. ^

On trace aux points G,, C„ Cj des rectangles sur les forces qui se correspondent, Q et P,, Q et P,, Q et P, ; on tire les diagonales, qui donnent en grandeur et en direction les résultantes de ces systèmes de forces, et on les prolonge jusqu'à leur intersection en A,, A„ A,^ avec les joints «/,, a^^^ ajb^. Les points C, A,, A,, A, représentent les points d'application des forces qui agissent sur les joints «A, a,é,, «A) «i*5j dans les directions QC, C,A«, C.A,, C,A^. Il est clair que la surface fixe «/, doit résister en A», avec une force R, qui agit dans la direction A,C, et dont la composante verticale égale P^^ ou le poids de Tare abb^a^ accru des charges, tandis que sa composante horizontale a la valeur Q.

Cela posé, pour que l'arc puisse demeurer en équilibre sous l'influence de la force horizontale Q, il faut :

1** Que les points d'intersection C, A,, A», A,, tombent dans l'intérieur des joints respectifs ab^ afi^^ oj)^^ a^b^. Si pour un joint quelconque il n'en était pas ainsi, que, par exemple, le point A^^ fût au-dessus de A., la masse abb^a^ tournerait autour de l'arête b^ et se renverserait. La condition précédente assure ainsi l'équilibre de l'arc contre la rotation autour d'une arête de joint quelconque,

2** Que les directions QC, C,A,, C^A,, G^Aa, des pressions exercées sur les joints, fassent avec les normales aux joints respectifs des angles qui ne dépassent pas l'angle de frottement. S'il n'en était pas ainsi, par exemple au joint a^b^, la masse abb^a^ glisserait sur ce

joint dans la direction fl,6,. Cette condition assure l'équilibre contre le glissement sur un joint.

Gomme le frottement des matériaux employés à la construction des voûtes est presque toujours assez fort pour que la chute de Tare par suite du glissement ne soit point à craindre, cette dernière condition sera d'abord laissée de côté dans les paragraphes suivants, où Ton supposera qu'il n'y a pas de danger de rupture de cette manière. En conséquence, l'équilibre dont il va être question en premier lieu est relatif à la rotation possible autour d'une arête : on reviendra plus tard sur l'équilibre de glissement.

§ 9. Courbe des pressions.

Si l'arc compris entre ab et aj)^ (fîg. 18) n'a qu'un nombre fini de joints, la ligne CA,A,A„ qui passe par les points d'application p.^ jg des forces agissant sur les joints succes-

sifs, et qui doit se nommer ligne des pressions, est une ligne brisée. Si, cependant, pour généraliser la recherche, on considère fictivement la voûte comme composée d'une infinité de voussoirs infiniment minces, la ligne des pressions deviendra une courbe continue (passant entre autres points par G, A,,A„ A.), pourri que la charge supportée par l'arc soit continue suivant une loi quelconque.

La charge continue se compose ordinairement du poids de la voûte et des murs ou remblais qui la surmontent, composés de matériaux distribués continûment; si, outre cette charge, il se trouve en quelques points, symétriquement placés sur les deux demi-voûtes, des poids isolés à soutenir, la courbe des pressions aura des points singuliers en ces divers lieux.

Supposons, par exemple, que le point A, de l'extrados doive soutenir le poids S (fig. 19) qui exerce son action sur la partie 6,ô,«,âr,, située au-dessous du joint 6,û,, et non sur celle qui est située au-dessus. Iji combinaison de la poussée horizontale Q avec le poids P, agissant sur b^baa^ donnera pour point de rencontre de la courbe des pressions et du joint b^a le point A,. Soit T= P+S, soit MT la verticale qui

Fig. 19.

représente la résultante de P, et S, soit MB, la diagonale du rectangle fait sur Q et T : Tintersection de cette diagonale avec 6,a, donne le point de départ B, de la partie inférieure de la courbe des pressions. Cette courbe se trouvera ainsi brisée en ce joint, et aura deux branches distinctes, CA,, B.B,.

Il est facile de voir que le point B, est toujours compris entre A, et 6|, et ne peut tomber ni dans la direction A,ô^ au delà de 6,, ni dans la direction 6,A, au delà de A,, soit que le point A, tombe dans répaisseur de la voûte, soit qu'il se trouve en dehors sur le prolongement du joint «,ô, \ Si A, vient en 6,, B, vient pareillement en 6,.

Supposons qu'en conservant la grandeur et le point d'application de la poussée on supprime le poids S, et qu'ainsi la courbe des pressions soit la ligne continue GA, A, ; soit D le point d'intersection de cette courbe avec la verticale Sô.N passant par A,. En général ce point d'intersection sera unique ;, dans certains cas il peut être multiple. Rétablissons maintenant le poids S sans toucher à Q : il se produira la courbe des pressions discontinue CA,B,B,, dont la partie supérieure CA, reste identique à celle précédemment existante, et dont la partie inférieure B,B, coupe celle A,Aa de la courbe précédente au point D, tous les autres points se trouvant compris entre la courbe A^A^ et la verticale SN.

Si le joint ô,âr,, sur l'arête supérieure duquel agit ce dernier poids S, était vertical comme le joint au sommet ô«, les trois points A,, B, et D coïncideraient, et la courbe des pressions y formerait un point saillant. S'il s'agit du joint ah lui-même, on supposera que la voûte, formée de ses deux parties concourantes et symétriquement chargées, supporte en son sommet le poids 2S, dont une moitié S doit être attribuée à la demi-voûte de gauche, et l'autre à la demi-voûte de droite.

On aurait encore un point saillant en considérant ces courbes de

* En effet, le point A, est la position limite de B, pour S = 0, et 6, est la position limite de B« pour S infini.

pressions particulières qui passent par le point ô, ; ce qui ferait coïncider les points A,, B,, D et ô,.

Si le point A, se trouve en dehors de la voûte et dans le prolongement de «,ô, vers le haut, de sorte que le point B,, compris entre A, et ô,, soit inférieur à A,, l'intersection D de la verticale SN avec la courbe primitive GA,Aa sera entièrement en dehors de la nouvelle branche B,B,; cette dernière branche restera alors, dès son point de départ B,, adroite de A,A„ et son prolongement virtuel audessus du point B, irait seul passer en D.

Remarquons qu'en réalité un effort fini ne peut jamais s'exercer sur un élément mathématique d'un corps naturel, que cet effort se répartit suivant une loi continue sur une certaine étendue, plus ou moins restreinte, des deux côtés du point considéré; qu'ainsi vers lès extrémités de cette étendue l'action de la force décroît successivement jusqu'à zéro : il s'ensuit que la courbe des pressions, même dans le cas traité ci-dessus, sera toujours une courbe continue, qui présentera seulement dans le voisinage du joint h^a^ deux fortes courbures opposées et un point d'inflexion, comme le représente la Fig. 20. figure CDEB, (fig. 20).

La figure de la partie DE, fortement recourbée, ne pourrait être tracée avec exactitude qu'autant qu'on connaîtrait la loi d'après laquelle la pression S se repartit sur les molécules voisines. Faute de cette connaissance, on tracera la courbe brisée CA,B,Ba, et on y insérera au jugé le segment DE, de manière à se ramener au cas d'une courbe des pressions non interrompue et continue, ce qui est .supposé dans toutes les recherches qui vont suivre.

§ 10. Propriétés générales de la courbe des pressions.

Les propriétés suivantes ont de l'importance pour les recherches ultérieures. Elle se démontrent facilement sous cette seule restriction que les joints ba^ b^a^ , b^a^^ ... ne feront nulle part avec la verticale supérieure, à gauche de cette verticale, un angle plus grand que 90% ce qui comprend tous les cas d'application.

V Soit DEFGH (fig. 21 ) la courbe qu'on obtient en prolongeant les

verticales passant par les centres de gravité des poids P,, P , P,, ... jusqu'à leur rencontre avec les joints correspondan*ts, et enjoignant ces points d'intersection par un trait continu, que ces points soient au dedans ou au dehors de la voûte.

Soit C le point d'application d'une '''* ^''

force horizontale agissant sur le joint du sommet, et déterminant une courbe des pressions qui pteissera en G. L'horizontale CM passant en G rencontrera la première courbe en un nombre quelconque de points, comme E, G, de sorte que certaines parties de courbe, DE, GH seront au-dessous, d'autres, EFG, au-dessus de cette horizontale. La courbe des pressions qui commence en G, telle que GIEKGL, quelle que soit la valeur de Q correspondante, passera en C, E, G; en outre, les parties GIÉ, GL seront toujours au-dessous de l'horizontale GM , maïs entre cette ligne et les portions de courbe DE, GH; les parties comme EKG seront toujours au-dessus de cette horizontale, mais entre elle et les parties de courbe comme EFG.

Ce qui vient d'être dit de la position de la courbe des pressions entre l'horizontale CM et la courbe DEFGH est vrai, quand même l'horizontale CM ne rencontre pas cette courbe , et demeure tout entière au-dessus, ou tout entière au-dessous.

2** Dans pjresque tous les cas des applications, DEFGH forme une courbe dont tous les points sont plus bas que le point inférieur du joint au sommet de la voûte, de sorte qu'en général l'horizontale CM est au-dessus d'elle tant que le point C à la clef est dans l'intérieur de la voûte. Cette courbe représente évidemment la courbe des pressions particulière répondant au cas de Q =0, pour laquelle, par conséquent, la position du point d'application de la force nulle au sommet est indéterminée.

3* Mais si l'on augmente la force Q, en conservant son point d'application, on trouve, au lieu de la ligne GIEKGL, une nouvelle courbe des pressions qui passe, il est vrai, en C, E, G, mais qui se trouve comprise aux autres points entre l'horizontale CM et la première courbe des pressions, de sorte que les parties GIE, GL, s'élèvent, tendis que celles EKG s'abaissent : ce qui fait que toutes les parties se rapprochent de l'horizontale CM. Si, au contraire, le point d'application C restant constant, on diminue la force Q, la nouvelle

courbe des pressions, passant toujours en C, E, G, s'éloigne en ses autres points de*rhorizontale CM, les parties CIE, GL s*abaissant, EKG s'élevant.

4° Si Ton fait mouvoir le point C sur sa verticale sans changer la grandeur de Q, la nouvelle courbe des pressions s'élèvera eu s'abaissera tout entière par rapport à CIEKGL, sans avoir avec cette dernière aucun point commun, suivant que le point C montera ou descendra.

