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On veut que la coufbe moyenne soit en même temps une courbe des pressions possible. Menons donc une courbe des pressions par le milieu du joint supérieur et le milieu du neuvième joint. On a :

y=^0,47; y = 2,29; A=6,7S; a=g—p=2,29 — 1,69 = 0,60. c=A— ^=6,75 — 3,92 = 2,83 ; ô=A—y=6,78— 0,47=6,28. D'où

aP -h çf 0.60 X 32,67 4-2,83 x 24,63

La courbe construite d'après ces éléments coïncide presque dans le haut avec la courbe moyenne tracée tout d'abord, dont elle ne s'écarte ensidte que très-peu. En prenant cette nouvelle courbe pour courbe moyenne on aura très-sensiblement, sans correction nouvelle, 1^ profil type cherché : dans le cas actuel cette nouvelle courbe moyenne est une ellipse ayant pour demi-axes respectivement 4°, 40 3t 2".Sf •

§ 36. a. Stabilité de la oulée d'une voûte chargée verticalement et horizontalement.

Si l'on continue le tracé de la courbe des pressions à travers la îulée jusqu'à la base de celle-ci, on connaîtra le degré de stabilité le cette partie de l'ouvrage.

Si Ton voulait appliquer des formules approchées à la détermi- • nation des épaisseurs et de la poussée Q, on pourrait calculer comme au numéro 22, par les formules qui s*y trouvent, le poids P , et son moment M par rapport à la naissance de l'arc.

En ce qui concerne la poussée horizontale des terres, T, supposons l'angle de frottement égal à 30 degrés.

Tang*('--|)=ljang«30^:;=î,

On aura, en conservant la notation des paragraphe» 22 et 23, pour la poussée exercée sur la voûte, depuis sa naissance jusqu'au sommet, sur la hauteur /> 4- c * :

et pour son moment par rapport aux naissances :

(2) ^=^-^{b^cy{b-h€'hU).

t Au moyen de ces valeurs de M et N, l'équation (2) du paragraphe 33 donnera la poussée

La pression horizontale totale sur l's^rc et sa culéci, qui s 'ejcercp siïr la hauteur g — A, est * : ,

Son moment, par rapport h V^vétQ pqstériem^ qu extérieure de la base de la culée

Si maintenant on veut avoir un cqef^cient r\ de. stabilité, pu

* Comparez, ci -après, paragraphe 09.

* g est ici la hauteur totale de l'arc et de sa surcharge et de la culée comme au paragraphe 23, et non une abscisse horizontale comme aux paragraphes 24 à 3t\

yfl, poi leots s

:ieTi :

fg^i

(fe* posera, pour déterminer Tépaisseur e de la culée, Téquation des ak ' moments suivante :

" nf/H.Ô + c)Q=l(e-d)'(y-/)+|cV+^P + M + N.5. ^ ou bien :

d'où: '

Dans le cas de culées très-élevées, si Ton craint que la poussée extérieure des terres n'entraîne la chute de la voûte par une rotation autour de Tarête intérieure de la base de la culée, on peut se rendre Compte comme il suit de la stabilité par des formules approchées, si l'on n'aime mieux tracer graphiquemment la courbe des pressions jusqu'à cette base.

La force qui tend à te destruction du système est dans ce cas la poussée T,, dont le moment est N,, aussi bien par rapport à l'arête intérieure qu'à l'arête extérieure de la base de la culée. Si l'on ex- . prime qu'il faut une force n fois plus grande pour amener le renversement en dedans, on a l'équation des moments :

(8) M + «N, = l(e'-a«)(i7-/)+îeV+(/+6 + c)Q, ou

d où l'on tire l'épaisseur de la culée :

(9) ^=|/|[M + nN,-(/+ô + c)Q+^5*(y-/)] .

§ 36. b. Tunnel en terrain mouvant.

Le terrain qui enveloppe un tunnel peut n'être pas fluide, c'està-dire ne pas liransmettre les pressions a la manière des fluides qui donnent lieu à des-sous-pressions de bas en haut. Si le terrain n'est

pas fluide, tout le massif GADBH (fig. 64), placé au-dessous de la limite formée par le talus naturel des terres des deux côtés de Touvrage, n'aura à résister qu'aux pressions verticales du massif supérieur. Dès lors le radier ADB du tunnel peut étFe considéré.comme invariable, et il suffira de déterminer la courbe des pressions AEGFB d'après les règles précédentes.