5* Si l'on fait varier à volonté la grandeur et le point d'application de la force Q tout à la fois, on obtient des courbes des pressions qui se coupent mutuellement. Mais deux telles courbes, qui se p. ^^ coupent en un point quelconque D

(fig. 22), se coupent aussi en tous leurs points situés sur l'horizontale du point D, et ne se rencontrent en aucun point au-dessus ou au-dessous de cette horizontale. Il s'ensuit que la rencontre en des points tels que D, qui n'ont pas la tangente horizontale, est nécessairement une intersection et non un contact, et, au contraire, la rencontre aux points maximums C, E, G, est nécessairement un contact. (Cette conséquence se tire immédiatement de la proposition qui précède, en regardant le contact de deux courbes comme la coïncidence en deux points infiniment voisins, ou sur un élément de longueur.)

Pour démontrer les propositions qui précèdent, soit P, le poids qui répond au joint que la courbe des pressions CEGI traverse au point D ; soit p^ la distance du point D à la verticale du centre de gravité du poids P,. Le moment du poids P, par rapport à D est ainsi ^?Jp^. Soit Q la pression horizontale en C, z la profondeur du point D au-dessous de l'horizontale du point C. zQ est le moment de Q ; et, D étant un point de la courbe des pressions, on a la relation caractéristique

zO=P.;?,.

Soit F un autre point de la même courbe , à la même hauteur que D ; soient P«,/?« le poids et la distance correspondant au point F :

50=P«/>,,d'oùP./?.-=P./>..

Si maintenant une nouvelle courbe des pressions vient passer en D, z'Q'=P,/>,, et par suite z'Q'==PtPr • donc elle passe en F.

Soient, au contraire, I un point de la première courbe, qui n'est pas à la même hauteur que le point D, P, le poids répondant au joint qui passe en I, p^ la distance de I à la verticale du centre de gravité de ce poids, et h la différence de niveau entre I et D. On a pour toute courbe qui passe en ces deux points :

2Q=p.P. et {h+z)Q=p,P^ doù Q= j;— , et ^=p.p, .p.p,.

D'après cela, dès que h a une valeur finie, ou dès que les deux points considérés ne sont pas à la même hauteur, les grandeurs Q et z ont nécessairement une valeur déterminée qui ne peut correspondre qu'à une seule courbe des pressions. Donc deux courbes différentes ne peuvent jamais se couper en deux points situés à des hauteurs différentes.

6** Les différentes courbes des pressions qu'il est possible de construire ont ceci de commun, que leurs tangentes sont horizontales au point initial G, pourvu qu'il n'existe pas un poids isolé appliqué au sommet : et si on suppose ces courbes prolongées indéfiniment dans les culées, elles tendent vers une même courbe qui leur sert d'asymptote commune.

Cette dernière courbe, dont nous avons déjà fait mention (1* et 2°), représente la courbe des pressions pour laquelle la poussée est suiçosée nulle : elle est formée par les points d'intersection des lignes de joints avec les poids correspondants P,, P„ ...

y^^ 23 T Les propriétés précédentes s'appliquent

aussi à des courbes des pressions discontinues, répondant au cas de poids isolés. En traçant les courts segments à forte courbure qui rétablissent la continuité, on reconnaîtra toujours &cilement si une position relative quelconque de deux de ces courbes est possible ou non, si elles se coupent ou ne se coupent pas. Ainsi, par exemple,* la position relative des courbes à traits respectivement pleins et ponctués de la figure 23, est possible et ne suppose pas d'intersection. Celle que donne la figure 24 est possible moyennant

Fig. 24.

trois points d'intersection sur une même horizontale, les courbes ne pouvant se couper sur aucune autre horizontale. La position (fig. 25)

est impossible , parce que ces deux courbes se couperaient en un point sans le faire aux autres points qui se trouvent sur la même horizontale.

Si L'on prolonge tous les joints jusqu'à leurs points de concours au delà de la voûte, et qu'on recherche toutes les courbes des pres- Fig. 25. sions imaginables auxquelles cor-

respondent sur ces joints des points situés au delà des points de concours, on a une remarque à faire relativement à la position relative de ces courbes dans cette portion du plan.

8*^ Soit A, (fig. 26) le point de rencontre des deux joints b^o^ et *,««. Si une courbe des pressions passait en ce point, ce point pourrait être considéré, et comme point d'application de la pression sur Fig. 26. Ï6 joint ô,«„ et comme point d'application

de la pression sur le joint b^a^. Dans le premier cas, ce point, quoique ie trouvant aussi dans le joint bja^^ n'aura pas, par rapport à celui-ci, le caractère de point correspondant de la courbe des pressions, cette propriété ne lui appartenant que par rapport au joint Ajé/,.

Soit, par exemple, A,A,A, une courbe des pressions qui passe au poiiit A, considéré comme appartenant au jointe,»?,. EBe passera en un autre point quelconque A, qui répondra à b^a^. On peut concevoir une autre courbe A,A''A„ dans laquelle A^^a sa signification par rapport à bja^, un autre point A'' répondant à b^a^. D'après cela il sera possible de tracer des courbes des pressions,

dans ce cas, qui se couperont en plusieurs points, à des hauteurs différentes. Mais si l'on remarque que le point A^ n'a pas d&ns les deux courbes le caractère d'un point correspondant à un seul et mémejoint, on voit que les propriétés ci-dessus énoncées conservent toute leur généralité, pourvu que l'on substitue à l'idée trop étendue de rencontre des deux courbes celle plus restreinte de la coïncidence de deux poids représentant dans les deux courbes les points d'application sur un seul et même joint. Ainsi, en traçant la position de hauteur relative de deux courbes, on aura soin que les points d'application correspondant à un même point dans les deux courbes soient respectivement partout plus élevés ou partout plus bas : par exemple dans la courbe A, A" A, tous les points correspondants à partir de A, sont plus hauts que dans la courbe A,A,A,, quoiqu'elles aient un point conmxun A,, mais à double signification.

§ 11. Définition précise des éléments à déterminer pour obtenir la vraie courbe des pressions, ainsi que le minimum et le maximum de la poussée.

Pénétrons maintenant plus avant dans la recherdie des conditions d'équilibre d'une voûte. Il faut remarqi^er avant tout que^ ji la voûte est partout assez épaisse pour que les verticales passant par les centres de gravité des poids P,,P„P, ... coupent tous les joints correspondants dans l'intérieur de la voûte (fig, 27); en d'autres termes, si la courbe des pressions qui correspond à Q=o ne sort nulle part de la voûte, il n'est alors besoin d'aucune force horizontale au sommet pour maintenir l'équilibre. (Nous admettons implicitement que les verticales font avec les normales aux joints correspondants des angles plus petits que l'aingle du frottement relatif aux matériaux des voussoirs, en sorte que l'équilibre contre le glissement soit partout assuré.)

Dans .ces circonstances, qui se présentent, par exemple, quand, en construisant une voûte; on n'a posé que les voussoirs inférieurs, chique joint, ainsi que la culée, ne subissent qu'une pression ver-

tieale, e]t la culée n*a à supporter aucun effort horizontal. Cependant a est lacUe de voir que, s'il s'agissait d'un arc dont le joint au sommet fût vertical et q^ii se composât d'une infinité de voussoirs infiniment minces, le cas dont il s'agit ne pourrait se présenter, car pour Q=o les angles des verticales C,P, ...ou des pressions avec les normales aux joints correspondants voisins du sommet seraient nécessairement plus grands que n'importe quel angle du frottement possible. Dans ce système fictif il doit donc y avoir toujours une poussée, quoiqu'elle puisse être petite. Dans la réalité, comme aucune voûte ne se compose de voussoirs infiniment minces, le cas dont il s'agit est très-possible, quoique se présentant rarement dans la pratique courante.

Il est clair que la courbe ci-dessus considérée, qui passe par les points d'intersection des verticales avec les joints correspondants, ne se trouvera jamais au-dessus de l'extrados, mais pourra être partie au-dessus, partie au-dessous de l'intrados ; il est nécessaire toutefois de noter ce fait, auquel il faudra penser par la suite.

Gela dit, le problème est le suivant : parmi toutes les courbes des pressions possibles pour lesquelles la voûte peut rester en repos, et qui, par conséquent, en aucun point de leur développement ne sortent de l'îhtérieur de la voûte, depuis le joint au sommet jusqu'à la culée, trouver celle pour laquelle la poussée est un minimum, et qui, par le principe de la moindre résistance, sera la véritable.

Quand on appelle minimum cette valeur de la poussée, on n'entend pas par là un minimum analytique absolu pour lequel le coefficient différentid de par rapport à une grandeur quelconque soit nul, mais la plus petite valeur de Q possible sous les conditions données du système.

A côté de cette courbe, répondant au minimum de Q, se présente celle qui correspond au maximum, et qui représente la plus grande poussée horizontale qui pourrait se produire en tenant l^r voûte au repos vsi la production de la poussée n'était assujettie au principe de la moindre résistance.

La considération simultanée de ces deux courbes, dont la première seule cependant doit toujours être la véritable dans notre hypothèse de l'incompressibilité des voussoirs, donne des vyes utiles sur le système des forces qui agissent sur une voûte.

Il est clair que si l'une de ces lignes existe, l'autre existera né-

cessairement aussi ; ce sera un cas tout particulier si elles viennent h coïncider : alors le maximum de Q sera aussi son minimum ; il ne pourra exister aucune autre courbe que celle-là. Si on a déterminé les conditipns générales que doit remplir Tune ou l'autre de ces deux lignes, et que Ton trouve pour une voûte particulière que ces conditions ne sont pas remplies, alors ni l'autre courbe, ni aucune coui#e des pressions pouvant assurer l'équilibre de la voûte ne subsistera : donc la voûte se rompra nécessairement,

§ 12. Caractères communs à la courbe des pressions répondant au minimum de la poussée et à celle qui répond au

La courbe des pressions qui répond à un maximum ou à un minimum de la poussée doit, sans sortir en aucune de ses parties de l'épaisseur de la voûte,-avoir un point commun avec l'extrados et un .avec l'intrados, et il est facile de voir qu'un tel point commun, s'il n'est pas à une extrémité delà voûte, soit au sommet, soit à la culée, est nécessairement un point de contact de la courbe des pressions avec la courbe-contour.

Supposons en efTet qu'on puisse construire une courbe des pressions contenue en entier dans l'épaisseur de la voûte et n'ayant aucun point commun soit avec l'extrados, soit avec l'intrados : on pourra alors, sans changer le point d'application de Q à la clef, augmenter ou diminuer cette force de telle sorte que la nouvelle courbe des pressions, nécessairement différente de la précédente, atteigne d'un côté ou de l'autre le contour de la voûte, sans en sortir. La ligne d'abord construite ne peut donc répondre ni au minimum, ni au maximum de la poussée.

Si une courbe des pressions, tout entière contenue dans l'éps^isseur de la voûte, touchait seulement l'une des courbes-contours, l'extrados, par exemple, mais non l'intrados, on pourrait, en conservant la grandeur de la forcé 0, faire marcher son point d'application vers le sommet de cette dernière courbe, de manière que la nouvelle courbe des pressions, qui d'après les propriétés exposées plus haut sera tout entière au-dessous de la première, se séparât de l'extrados et n'eût aucun point commun avec l'une ni avec l'autre des courbes-contours. Mais cette nouvelle courbe des pressions, qui correspond à la même valeur de Q que la première, com-

porte un accroissement ou une diminution delà force Q, d'après le raisonnement ci-dessus ; donc cette courbe, et par suite la prriqkir construite, ne correspond ni à un minimum, ni à un m^jj^îj^im de la poussée.

Il résulte de là que la courbe répondant à un minimum ou à un maximum de doit avoir un point sur chacune des courbes-contours. Pour définir les caractères distinctifs des courbes répoi|feint respectivement au minimum et au maximum, il reste à déterminer la position relative de ces points de concours.

Fig. 28. . Nous ferons toutefois préa-

j lablement la remarque suivante : soit CDBA la demi- I voûte (fig. 28), CD un joint vertical à la clef, AB le joint de culée, K le point d'application de la force Q, et KFEI une I courbe des pressions possible ' quelconque ayant avec l'intrados le point E commun, avec l'extrados le point F commun.

Les deux points E, F doivent toujours être au-dessous de l'horizontale KL menée par le point K, à moins que les points K, F, D ne se confondent en D, ou les points K,E«G en G, auxquels cas ces points sont non au-dessous de l'horizontale KL, mais sur cette horizontale même.

Pour le point E, cette proposition n'a pas besoin de preuves, puisque nous admettons qu'aucun point de l'intrados n'est au-dessus du point le plus bas G du joint à la cleP. Pour le point F, on remarquera que, s'il est au-dessus de KL, en diminuant la valeur de Q sans changer le point d'application K, la nouvelle courbe des pressions, suivant le tracé pointillé, s'abaissera entre K et G, s'élèvera entre G et H, et ainsi sortira de l'extrados. Mais alors la courbe répondant kQ=o devrait, elle aussi, sortir de l'extrados, ce qui n'est ' pas possible, suivant une remarque faite précédemment.

Nous n'avons donc à nous occuper que des courbes des pressions

* Cette hypothèse, non encore énoncée sous cette forme, revient à celle du paragraphe 10: « Les angles des joints avec la verticale supérieure sont inférieurs à 90°», sachant que les joints sont faits, au moins approximativement, normaux à Tintrados.

LrSfe IL — THÉORIE DES foUTES. 41

^1 pour lesquelles les deux points connus E et F sont au-dessous de ff l'horizontale KL, ou tout aii plus viennent sur cette ligne quand celle-ci passe en G ou en D.

§ 13. Caractère distinctif de la courbe des pressions qui répond au minimum de la poussée.

Quand le point F de contact avec l'extrados est plus haut que le point de contact E avec l'intrados, la courbe des pressions dont il s'agit répond à un minimum de la poussée, soit que le point E précède ou suive le point F quand on parcourt la courbe depuis la clef jusqu'à la culée.

En effet, soit d'abord KFEI (fig. 29) la courbe des pressions dont il s'agît, les points E, F étant dans p.^ ^^

la position voulue, et dans la deuxième situation relative que nous venons d'indiquer. Si, en | conservant le point d'application K,on augmente ou diminue 1 la force Q, la courbe va respectivement s'élever ou s'abaisser | dans la partie inférieure à l'ho- 1 rizontale QK, et par suite sortir soit de l'extrados en F, soit de l'intrados en E : elle est donc | impossible.

Si en conservant la force ' on relève son point d'application vers D, on obtient une nouvelle courbe des pressions qui est en entier au-dessus de la première, qui coupera donc l'extrados vers le point F : elle est donc impossible. Si maintenant on augmentait l'intensité de la force Q, la nouvelle courbe s'exhausserait encore dans le voisinage de F ; elle sortirait davantage de l'arc et serait encore moins possible. Que si, au contraire^ en ce nouveau point d'application, on diminuait de manière que la partie ^e la courbe voisine de F redevînt tangente à l'extrados, il faudrait que cette nouvelle courbe coupât la première, KFEI, quelque part entre F et K. D'après les propriétés connues, comme ici le point F est au-dessous de K, cette intersection aura lieu en un point unique, ou, suivant la

figure particulière de la portion de courbe KF, en un nombre impair de points situés sur la même horizontale ; de sorte que, dans tous les cas, la nouvelle courbe sera à droite de la covabe KFEI dans la portion de cette courbe comprise entre F et le point d'intersection qui en est le plus rapproché. Mais comme au-dessous de ce dernier point la nouvelle courbe ne peut rencontrer l'ancienne, elle restera constanunent à droite de celle-ci. Donc aux environs du point E elle devra couper Tintrados : elle n'est donc pas possible. Il ne peut donc exister, dans les conditions admises, une courbe des pressions rencontrant la clef en un point plus élevé que K.

Qu'on fasse au contraire descendre le point d'applict^tion de Q audessous de K, sans changer la grandeur de cette force : la nouvelle courbe sera tout entière au-dessous de KFEI, donc elle coupera l'intrados au-dessus du point E ; elle est donc impossible. Si l'on voulait maintenant diminuer Q, la nouvelle courbe s'abaisseri^it davantage encore aux environs du point E et serait encore impossible. Mais si l'on augmente la force Q en ce nouveau point d'application inférieur à K, la courbe des pressions pourra s'élever de telle sorte qu'elle demeure vers le point E, et à plus forte raison siilleurs, ^s l'intérieur de la voûte : cette courbe sera donc possible.

On conçoit d'ailleurs que, sous certaines conditions, le point K descende assez dans le joint à la clef pour que la valeur accrue de Q, strictement nécessaire pour obtenir une courbe demeurant dans l'intérieur de la voûte, soit supérieure au maximum de Q, auquel cas les courbes des pressions correspondantes sortiraient en quelque point de l'extrados et seraient ainsi impossibles.

De ce qui précède il résulte que la courbe KFEI répond à un minimum de Q, puisque par le point K de la clef.il ne peut passer que cette seule courbe, que par un point supérieur à K il n'en peut passer aucune, et que par un point inférieur il ne peut passer que des courbes répondant à des valeurs de Q plus grandes.

Il arrivera fréquemment que le point F coïncide avec le point au sommet de la courbe et vienne ainsi en D, ou que E coïncide avec l'extrémité inférieure A. Dans ce cas la rencontre avec l'extrados ou avec l'intrados n'est pas nécessairement un contact. Mais «les démonstrations précédentes subsistent.

Considérons maintenant l'autre position relative de E et de F : le point E est toujours inférieur à F (fig. 30), mais le précède dans le

parcours de la courbe du sommet à la culée. On prouvera d'abord, comme préc^emment, que cette courbe est la seule possible par le point K.

Supposons ensuite une courbe répondant à un point d'application plus élevé : si la valeur pj^^ 3^, de Q est égale ou supérieure à la précédente, la courbe coupera l'extrados au-dessus du point F : elle est donc impossible. Si la valeur de Q est moindre, de manière que la courbe rentre dans l'épaisseur de la voûte aux environs de F, cette courbe devra nécessairement couper KEFI quelque part cailre E et F, d'où il résulte qu'elle coupera nécessairement l'extrados vers F ou l'intrados vers E : ceci se voit aisément en vertu des principes antérieurs, si Ton essaye de placer n'importe où, entre F et E, ce dernier point d'intersection. Si on le place au-dessus de E, en a, la courbe coupe l'intrados ; si on le place i(u-dessous, en 6, la courbe coupe l'extrados.

Que l'on prenne maintenant une courbe partant d'un point inférieur à K : si Q a la même valeur ou une valeur moindre, elle coupera l'intrados vers E et sera ainsi impossible. Si Q a une valeur plus grande, pourvu que le point d'application au sommet ne soit pas pris trop bas, il sera possible de faire entrer la nouvelle courbe tout entière dans l'épaisseur de la voûte.

Donc ime courbe teUe que KEFI ne peut correspondre qu'à un minimum de Q ; car pour le point de départ K cette courbe est seule possible ; pour un point supérieur aucune courbe n'est possible ; pour un point inférieur toute courbe possible répond à une valeur plus. grande de Q.

Si le point E est en même temps point de départ, c'est-à-dire coïncide avec G, ou si le point F est point d'arrivée, c'est-à-dire tombe en B, la condition de contact de la courbe avec les courbescontours disparaît, mais la irtlture de cette ligne et les démonstrations précédentes ne sont point altérées.

n est dair que,, de ces 'deux sortes de courbes correspondant au

44 STABIUTÉ DES CONSTRUCTIONS.

minimum de Q, une seule peut se présenter dans une voûte donnée. Car admettons l'existence simultanée de deux courbes au minimum de : elles ne pourraient, d'après ce qui précède, avoir même point de départ K, puisqu'à ce point répondrait une courbe unique donnant le minimum ; elles ne pourraient non plus partir de deux points différents, car de Texistence de celle qui a le point de départ le plus bas on^conclurait, comme ci-dessus, l'impossibilité de toute courbe à point de départ supérieur.

Donc si Tune des deux courbes est possible, l'autre ne peut l'être ; on n'a à vérifier la possibilité de cette dernière, que si la première est impossible.

La courbe des pressions au minimum de Q, dont nous avons parlé en dernier lieu, celle pour laquelle le point E de contact Intérieur se rencontre avant le point F de contact extérieur en allant du sommet à la culée, n'est possible que dans des cas très-rares ; nous indiquerons plus tard les cas où la considération de cette courbe peut être nécessaire dans l'application.

Nous concluons de ce qui précède que, si l'on donne la courbe des pressions répondant au minimum de Q, les points de départ de toutes les autres courbes possibles seront plus bas que celui K de cette courbe ; quant à la question de savoir si le point extrême d'une courbe possible sur le joint de culée sera d'un côté ou de l'autre par rapport au point extrême I de la courbe KEFI, la solution de cette question dépend de la figure de la courbe KEFI entre E et I, de la position du point d'application de la nouvelle courbe, ainsi que de la valeur de Q correspondante.

On peut cependant déduire des principes posés que, si le point d'arrivée I est plus bas que le point de contact intérieur E, ce qui est le cas ordinaire, le point extrême de la nouvelle courbe des pressions sera au-dessus de I, et que si le point I est plus haut que le point E, on peut amener, en abaissant très-peu le point d'application au sommet et augmentant très-peu la force Q, le point extrême au-dessous de I ; toutefois on peut toujours dans ce dernier cas, en abaissant beaucoup le point de départ ou augmentant beaucoup la force Q, maintenir le point d'arrivée au-dessus du point I,

§ 14. Caractère distinctif de la courbe des pressions qui répond au maximum de la poussée.