Fig. 64. Dans l'application de ces règles il

faudra toutefois remarquer que les pressions verticales et horizontales exercées sur la voûte ne sont pas, dans tous les cas, proportionnelles à l'enfoncement CL du tunnel au-dessous du sol naturel : cela n'a lieu que dans le cas où la masse AGIKHB tout entière a été déposée sur la voûte après sa construction, de manière à ne présenter aucune cohésion. C'est ce ce qui a lieu pour les remblais de chemins de fer déposés sur une voûte.

Lorsque, au contraire, le massif AIKB existe déjà avant la construction du tunnel, lequel vient ainsi le percer, ce massif n'entre tout entier dans la valeur de la pression que si sa hauteur est faible ; mais pour les grandes hauteurs la plus grande partie de la pression de la colonne verticale CL est supportée par le frottement des parois latérales AM et BN qui flanquent à droite et à gauche le massif superposé au tunnel.

Je crois que dans les terrains de consistance moyenne la pression sur un tunnel de chemin de fer à deux voies ne dépasse jamais celle qui répondrait à une hauteur de 10 à 13 mètres. Pour un profil plus étroit la limite serait moins élevée, plus forte, au contraire, pour un profil plus large.

L'évaluation de la charge effective que supportera un tunnel est essentielle tant pour la détermination de l'intrados de la voûte que pour le calcul de son épaisseur. Quand les remblais sont déposés sur la voûte, il faut, comme .on vient de le dire, faire entrer en ligne de compte toute la hauteur du massif : il n'y a d'exception que pour les petites voûtes ou les aqueducs dallés sous hauts remblais, pour lesquels on peut, sans danger, réduire un peu la hauteur : les premières charges que l'ouvrage a à supporter produisent sur lui un

petit affaissement, d'où il suit que la charge du massif superposé se répartit partiellement- sur les côtés, comme dans le cas du tunnel. Mais le coefficient de réduction à appliquer ne peut se calculer théoriquement ; il faut s'en tenir aux expériences pratiques.

Tout ce qui précède se rapporte au cas où le terrain est un bon terrain, non fluide ni mouvant. S'il ii'en est pf^a de même, on doit apporter d'autant moins de réduction à la hauteur de pression effective que la consistance du sol se rapproche davantage de l'état fluide. En outre, on doit alors remarquer qu'il existera, ou du moins qu'on devra admettre des sous-pressions exercées sur le radier ADB(fig. 65), ces sous-pressions ayant une intensité en rapport avec le degré de fluidité du sol ; d'où résulte ce fait important qu'aucun point des culées ne peut être considéré conune invariable. On ne p^ut donc plus sa contenter de tracer la courbe des pressions du sommet C au peint A : on devra la continuer au travers du radier et la déterminer d'après la condition que les ^"" deux pressions horizontales Q,, Q, aux clefs supérieure et inférieure soient les composantes delà résultante horizontale Q dçs pressions qu'exerce le terrain sur cette moitié du tunnel.

Le problème est ainsi déterminé si la masse enveloppante est parfaiten^ei^t fluide : dans ce cas Q est connu et les deux composantes^ Oi> Qa ne peuvent varier qu'entre d'étroites limites.

Mais si le massif n'a qu'une fluidité imparfaite, Q n'a plus une valeur déterminée; on peut seulement lui assigner des limites. Dans ce cas les limites imposées aux variations de Q, et Q. s'écartent naturellement à raison de l'élpignement de limites données à Q. les composantes Q,, Q^ demeurent d'ailleurs assujetties au principe de la moindre résistance, et doivent ainsi être le plus petitesi possible.

On voit que, dans le cas de Quidité parfaite du milieu, la poussée Q, n'est pas déterminée par le profil de la voûte, mais par la poussée hydrostatique extérieure, dont l'influence est alors dominante. L'influence du profil augmente à mesure que la fluidité diminue, et entre seule en considération quand la cohésion du sol devient suffisante : alors c'est la forme adoptée qui détermine Q, et, par suite,

142 STABILITÉ DES œNSTllLICTKiNS.

la poussée extérieure qui ne joue plus que le rôle de résistance passive du milieu ambiant.