Quand le point de contact F avec l'extrados est plus bas que le point de contact E avec l'intrados, la courbe des pressions correspondante se rapporte à un maximum de la poussée. Mais cette propriété a lieu seulement lorsque le point E précède F en allant du sommet à la culée, car dans le cas contraire la courbe des pressions dont il s'agit devrait couper en trois points certains joints de la voûte, ce qui est impossible. D'après cela, il n'y a pas lieu ici de distinguer deux genres de courbes pouvant satisfaire à la condition du maximum de 0, comme il était nécessaire de le faire en ce qui concerne le minimum.

Soit donc KEFI (fig. 3 1 ) une courbe des pressions jouissant de la propriété énoncée. Parle point K il n'y a aucune autre courbe possible, parce que, avec une valeur plus grande de Q, elle couperait l'extrados au-dessus de F, et avec une valeur moindre elle couperait l'intrados audessus de E. Si l'on descend de K vers C le point d'application d'une nouvelle courbe, celle-ci, en supposant une valeur de Q égale ou inférieure à la première, coupera l'intrados vers E ; si Q était plus grand que le premier, et assez augmenté pour que la nouveljo courbe rentrât dans la voûte vers E, elle couperait la ligne KEFI entre K et E, ce qui l'obligerait à couper l'extrados au-dessus de F, Ainsi aucune autre courbe n'est possible pour un point de dépait plus bas que I^.

Élevons maintenant le point d'application vers D. Si Q était aussi grand ou plus grand, la nouvelle courbe des pressions résultante couperait l'extrados au-dessus de F et serait impossible. Mais si l'on prend plus petit, en diminuant suffisamment cette force, on pourra maintenir la nouvelle courbe tout entière dans l'épaisseur (le la voûte, pourvu qu'on n'ait pas choisi le point d'aç^l\ç»îv\\o\v \.\«^

46 STABIUTÉ DES COxNSTRUCTIONS.

haut, auquel cas la courbe irait couper nécessairement l'intrados. De là il résulte que la courbe en question correspond à un maximum de la poussée, puisque par le point K il ne passe que cette seule courbe, par un point plus bas aucune, par un point plus haut aucune courbe correspondant à une valeur égde ou supérieure de Q. Gomme le point de contact F doit toujours être plus haut que le point d'arrivée I de la même courbe sur la culée, on voit sans peine que le point d'arrivée de toute courbe possible sera en deçà de I, sur lA.

Si le point E venait à coïncider avec le point de départ, ce qui l'amènerait en G, ou le point F avec le point d'arrivée, et par conséquent avec le point B, la condition de contact disparaîtrait, mais le caractère de la courbe et les démonstrations précédentes ne changeraient pas.

A propos de la détermination du maximum de Q, il y a encore à considérer le cas particulier où le point le plus bas de la clef est plus bas que le point le {Jus haut du joint de culée : alors tous les points de l'intrados sont plus bas que tous les points de l'extrados, en sorte qu'entre les horizontales EL et MG (âg. 32), il y en a d'autres en nombre infini qui demeurent dans l'épaisseur de la voûte entre les joints extrêmes. Cette forme de l'arc n'a aucune influence sur le minimum de Q, mais il ne peut plus être question d'un maximum, bar aucun point F de l'extrados ne peut être au-dessous

d'un point E quelconque de l'intrados.

En donnant un point K entre L et G, on pourra toujours prendre Q assez grand pour que la courbe Kl demeure dans la voûte : pour Q infini, la courbe devient la ligne droite KN.

U résulte de là que le maximum cherché est infini, et que la courbe correspondante est l'une quelconque des horizontales entre LB et GM.

Une autre conséquence est celle-ci : une voûte de cette nature admet toujours une courbe possible répondant à un minimum de Q ; elle sera donc toujours en équilibre en tant que l'équilibre dépend de la rotation des voussoirs, en réservant la considération du glissement.

Fig. 3Q.

§ 15. Limites des courbes des pressions possibleËt. Limite de stabilité de la voûte. Cas où l'équilibre est impossible.

Si l'on a tracé suivant les règles ci-dessus les courbes des pressions qui répondent respectivement au maximum et au minimum de la poussée Q, on voit que les pig.

points de départ de ces deux . courbes au joint du sommet donnent les limites entre lesquelles se trouvent renfermés les points de départ de toutes les courbes possibles, et que le point d'arrivée de la courbe répondant au maximum est la limite extrême que.ne peut dépasser le point d'arrivée d'une courbe possible quelconque sur le joint de culée. Dans cette proposition générale sur la position du point d'arrivée, il faut exclure le cas prticulier considéré plus haut, où le point G est plus bas que le point B du joint de ^.^

culée, et où par suito le maximum de Q est infini, et son point d'application indéterminé«

Si dans une voûte on pouvait construire une courbe qui eût en même temps les propriétés du minimum et du maximum, celle-là serait la seule courbe possible, et la voûte serait à l'état d'équilibre limite.

Telle est, par exemple, la courbe KFEF'I (fig. 33) qui touche l'extrados en F, F', et l'intrados eu E, E étant plus haut que F', mais plus bas que F. Le point F peut coïncider avec D, F' avec B ; dans ces cas, U n'y a pas contact en ces points avec l'extrados. Le point E pourraifaussi être avant F sur la courbe, en allant de K vers I : alors il pourrait coïncider

avec C, pourvu qu'il fût toujours plus bas que F, plus haut que F'.

La courbe en question peut avoir aussi la forme KE'FEI, toucher l'intrados en E, E', l'extrados en F (fig. 34), ce point étant au-dessus de E et au-dessous de E'. Le point E peut coïncider avec A, E' avec C, au quel cas il n'y a plus contact nécessaire en ces points. Le point F pourrait aussi suivre le point E dans la courbe Kl, et alors coïncider avec B, pourvu qu'il^emeurât toujours au-dessus de E, au-dessous de E'. On déduit enfin de ce qui précède cette proposition : Si une courbe Fi^. 3s. des pressions, tellequeKEFGHI

(fig. 33), peut être tracée, laquelle traverse deux fois, n'importe comment, l'épaisseur de la voûte et en sorte dans une de ses parties, l'équilibre de cette voûte est impossible, pourvu que tous les points d'une traversée de l'épaisseur de la voûte soient plus hauts que tous les points de l'autre traversée. En effet, une courbe des pressions quelconque pouvant assurer l'équilibre ne devrait sortir nulle part de la voûte ; cela l'obligerait à couper à la fois les segments HG et EF, ce qui n'est pas possible. Ainsi il n'existe aucune courbe qui demeure tout entière dans l'épaisseur de la voûte : donc la voûte ne pourra pas se tenir en équilibre.

§ 16. Détermination, suivant la forme particulière de la voûte, de la vraie courbe des pressions, laquelle répond au mifiimnni de la poussée. Procédé pour vérifier s'il y aura stabilité ou ruptnre. Joints de rupture.

Après cette étude générale des courbes des pressions, nous chercherons à montrer successivement quel est l'état de stabilité des arcs des formes habituelles ; pour cela nous chercherons la position de la courbe des pressions qui , répondant au minimum de la poussée horizontale, est ainsi la véritable.

Soit, pour la demi-voûte ABGD(fig/ 36), P le poids du massif de la voûte avec sa surcharge, GPla verticale passant par le centre de gravité du poids P.

Noua? admettrons, dans ce pa- *"*«• ^*

TSigr^ÀBj que la verticale GP passe a droite du point inférieur A du joint de culée ou deTintrados.

Soient Kl une courbe des pressions quelconque, Q la force horizontale qui, appliquée en K au joint supérieur, donnerait naissance à la courbe Kl. Soient p la distance horizontale de la verticale iX^mi point I, et h la hauteur vertieàlë du point K au-dessus du point I. On a alors :

hQ=pP;

et, en considérant comme connue la position des points K et I, et, par conséquent, h et jo,

Q sera d'autapt plus petit que jd sera moindre, ou que A sera plus grand : on aura donc obtenu la moindre yale^r possible de la poussée en faisant passer la courbe parles deux points D et A.

De là découle immédiatement le procédé suivant pour apprécier la stabilité d'une voûte.

On construira une courbe des presfiions DA, passant par le point le plus haut du joint au sommet et par le point le plus bas du joint de culée. Il pourra alors se présenter cinq cas.

Premier cas. — La courbe DA se trouve tout entière, du point D au point A, entre les courbes-contours DB, CA.

Dans ce cas, cette courbe des pressions est la vraie. L'équilibre de l'arc est assuré ; les voussoirs se pressent en D et A, et la poussée horizontale Q se développe au sommet de la voûte avec la valeur qui a été^^mployée au tracé de la courbe DA ; cette même valeur donne ausaî'Ia composante horizontale de la réaction agissant en A.

Ce cas se présente principalement quand la courbe est limitée par des arcs surbaissés et horizontaux à la clef.

Si l'extrados DB n'était pas hoft^cmtal en D, mais incliné vers le bas, alors, même pour l'arc le plus surbaissé, la courbe des pressions sortirait de l'extrados dans le voisinage du sommet, Jfeurce que la courbe des pressions est toujours horizontale au sommet (toutes les fois qu'il n'y a pas au sommet un poids isolé fini). Il feut ièpendant remarquer, à cet égard, que nous avons regardé l'arc comme formé de voussoirs infiniment petits. En réalité ce n'est qu'une approximation, et comme la courbe des pressions est effectivement une ligne brisée qui s'incline depuis le point D jusqu'à son intersection avec le joint voisin de chaque côté, il arrivera quelquefois que pour un arc très-aplati la courbe des pressions pourra passer par le point le plus haut D, quand même l'extrados ne serait pas tmit à fait horizontal.

Nous n'insisterons plus au reste dans la suite sur les petit4||B modifications qui résultent de la grandeur finie des voussoirs : elles sont toujours faciles à reconnaître.

Deuxième ça». — La courbe ^^^' ^' des pressions DA coupe l'in-

trados en un ou plusieurs points (soit conune DGA, soit conune DHHiA), mais elle ne coupe pas l'extrados (fig. 37).

Alors la vraie courbe des pressions cherchée est ceUe qui passe par le sommet D de l'extrados, et qui touche l'intrados CA, pourvu que cette courbe reste partout ailleurs au dedans de la voûte.

Soit DEI cette ligne, obtenue soit analytiquement ou par un tracé approximatif, soit E son point de contact avec l'intrados. Des propriétés exposées ci-dessus de la courbe des pressions il résulte que si la courbe dont il s'agit est possible, c'est-à-dire si elle ne sort nulle part de la voûte, il n'y en a pas d'autre qui réponde à une moindre valeur de la poussée.

Dans l'équilibre ainsi établi, les voussoirs se serrent à l'extrados en D, à l'intrados en E, par leurs arêtes extrêmes. C'est ce qui fait qu'en réalité on remarque en ces endroits des épaufrures.

Ce genre d'équilibre se présente particulièrement dans les arcs

dcmt' l'IQVliffâs est presque vertical en A, et dont l'extrados est hôri^n||jl 4 D.

S'a sfe rencontrait cpie la courbe DEI menée par le point D et touchant rintrados en E coup&t l'extrados au-dessus du poiiit E, entre D et E, l'état d'équilibre delà voûte devrait être étudié comme dans le quatrième cas ci-dessous.

Mais si cette courbe DEI coupe Textràdos au-dessous du point E, c'est-à-dire entre E et I (comme par exemple si la voûte s'étendait jusqu'en A'B' et que DEI' fût la courbe en question)^ l'équilibre serait impossible^ comme on Ta vu plus haut. Nous admettons ici implicitement que la deuxième courbe minimum résultant des coDr sidérations antérieures n'est pas possible. Mais quand la courbe qu'on rencontre, DEI', est de telle fbrîne ^ue de D en V chaque point est plus bas que le précédent, il n'y a pas lieu de s'inquiéter de la deuxième courbe minimum, car celle-d devrait couper. la première en deux points de hauteurs inégales. Nous «e nous occuperons par la suite que de cette première fortHe, ordinaire dans les applications, à moins que le contraire no soit spécifié.

Dans les circcmstances détermina d-deflêus, la voûte se romptpaf ilû abaissement du Mmmet et Técartement des retos. Il se produit une rotation autour de^nètes D, E,et de toutes lierwétes voisines de B, pour lesquelles la courbe des pressions DEI' est en dehors de l'extrados (fig. 38). Si la courbe DEI'j qui coupe l'extradosau- fu. 39

dessus de B', rentrait plus bas dans la voûte, aux approches du joint de culée, la partie inférieure des reins ne bougerait pas lors delà rupture de la voûte (fig. 39).

Le joint qui passe par le point E se nomme joint de rupture. La position de ce joint est évidemment indépendante, dans certa\w^%

limites, de la forme et de la charge de la partie ^"^SPl^^ vqûte EA'B'. C'est pourquoi on laisse à ce joint, corremj^Mlau point de contact de la vraie courbe des pressions avec rintiSws, le nom de joint de rupture, même quand la voûte est parfaitement en équilibre.

On voit que la limite de la stabilité est atteinte dès que la courbe

des pressions DEI passe par le point extérieur B du joint de culée,

et que la voûte sera d'autant plus stable que le point I d'intersection

de la courbe avec le joint de culée AB sera plus près du point A. .

P,^ ^j, Troisième cas. — La courbe

des pressions DA coupe l'extrados

en un ou plusieurs points, mais

non l'intrados (fig. 40).

La vraie courbe des pressions cherchée est alors celle qui passe par le point inférieur A de l'intrados au joint de culée, et qui touche l'extrados au-dessous du point D, pourvu que cette courbe reste dans l'intérieur de la voûte partout ailleurs.

On déterminera cette courbe analytiquement ou bien par un tracé approximatif : soit AFK cette courbe, F son point de contact avec l'extrados.

Du moment oii cette courbe est possible, c'est-à-dire ne sort en aucun point de la voûte, on sait par les principes antérieurs qu'il n'y en a pas d'autre qui puisse répondre à une valeur n^oÉÉy^e de Q. Ce genre d'équilibre, par lequel l'action mutuelle d^voussoirs s'exerce à l'extrados en F, à l'intrados en A, se présente surtout pour des arcs dont l'intrados au point le plus bas n'est pas vertical, et où l'extrados n'est pas horizontal à la clef.

Si cette courbe AFK coupe l'intrados au-dessous du point F, on est ramené au quatrième cas ci-après. Si elle coupe l'intrados audessus du point F, l'équilibre est impossible. La voûte se rompt par une chute des parties basses en dedans, et par un soulèvement des parties supérieures. Les rotations ont lieu autour des arêtes A et F, et autour de toutes les arêtes intermédiaires dans le voisinage de la clef, là oîi la courbe des pressions sort de l'intrados (fig. 4i). Le joint qui passe par le point F se nomme joint de rupture, aussi

bien dans le cas de Tare stable que dans le cas de Tare instable.

La stabilité de Tare atteint évidemment sa limite quand la courbe' des pressions AFK passe par le point G le plus bas de la clef, et elle est d'autant plus grande ng. 41.

que le point K dUuterscction de la courbe avec la clef est plus près du point D.

Quatrième cas. — La courbe des pressions DA coupe rintrados et l'extrados, chacun en un ou plusieurs points, sans cepen- | dant aller plus d'une fois d'une courbe-contour à l'autre (ou sans traverser plus d'une fois l'épaisseur entière de la voûte).

La vraie courbe des pressions est alors celle qui touche à la fois l'intrados et l'extrados, le premier dans le bas, le second dans le haut.

Soit KFEI (fig. 42) la courbe ainsi tracée, soient E, F les points de contact. Cet équilibre, pour lequel les voussoirs réagissent mutuellement en E, F par leur arêtes, Fig. «.

se présente surtout pour des arcs dont rintrados est vertical en A, ;eM'extrados incliné à la clef. Il se ' i|ipente encore dans les cas définis antérieurement, n*** 2 et 3 :

il est le cas général d'équilibre d'une voûte, dont les cas d*^ 1, 2, 3 sont des cas particuliers.

Si la courbe KFEI coupe l'intrados entre K et F, ou reKtrados entre Eet I, ou les deux à la fdis, l'équilibre de la voûte est impossible. La voûte se rompt alors d'une manière facile à comprendre dans les trois cas représentés par les figures n*" 43, 44, 45.

U se produit dans le mouvement de rupture des rotations autour des arêtes F, E, comme autour de toutes celles qui sont voisines de B et G, pour lesquelles la courbe passe au dehors de la voûte. La

STABILITÉ DES <:ONSTRLCTI0iNS.

Fi«. 43.

FiR. 44.

demi-voûte se partage en trois segments : l'inférieur est poussé en dehors ou demeure fixe, le moyen tombe en dedans, la clef suit

les deux mouvements dont il s'agît et s'enfonce ou s'élève en conséquence.

Dans ce cas général il y a deux joints de nipture, d'après le sens du mot : les joints E, F. Les théories antérieurement publiéesavaientlaissé échapper ce cas.

La voûte atteint la Kmite de stabilité quand la courbe des pressions KFEI passe en B ou en G, ou à la fois en ces deux points. D'après cela l'arc est d'autant plus

stable que les points I, K de la courbe des pressions sont respectivement plus rapprochés de A,D.

Cinquième cas. — Jja courbe des pressions DA coupe l'intrados et l'extrados en un nombre quelconque de points, de manière qu'elle traverse l'épaisseur entière^ de la voûte plus d'une fois (ce nombre de traversées étant né sairement impair). .

Fig. 4s Dans ce cas

l'équilibre de la voûte est impossible, ainsi qu'il est facile de le reconnaître d'après les propriétés de la courbe des pressions. La

voûte devra donc se briser en se partageant en plusieurs parties, dont les points de rotation, pour la courbe DGG,HH,A, ( fig. 46 ) , par exemple , [sont dans le voisinage de D , puis

entre G et G,, puis entre H et H,j enfin dans le voisinage de A.

Pour tracer la vraie courbe des pressions dans les différents cas considérés ci-dessus, suivant la position particulière de la courbe de* pressions DA, on a, d'après ce que nous avons vu, à construire une courba des pressions qui passse par deux points donnés, ou qui passe par un point et qui touche pig ^g

une courbe donnée, ou enfin qui touche deux courbes données.

La mise en œuvre aoalytique de ces conditions condmt à des calculs pénibles, et exige dans les deux derniers cas la résolutibn d'équations transcendantes. On devra donc dans la pratique se dispenser d'employer les méthodes analytiques rigoureuses, et se contenter d|ins tous les cas d'approximations graphiques :

les applications ne comportent d'ailleurs nullement des déterrainations d'une précision mathématique.

Nous donnerons dans le paragraphe 24 une méthode très-simple et commode pour atteindre ce but. Contentons-nous d'ajouter ici que les deux derniers des trois problèmes énoncés ci-dessus peuvent toujours dans la prçitique se ramener au premier, c'est-à-dire à la construction d'uqe courbe des pressions passant par deux points donnés. Cair, si la courbe DA coupe l'intrados vers le bas ou l'extrados vers le haut, la forme de cette courbe permet de reconnaître ï très-peu près le point où doit se faire le contact avec l'intrados ou l'extrados. Par ce point jet par le premier ci-dessus indiqué, on fait passer la courbe cherchée. Si elle ne satisfait pas* exactement aux conditions exigées, elle s'écartera cependant très^peu de la courbe cherchée, et elle indiquera encore plus exactement que celle-ci la position du point de contact. Si (^onc cela est nécessaire, par ces points plus exacts on construira une nouvelle courbe des pressions qui, pratiquen^ent, pourra être considérée comme la vraie. Cependant on se convaincra qi^e cette construction est superflue dans la plupart des applications, et que la courbe construite en premier lieu répond avec une exactitude suffisante aux conditions imposées.

5li STABILITÉ DES CONSTRUCTIONS.

§ 17. Cas particulier d'un arc supportant une snrcliarge exceptionnelle appliquée immédiatement sur le Joint.de culée.

En étudiant les cinq cas précédents on a admis que la verticale qui passe par le centre de gravité de la dpmi-voûte et de sa surcharge passe à droite du point le plus iMbA^ joint de la culée. II

peut arriver (Cependant, quoique raretndq^ que la verticale GP passe à gauche du point A et coupe le joint die culée AB, par exemple en H, par suite d'une trèsrfbrte surcharge dans le voisinage de la culée (fig. 47).

Si alors oq voulait construire une courbe des pressions passant par D et par A, la force horizontale nécessaire pour cela serait évidemment négative et ne produirait pas d'effort pour pousser les voussoirs à la clef, mais au contraire pour les écarter les uns des autres, ce qui est absurde. La moindre valeur qu'il ne sôit pas pjg ^, contradictoire d'admettre

pour est zéro. Mais si Ton fait Q= o, on obtient cette courbe des pressions dont il a été déjà souvent question, et qui est le li^ des intersect^s des poids croissants del|^oussoirs à partir de la clef avec les joints correspondants :

cette courbe devra, dans le cas actuel, passer nécessairement en H : ainsi elle est au moins en partie dans l'intérieur de la voûte. Si elle s'y trouve tout entière, l'arc sera en équilibre sans qu'il se développe aucune poussée. Mais s'il n'en est pas ainsi et que la courbe sorte de la voûte entre A et C, ce ne peut être la vraie courbe des pressions, et il y a nécessairement une poussée horizontale positive. Pour trouver cette poussée et la courbe correspoi^ dantc, toujours soumise à la condition du minimum de Q, supposons d'abord que le point B, et par suite aussi le point H, soit plus bas fpio (i. On voit alors immédiatement que l'extrémité de la courbe

cherchée ne sera jamais entre H et A,:piirce qu7Jl;|9ii résulterait nécessairement une valeur négative de Q : l'extrémité de là courbe sera toujours entre H et B. Pour que Q soit un minimum, le point de départ dans le joint CD devra l^tre aussi haut que possible. Il faudra donc essayer d'abord le point D, ..

Les limites extrêmes des points de départ et d'arrivée de la courbe des pressions cherchée sont, respectivement, D et H. Gomme la courbe qui passe par ces points, et qui correspond à Q=o, ne coupe que l'intrados, le cas actuel se ramène au n° 2 du paragraphe précédent, en substituant le point H au point A le plus bas du joint de culée. En conservant le point de départ D et augmentant progressivement Q, ce qui élève la courbe des pressions, on trouve pour caractère de la vraie courbe, comme au cas n" 2, que cette courbe doit passer par le point D et toucher l'intrados, comme DEI.

Si cette dernière courbe demeure tout entière dans l'épaisseur de la voûte, c'est la vraie courbe cherchée : E est le joint dé rupture. Si elle coupe l'extrados entre D^ E, U vraie courbe sera cdle qi^ touche en haut l'extrados au-dessous de D, et en bas l'intrados, pourvu que cette nouvelle courbe ne sorte pas de la voûte.

Sîl la courbe DEI coupe l'extrados entre E et I, comme, par exemple, DEI', l'équilibre est nécessairement impossible, si en même temps tous les points consécutifs de la courbe, à partir du point B, vont en descendant, et alors la voûte se rompra comme le fait la voûte instable du deuxième cas.

Mais dès que la courbe DEI' a un point à tangente horizontale entre D et T, aux deux côtés duqueik courbe se relève, on ne peut plus conclure à l'impossibilité de l'éiyidS^. Il faudra alors s'adresser à la seconde classe des courbes des pressions pouvant répondre au minimum de ' cette classe de courbes touchera, dans le voisinage de la clef, d'abord l'intradog en E", puis l'extrados en F" (ce dernier contact pouvant être remplacé par une rencontre en B) ; mais le point W (ou B) sera plus haut que E". Si cette dernière courbe est possible, elle est la vraie courbe des pressions, à laquelle appartiennent deux points de rupture E", F". Mais si cette courbe elle-même est impossible, toutes les courbes passant par un point plus bas que D et touchant l'intrados couperont comme elle les reins au-dessua de B : ainsi l'arc ne peut être en équilibre, il se rompra commQ l'indique la courbe DEI'.

Dans ce que nous venons de dire sur l'équilibre d'une demi-voûte

Fig. 48.

58 STAiijUTj!; DES GONSTRUGTIOiNS.

pour laquelle la^jSjEilÉme^ti^ passant par le centre de gravité renioontre te joint de culée, nous |^vons supposé que le point le {dus haut B de ce joint est plus bas que le point inférieur du joint à la clef. Si. au contraire, B est plus haut que G, on voit de suite qu'une courbe àes pressions DEI passant par D et touchant l'intrados (eUe cqimera toujours d'ailleurs le joint de culée à gauche de H) répond aîSSlSlaiiuri de et qu'elle est la véritable, si elle est possible, c'est-à-dire si elle ne sort de la voûte en aucun point.

Si cette courbe coupe Textrados entre les points D et E, il faudra rechercher si une courbe deg pressions qui toucherait en haut l'extrados au-dessous de D et en bas l'intrados est possible, auquel cas ce serait la courbe cherchée.j si cette courbe coup trados entre E et I, coïifme le fait par exemp^gfPEr, alors la seconde classe des courbes des pressions répondant à un minimum de Q donnera à coup sûr une courbe possible, ayant un point commun avec l'intrados près du sommet, et un autra;point commun, plus élevé, avec l'extrados. Cela résulte d'un théorème {;énéral établi plus haut, d'après lequel une demi-voûte dans laquelïéiÇ est plus haut que C est toujours en équilibre. D'après cela il y auE% nécessairement dans la vo^4^;t|pnt il s'agit une courbe des pressions possible correspondant à tinmnimum de Q. On voit aussi que, B étant plus haut que G, une courbe de la première classe considérée, comme BEI', aura toujours, si elle coupe l'extrados, un point à tangente horizontale aux deux côtés duquel la courbe se relève ; de sorte qu'à côté de cette courbe impossible il peut très-bien en exister une autre de la seconâ(|B classe, telle que KE"F'F, coupant la première en un nombre pair de points à la même hauteur.

Si, non-seulement le point B, mais aussi le point H est plus haut que C, il est possible, comme on le voit sans peine, que les points extrêmes I de certaines courbes des pressions qu'on peut construire tombent à di*oite de H, ou entre H et A, mais non pas plus basque le point où l'horizontale passant par C coupe le joint de culée AB.

LlVRl H. — THEORIE DfiS^OtCTES. 59

On voit qu'une voûte horizontale ou ver^^^^ans laquelle cette condition : B au-dessus de G, serait rem^jl^e pourrait jamais, sous une surcharge quelconque, se rorapré*par rotation des voussoirs autour de leur^rêtes, pourvu qu'elle fût appuyée contre des culées suffigammentil^istantes.

§ 18. Inlb^to^de la c^pressibilité des voussoir^; ^^Sm^ les courbes des pressions

Quand on veut appliquer les considérations préci'^dentes sur Vé libre des voûtes à des cas pratiques, il faut tenir compte d'une priété qu'on a laissée de côté ci-dessus : c'est quo la matière ne" saurait, par sa nature, être incOlaqpressible : d'où il suit que lo. des pressions ne peut janiafs passer effectivement par un^ ) voussoir, et ainsi ne peut rencontrer le contour de la voûte ; aiitt points oîi la théorie précédente indique un contact avec l'une des courbes-contours, |awurbe des pressions en demeurera réellement à une distance fîî^^qui dépend du degré de compressibilité de la matière. I^H"^ *

n n'en est pas moins vrâfque la prdilion la plus forte aura lieu dans le voisinage des arêtes, et qu'on émet une hypothèse inadmissible quand on considère une courbe vraie des pressions comme pouvant passer parles milieux des joints. Dans une voûte à voussoirs incompressibles, de forme quelconque, la courbe des pressions ne peut jamais passer au milieu de l'épaisJîeur ; dans une voûte à voussoirs compressibles les mêmes propriétés subsistent à l'état d'approximation.

Ainsi la pression mutuelle des voussoirs ne pourra jamais se répartir uniformément sur la surface de chaque joint, car cela supposerait que la courbe des pressions passe par les milieux de tous les joints. Quand on détermine l'épaisseur d'une voûte, comme on lé fait souvent, par cette condition que la pression sur chaque jointe supposée répartie uniformément sur la surface du joint, ne donne pas un résultat excessif par unité de surface", on se pose une condition trompeuse. C'est ce qui explique pourquoi dans beaucoup dé voûtes les voussoirs éclatent en certains points, bien que la {Kression sur le joint correspondant, considérée comme uniforméme^, repartie, soit bien inférieure à celle que la même matière peut porter

60 ^Sn^W^t DES œNSTHUGJrfQNS.

avec pleine sécunn0w8 d'autres circonstances où la répartition est uniforme, comme WSÏ^ye dans les murs élevés.

Si Ton projette un arc d'après cette condition qu'une courbe des pressions passant par les milieux des joints soit possible, une telle voûte possédera en réalité une stabilité trôs-ffrande, plus grande que celle que Ton obtiendrait si cette même OT^béi ]pouvait être la vraie courbe des pressions. On confit en eSelique la vraie courbe des pressions j qui s'approche, suivant les lois^^ljfluées ci-dessus, de Tintrados ou de Textrados aux points de rupture, se tient à une plus grande distance dos arêtes dont la rencontre déterminerait la rupture, que ne le fait la courbe des milieux des joints *.

Nous avons dit que la courbe des pressions dans une voûte formée de matériaux compreâsit)les |M|le dans Tintérieur de la voûte, là où elle aurait rencontre les rdÈÉws-Kîonto dans le cas de^oi;s- ^irs incompressibles. Ce dépl^ement entraîne le changemojrtKpfe extr(5nntés supérieure et inférieure de la courbe des pressiow^la poussf'^e change aussi et devient supérieure au minimum théorique que nous avons appris à découvrir.

On remarquera au j^este, aux ponts emtants, que pour les trèsbons matériaux, comme le Sjf;anit, le c^caire et le grès durs, la courbe des pressions atteint souvent à trés-peu près Taréte du joint de rupture ; ainsi il n'y a pas lieu d'introduire dans la pratique cette hypothèse que plusieurs auteurs, et Navîer en particulier, ont proposée : â'après laquelle la pression sur un point croîtrait uniformément d'une arête à l'autre, en sçprte que la résultante devrait être distante de l'arête la plus rapprochée d'un tiers de la longueur du

» Pour que la rupture d'une voûte stable ait lieu, il faut que, par des circonstances qui introduisent des forces nouvelles^ la courbe vraie des pressions fasse, de la position primitive au minimum de poussée, à la position au maxi- ' mnm. Or, dans ce mouvement, elle rencontrera la position intermédiaire qui répond à la courbe des milieux des joints. C'est en ce sens que Ton dit que la 40orbe vraie des pressions (celle au minimum de poussée) dans une voûte stable est plus éloignée de la courbe au maximum de poussée que ne Test la courbe moyenne. Si donc cette dernière est une courbe possible, à plus forte raison seront poniblM une infinité de courbes répondant à une poussée moindre ; et ainsi la toftfe est plus stable qu'elle ne le serait si la courbe du milieu des joints était la ^raie ooorbe des pressions.

Crtite courbe du milieu des joints ne pourrait être la vraie courbe des pressions que dans Ihypothêse d'une voûte infiniment mince.

joint, et que laJgHpp supporterait sur oetti^ arête upe charge double de celle qu'aiclMQp une répartition ùMfi)Éme ^ .;,

Dans ces circonstances, on comprend qu'il puisse être souvent utile de connaître le maximum de Q.

§ 19. Détermination de la courbe des pressions qui répond au maximum de la poussée.

Le maximum de la poussée répond, ainsi qu'on l'a vu précédemment,, à une courbe des pressions possible mais non eSectivenlent existante, qui a un point conunun avec Tintrados et un autre plus bas avec Textrados.

On peut déterminer cette courbe ^^^' **•

pour les, diverses formes et surcharges d'uneiliBiVvoûte en suivant la marche suivante, analogue à celle employée ci-dessus pour trouver la courbe des pressions répondant à un minimum deQ.

Le bras de levier de la poussée Q au sommet, par rapport à un point quelconque du joint de culée, est un minimum si cette force agit au point inférieur C du joint au sommet (fig. 49) ; le bras de levier dii' poids de la demi-voûte ABDC, surcharge comprise, sera un maxîp mum si Ton choisit^ point fixe au point supérieur B du joint de

* Cette hypothèse a pu convenir par sa simplicité aux premiers essais de calcul des voûtes ; mais il est bien évident qu'elle ne peut être exacte. D'abord le mode de répartition d'une pression sur un joint ne petit être indépendant de la nature du corps pressé ; puis il n'est pas douteux, d'après rexpérience de tous les jours» qu'une pression se répartit sur un joint, de part et d'autre du point d'application^ suivant une courbe indéfinie ayant pour asymptote la Hgpiî du joint, si le joint a une longueur indéfinie lui-même ; et dans le cas du joint fini, suivant une courbe de forme analogue à la précédente. Ces courbes sont probablement exponentielles. Leur détermination serait une belle conquête de la physique moléculaire : elle n'a pu être encore abordée ni par le calcul, ni par rexpérience, à notre coHnaissance du moins. Elle est pourtant la base nécessaire d'une théorie complète des voûtes. — En attendant, on est obligé de se contenter des indications fournies par le cas abstrait des voussoirs incompressibles» comme on le fait, dans cet ouvrage, en les complétant par l'examen des voûtes^ stables existantes.

62 ' STAlîILITÉ DES CONSTRUCTiQl

culée : de là il résulte qu'une courbe des pressipu^^ofa^^ par les points G et Bj si elle est d'ailleurs possible, c'est-à-dire si elle se trouve tout entière dans lépaisseur de la voûte, répondra au maximum de Q.

On a déjà remarqué que la verticale du centre de gravité général de la demi-voûte et de sa surcharge ne peut passer qu'à droite du point B ; il est indifférent, pour ce qui nous occupe, que cette verticale passe à droite du point A ou à gauche entre A et B, tandis que dans la recherche du minimum une discussion était nécessaire à cet égard. Mais on doit se rappeler ici que pour un arc trè&-aplati le point G pourrait être plus bais oue B, et qu'alors des horizontallp pourraient être tracées de la clef au joint de culée, d'où îl résulte que le maximum de Q serait infiniment grand^ et répondrait à un point d'application indéterminé entre les niveaux B et G.

Excluons ce cas : G est donc plus haut que B. Nous coastruirons d*âbord une courbe des pressions passant par ces deux pDl|jB||E^Il se présentera cinq cas, que nous énumérerons rapidement, attendu que la démonstration des particularités qui s'y présentent est facile à déduire des propriétés générales des courbes des pressions.

Premier caç. — La courbe GB est tout entière comprise entre l'intrados et l'extrados : c'est alors à cette courbe que répond le maximum de la poussée.

Deuxième cas. — La courbe GB coupe l'intrados, mais ne coupe pas l'extrados. Alors le maximum répond à une courbe passant par iéf point extrême B de la culée et qui touche l'intrados au-dessous du point G : pouiTU que cette courbe soit qynprise tout entière dans l'intérieur de la voûte. Si cette dernière courbe coupe l'exp. j^ trados au-dessous du point de contact

avec l'intrados, on cherchera le maximum comme au quatrième cas ciaprès. Si l'intersection de la courbe avec l'extrados a lieu au-dessus du point de contact avec l'intrados, l'équilibre de la voûte est impossible: un arc en équilibre ne présentera jamais cette disposition.

Troisième cas. — La courbe GB coupa l'extrados, et né coupe pas l'intrados. Alors le maximum de la poussée répond à une courbe des pressions qui passe par le point inférieur G de la clef et qui

touche rextrados'.pB , pourvu ^Ijiie cette courbe demeure partout ailleurs âai|%4'<j|il^is8éui^ ^ffi^

^ cettd:dpi|i|iâirë courbe ooupait llntmdos au-dessus dulfk^nt de cidiîKact avee Textrados, on chercheraitle maximum, commèf^^PB^atrième cas ci-après. Si elle coupait jpntrados au-dessous du point de contact avea Textrados, Véqu^Kfi serait impossible : cette disposition nd se rencontrera pas pdâpes voûtes en équilibre. . .

OuATBiÈjiE CAS. —La courbo CB coupe l'intrados et TeXtrados, sans cependant traverser plus d'une foie répaisseur entière de la voûte- Dans ce caS) comme dans les disposidons particulières des deuxième et troisième cas qui se ramènent à celui-ci, le maximum de appartient à une courbe qui touche Tintrados en Saut, l'extrados en bas.

Si^cptte dernière courbe coupait l'extrados au-d^sMuridç 90n point avec l'intrados, ou l'intrados au-dessous d^iAtaGi point dés avec l'extrados, l'équilibre serait impossibla^jUfi^ voûte en î ne présentera donc jamais cette dîspoqiiliifl||i>v!^.. FiÈME CAS. '^ La courbe CB coupe rintfâ^||^^ de

manière à traverser l'épaisseur entière de la voûté plus d'une fois (trois fois au V^ins, par conséquent, puisque ûe nombre doit être impair).

Ce cas ne peut se présenter pour un arc susceptible d'équilibre : là où on le rencontre, la voûte se rompra certainement.

liemarquons que cette classification des cas qui peuvent se pcésenter dans la recherche du maximum de Q ne correspond pas nécessairement aux cas que nous avons distingués pour la recherche du minimum ; chaque cas du minimum peut même s'allier à chacun des cas du maximum.

De la compressibilité qui appartient à tous les corps de la nature il résulte que la poussée véritable sera toujours plus grande que le minimum déterminé plus haut ; mais il en résulte aussi que le maximum que nous venons de définir ne sera jamais atteint en réalité. La véritable valeur de la poussée Q sera comprise ainsi entre le minimum et le maximum, et pourrait être déterminée avec la courbe des pressions correspondante, si l'élasticité de la voûte était bien connue. ^«

64 STA£^I1«ia)E9«QlfâKll

§ 20. ^tÊi^ de0 pressionihAOrtt laifKMMdbi

"^ de iép Voûte, qi^el qii6 fût le degré ^ des ▼cmesoirs. J|

Ift-tetopressibilité ou éla6tn|L^és matériaux n'est pas connuo lî les actions qtuj^pâlsvuR^ent même à\mc compressibine pourraient Atre^que très-péniblernent déternitnéeiî dans un système complexe formé de voussoirs : il } a donc lieu dn se demander s'il n'existe pas une courbe ries pressions telle que ^ si elle est pog^ble, lu nj^ture de la voûte par rotation ne soit pas à craindre^llQiBl^e grande ou petite que soit la compresslbilité des mpatériaux employés»

Cette question, importante pour l'établissement pii^^Supie^des T^ûtes^ peu^ ^re résolue de la manière suivante : Par sdâyl^^ compressiïniâté des matériaux, la courbe des pressions o(mHj i |Ëdânt au nilti|bun de^.li'a nulle part un point commun aveQ^IK trados ou TeSnidos ; là oîi, d'après les recherches précédfii^PPf l'intersection devrait avoir lieu, la courbe s'éloigne plus ou moins du contour de la voûte ; mais elle n'en demeure^f^ moins aussi rapprochée que le permet la compressibilité des matériaux. Il suit de là que, même pour les matériaux les plus faibles, la courbe des pressions en ces points ne dépassera pas le milieu du joint ^

Qu'on trace donc la courbe passant par les milieux des joints, et que l'on marque sur cette courbe les points d'intersection des joints auxquels correspondent, d'après les recherches antérieures, les points de rencontre ou de contact de la courbe au mininaum de Q avec les courbes-contours ; qu'on fasse passer par les points ainsi détermines sur la courbe moyenne une courbe des pressions rencontrant ou touchant la courbe moyenne en ces points * : si cette

* Cas limite ou la matière des voussoirs n'aurait pas de cohésion du tout, en sorte que la transmission des pressions se fit comme dans les fluides ; exemples : sable, poussière^ etc. ,

^ Une courbe des pressions est déterminée par deux points; on ne peut donc pas ^jouter à cette 4ovÙe condition celle du contact avec une courbe donnée. Mais ici la courbe Jhltiée étant la courbe moyenne, il est clair que l'on pourra obtenir contact approximatif, et contact rigoureux si Ton fait varier un peu le point de reAcontre.

courbe demeure en tout son cours dans Tépaîsseur de la voûte, on voit facilement partes prc^riétés générales de la courbe des pressions que l'équilibre de la voûte est assuré sans conditions, puisque la vraie courbe des pressions prendra toujours une forme donnant à Tare une stabilité plus grande que ne l'eût fait la courbe que nous vemiafi de tracer en dernier lieu.

Remm^ons que si Ton se proposait de construire une courbe de^teesaâpns rencàatrant la courbe moyenne en un point déterminé , etla^udiant ensuite eu un point indéterminé, ce point de contact pouirâît^ trouver au delà de l'extrémité de la courbe tnoyenne, et alc^^j^ 4|EiJixî6me point commun à choisir entre la courije des prtôiions cherchée et la courbe moyenne ne serait pas un point de contact^ o^ë un point de rencontre au joint extrême.

Solt^j^- exemple, en nous plaçant dans le deuxième cas du minimum de Q, cea la courbe moyenne (fig. 81) ; on aura à construire une courbe des pressions cei pas- p.g ^^

sant par le point le plus haut c de lapremîère opuaft)e, la touchant extérieurement en e et restant tout entière dans l'intérieur de la voûte.

La vraie courbe des pressions Kl, qui se rapproche, plus que cei^ d'une part du point D au ^inmet, et de l'autre du point A à la culée, enfin de l'intrados au point de rupture e, donnera nécessairement à l'arc une plus grande stabilité. S'il était impossible qu'une courbe des

pressions passant par c touchât la courbe moyenne en un point inférieur quelconque, mais si une courbe des pressions, passant par c et a, demeurait tout entière dans l'intérieur de la voûte, dans ce cas on reconnaîtrait encore facilement que la vraie courbe des pressions ne peut donner qu'une stabilité plus grande encore.

On pourra, si l'on est maître de la forme de la voûte, la choisir telle que la courbe moyenne cea soit dans toute son étendue une courbe des pressions.

§ 21. Procédé pratique pour l'établissement d'une voûte stable.

On établira une voûte de stabilité certaine, quel que soit le degré d'élasticité des matériaux, en s'y prenant de la manière suivante :

On trace d'abord, avec l'ouverture et la hauteur sous clef données d'avance, un profil d« voûte analogue à la forme générale des voûtes ordinaires, avec une épaisseur à la clef donnée aussi par analogie. Cela fait, on cherche pour cette voûte la vraie courbe des pressions dans l'hypothèse de l'incompressibilité des voussoirs. Cette ligne, qu'on détermine par les méthodes connues, rencontre en plusieurs points les courbes-contours. On cherche alors si, par suite de la compressibilité des matériaux, la courbe des pressions vraie ne peut que se rapprocher de la courbe moyenne, ou si elle a en certaines parties tendance à se rapprocher des arêtes.

Dans le premier cas, lajoûte est parfaitement stable. C'est ce qui arrive lorsque la coilrfilé des pressions ci-dessus décrite passe (flg. 36) par lé point le j^uli haut D au sommet et le point le plus bas A à la culée, Gdia $^; pfeduira généralement pour les arcs de cercle aplatis.

Dans l'autre caaon devra, présumer que pour des matériaux assez faibles la coMrbe des pressions s'approcherait assez des arêtes aux points indiqués pour que la stabilité fût compromise. Il pourrait même^se faire que l'arête fût dépassée et l'équilibre de l'arc tout à fait détruit. Cela arrivera par exemple si la première courbe des pressions tracée DEI (fîg. 37) touche l'extrados en D, l'intrados en E : alors en réalité la courbe des pressions tend à s'approcher de l'arête extérieure B aux environs du point I.

On atteint dans ce cas la plus grande sécurité qu'on puisse obtenir, en rendant possible une courbe des pressions passant pïir le milieu du joint à la fois à la clef CD, au joint de rupture E et à la culée AB.

Si cela n'a pas lieu déjà, on y arrive en conservant l'intrados et l'épaisseur à la clef et augmentant l'épaisseur à la culée, ou en conservant les épaisseurs extrêmes et changeant la forme de l'arc par un abaissement vers E, ou en conservant la forme et donnant une épaisseur uniforme qu'on augmente jusqu'au degré nécessaire, ou enfin en combinant ces diverses modifications.

On obtient par ce procédé une voûte qui possède un degré de stabilité eisagéré pour beaucoup de cas pratiques. Ce procédé conduit souvent d'ailleurs à des épaisseurs considérables ou à un aplatissement vers le joint de rupture plus prononcé qu'il ne convient.

En fait, la condition de faire passer une courbe des pressions possible par les milieux des trois joints indiqués ne paraît pas répondre à une nécessité pratiqué : on n'emploie jamais en effet pour voussoirs des matériaux assez compressibles pour ramener vers le milieu d'un joint la courbe qui, théoriquement, passe par l'arête de ce joint. On reconnaît même, à l'inspection de plusieurs voûtes existantes, qu'aux points faibles les voussoirs se pressent sur Tune des courbes-contours par leurs arêtes, les joints s'ouvrant sensiblement de l'autre côté : ce qui prouve que pour la plupart des pierres de construction la courbé des pressions peut ne s'écarter que trèspeu de l'arête de la pierre.

D'après cela, oa pourra se contenter dans l'application, comme garantie suffisante, de permettre à la courbe des pressions un recul jusqu'au quart du joint à partir de l'arête ; on enlèvera deux zones, intérieure et extérieure, ayant chacune un quart de l'épaisseur à chaqu^e joint, et on appliquera à la partie restante les règles données dans le cas de matériaux incompressibles, en s'assurant que l'équilibre a lieu sous les charges données.

Si la voûte donnée ne réalisait pas ces conditions, on la modifierait aisément. par les altérations indiquées plus haut, et pour cela on, opérerait comme il suit:

Admettons que la vraie courbe des pressions pour le cas de matériaux incompressibles, et par suite le point de rupture EF(fig..52), soient connus. On veut assurer la stabilité compromise de l'arc ABCD par exemple , en augmentant simplement l'épaisseur de l'arc dans la partie inférieure. On construit la courbe des pressions KLI qui passe par les deux points K du sommet et L du joint de 'rupture, tels que

DK=1dC et EL=iEF. On fait ensuite IG = JlA, en sorte que

Fig. 58.

08 STABILJTÉ DES CONSTRUCTIONS.

GI = |GA. L'arc AGDC présentera une stabilité suffisante pour la

pratique. Oh peut du reste reçpiBmeaber l'opération pour ce noàviil arc^'ét ooniger l'extrados en conséquÉio^ nteis cette nouvelle opératidii li^iipportera ordinairemrat qu\in6 modification insignifiante.

Si Ton veut conserver les épaifk seurs et changer la forme ou la courbure de l'arc, onpren^sa daps la voi^te les deux pointg K et I lespectivenièkit plaeés à Ui éHi et. à la culée (%. 83), et tâla^^ii®

DK = ^ DC, BI = jBA, et on construira la courbe des pressions KU

passant par K, I. On prend ensuite LE, = |EF, LF» = j EF. Alors

on a Tare ABF, DCE, A, qu'on peut au besoin corriger en répétant

l'opération, et qui possède la stabilité demandée.

Si enfin dans un arc d'épais^ seur uniforme on veut au^enter progressivement l'épaisseur sans changer la forme de l'arc, on construira dans là voûte primitive ABFDGËA (fig. 54), la cour^ 4bs pressions passant par les poititeiC et I ci-dessus définis. Cette courbe sera tout entière dans l'épaisseur de l'arc, comme KLI, ou bien elle sortira comme KLM dans le voisinage du joint de rupture. Soit maintenant :

a lepaisseur : AB=CD=fl ;

et b la distance EL (ou EJfi).

On aura un arc de la stabilité requise en augmentant l'épaisseur d'un3 quantité BB,=DD, = 5rt — 2A (dans le cas KLI) ou de 2«H-2* (dans le cas KMl). Cette modification, à laquelle on peut donner plus d'exactitude en répétant la construction, est fondée sur

Fig. 54.

cette considération que si Ton augmente uniformément la voûte et qu'on trace yijftB^ courbe des pressions passant aux points situés au quaM des joiifiiB resjj^eclSfs M clef et de culée, on a une nouvelle courbe sen^bdementpaninâè à Tancienne KLI (ou KMI) \

Quand l'équilibre de Tare que Ton considère ne se rattachera pas au prMfiier ou au dfMmème, mais au troisième ou au quatrième cas dajhragraphe 16, ce qui du reste arrivera rarement dans la pratiopd et presque jamais pour des ponts, on verra facilement, en pt^Mtùfpmxr guidé ce qui précède, ce que Ton doit faire pour assurer îa atabililé.

Dans un grand nombre de cas d'application, la forme de l'intrados d'un pont est déterminée à l'avance par des considérations irchitectoniques, ou par des considérations d'écoulement des eaux. VBi. avnve cependant que cette forme soit tout à fait indifférente, on fera jbien de faire en sorte qu'une courbe des pressions passant par les m^eux des joints soit possible, attendu qu'on aura ainsi une voûte de stabilité aussi gran!i3e^ aussi uniforme que possible et une répartition des pressions sur les joints aussi uniforme que possible également. La courbe cherchée s'obtiendra par une, ou au plus deux approximations successives, en partant d'une courbe arbitrairement choidb, présumée jouir de la propriété cherchée. Une telle courIi#ttnoentrera la culée obliquement, et non verticalement ; elle ressçpi0É beaucoup à une parabole dont je sommet serait à la clef.

En^ exécution on pourra tracer cette courbe approximativement, comme on fait pour les anses de panier elliptiques,, au moyen de plusieurs arcs de cercles.

* Soient, en admettant ce parallélisme, it Taugmentation d'épaisseur de la voûte, y la distance de Taneienne à la nouvelle courbe des pressions. On doit avoir, aux joints de clef et de culée,

(la-y-hx)=f(a-ha:) et au joint de rupture

d'où

ap=iia— 26(cas KLI). Pour KMI, même calcul.

STABILITÉ DES GONSTHUCIIONS.

§ 22. Détermination de l'épaisseur de^^ VOftiMÉi au. point de Vue de la résistancéivflfif ii^Mri(jEtu3E»

Une voûte satisfaisant aux conditions préeédMtes, et étalée sur des culées invariables, ne peut se rompre par rotation des vousiDirs autour de certaines arêtes ; mais nous n'avons pas exclu ju^qu'à^résent la possibilité d'une rupture par écrasement des vous^^its^fWas un^ression trop forte, ou par glissement des voussoirs sur len feces de certains joints.

Pour se garantir du danger d'écrasement sous une trop grande pression, il faut donner en tous les points de l'arc ui^e certaine épaisseur aux voussoirs, un certain écartement aux courbes-contour» d*

la voûte : comn^e la pression n'est p|^ également répartie sur toute l'étendue du joint, et qu'on manque de connaissances sur la compressibilité <it96s voussoirs, récartemïM^ dont il s'agit ne «e âét^mine que par la mesure des voûtes analogues, antérieurement construites et reconnues durables.

La détermination de répaisseur des voûtes au point de vue de la résistance des matériaux peut être abrégée, pour les formes de pont habituelles, par des formules qui résultent des considérations suivantes :

Dans une voûte ABDC, chargée d'une matière de même densité limitée à l'horizontale FH, soient (fig. S5) : a la demi-ouverture AE ; b la flèche EC ; c l'épaisseur à la clef CD ; d l'épaisseur à la culée AB ;

h la hauteur DFde la masse homogène formant charge au-dessus de la clef. (Si la matière de la charge n'a pas effectivement le même

poids spécifique que les voussoirs, on supposera la ligne FH plus haute ou plus basse suivant les cas, et on continuera avec Thypothèse d'un poids spécifique égal) ;

/3 l'angle BKF du joint de culée avec la verticale ;

3=^d sin j3 la projection horizontale GH du joint de culée AB ;

Q la poussée horizontale au sommet ;

^ la poussée moyenne par unité superficielle du joint à la clef;

P le piids de la voûte avec sa surcharge, ACFHB ; M le moment de P par rapport au point A ; R" la réaction de la culée sur AB ; S la pression normale contre le joint de culée ;

-j la pression normale moyenne sur chaque unité superficielle

du joint de culée. *

On peut représenter les forces P, Q, R, S par des surfaces, en les considérant comme les poids de prismes de la matière des voussoirs, ayant une hauteur égale à llians le sens perpendiculaire à la

figure ABFHC. Les forces moyennes -|, | seront alors représentées

par des longueurs.

Pour établir la formule approchée que nous avons en vue, nous indiquerons deux cas :

Premier cas. — L'angle (3 est < ou=60^ Nous admettons que la vraie courbe des pressions passe par le point supérieur D de la clef et le point inférieur A du joint de culée, de sorte que la force horizontale Q agissant en D doit être en équilibre autour du point A avec la i^MPce verticale P agissant au centre de gravité de l'aire ABHFC.

Assimilons en outre AIC à un segment parabolique, en sorte que

sa surface égale ^, et la distance de son centre de gravité au point

A égale j. Enfin considérons le trapèze ABHG comme un rectangle

de hauteur AG et de largeur HG= 5. On a ainsi, en prenant le point A pour centre de rotation :

Moments.

Surfaces.

Bras de levier.