LIVRE U

On obtient ainsi la valeur minimum de Q exigée par Téquilibre e glissement. Cette \aleur est, comme nous Tavons vu, supérieure ti minimum qui ré- fi«. 68.

ond à réquilibre de ro- 3ition. Nous avons vu u'à ce dernier minîaum répondait une curbe des pressions inique. A upe valeur ilus grande de Q va corespondre un nombre nfini decourbesdepresion qui pourront tenir intièrement entre les ourbes-contours, et qui, satisfaisant toutes avec la moindre valeur K)ssible de Q aux conditions d'équilibre tant de rotation que de glissement, peuvent également prétendre à la réalité.

Soit, par exemple, DEI (fig. 69) la courbe des pressions répondant LU minimum de Q pour la rotation ; supposons que le minimum de Q )our le glissement, que nous désignerons par Q,, soit tellement frand que Ton ne puisse faire passer aucune courbe des pressions )ossible par le point supérieur D de la clef en adoptant la poussée ), ; il y aura alors une courbe ng. 69.

les pressions construite avec Q,, elle que D,F,I, , qui passera par m point D intermédiaire sur le oint supérieur et qui touchera 'extrados en F, ou le rencontrera m B ; il y en aura une autre,* ellequeDjEJa, pftlant d'un point mcore plus bas D», qui touchera 'intrados en E» ou le coupera m A. ( D pourrait arriver d'aîleurs que D, coïncidât avec D, ou \ avec C, la courbe des pressions correspondante ne touchant, ni 16 coupant la courbe-contour, mais demeurant dans l'intérieur de a voûte.)

Entre ces deux courbes, on en peut concevoir une infinité d'autres, mîtes possibles, construites avec Oi et partant des points situés

424 STABIUTE DES CONSTROCTIONS.

entre D, et D,. On voit donc que la question de l'équilibre est indéterminée dans ces conditions. Cette indétermination toutefois ne porte que sur le point d'application de la poussée ou le point de départ de la courbe des pressions et non sur la grandeur de cette poussée, laquelle est parbitement déterminée.

Cette indétermination est analogue à celle qui se produit dans le cas simple d'un corps unique en forme de coin, reposant sur deux plans inclinés. .

Si la culée est tellement construite que ses parties puissent tourner ou se déplacer, de sorte qu'elle doive être considérée comme la continuation de la voûte proprement dite, et si l'on donne à cette culée l'épaisseur répondant à un minimum de stabilité, la courbe inférieure D,E, I, sera la seule courbe des pressions possible.

§ 38. Mode de rupture quand l'équilibre n'est pas assuré & la fois contre la rotation et contre le glissement.

On a vu dans le paragraphe précédent que l'arc est instable et se renverse con^e la figure 70, quand l'équilibre de glissement exige Fig. 70. une poussée moindre

que le minimum exigé poiur l'équilibre de rotation.

Il se présente un autre cas d'instabilité quand le minimum Q,, résultant %es considérations du précédent paragraphe, nécessaire pour l'équilibre de glissement, se trouve plus grand que le maximum antérieurement trouvé fies poussées qui peuvent se produire dans la voûte. La voûte se brisera alors, comme figure 7* , parle glissement relatif de tous les voussoirs pour lesquels, en traçant la courbe au maximum de Q, on trouverait l'angle INH plus grand que l'angle du frottement. Cette rupture est accompagnée d'un mouve-

e bas en haut du sommet de la voûte, qui se meut ainsi tout

lièce dans chaque demi-voûte.

leux cas d'in- ptg. ti.

5 par "glisse-

in dedans et

lors peuvent

lenter simul-

nt (fig. 72 ou

Fig. 72.

it aussi arnns certaines, tances qu'un détruise par rs .^, glisseilteÀatifs en et en dehors :

aura lieu si INH a plu- Qaximums en [its différents )ûte.

it arriver enîl y ait à la stabilité par au glisse- ; par rapport tation. Dans dans la rupla voûte, les ont le double nent de glissur les joints tation autour

ines arêtes: ce mouvement composé est facile à comprendre détails dans lesquels nous sommes entrés antérieurement.

Fig. 73.

i2G STABILITÉ DES CONSTRUCTIONS.

§ 39. Tracé des joints qui rend la tendance au glissement uniforme pour tous les Joints ou qui l'annule.

Dans notre étude de l'équilibre d'une voûte contre la rotation , nous avons vu qu'on n'a pas la faculté de disposer de la forme de la voûte ou de la direction des joints, de manière que la vraie courbe des pressions soit partout à égale distance de l'intrados et de l'extrados, ni qu'elle soit à une distance constante, soit de l'intrados, soit de l'extrados. En effet, en supposant la matière parfaitement incompressible, la vraie courbe des pressions doit avoir un point commun avec chacune des courbes-<;ontours. Donc, en ce qui concj^ne la rotation, une voûte ne présente jamais en tous ses points un égal degré de stabilité; elle a des parties fortes et des parties faibles. Mais on peut se demander s'il n'est pas possible de disposer la voûte, en ce qui concerne l'équilibre de glissement, de telle sorte que les directions des résultantes partielles fassent avec les normales aux joints correspondants des angles égaux, ce qui donnerait un effort de glissement constant.

Ce dernier point est très-facile à réaliser. On peut même donner aux joints une direction telle que la direction IN leur soit respec- ' tivement normale : ce qui annulera la tendance au glissement. Quoiqu'un tel tracé des joints ait une raison d'être théorique, on s'en soucie peu dans l'application, parce que ces joints ne remplissent plus la condition d'être normaux à l'intrados, condition indifférente à la stabilité mais importante au point de vue de l'exécution ou de l'ornementation.

§ 40. Courbd'dnveloppe des pressionSé

De même que la courbe des pressions est propre à représenter la stabilité contre la rotation aux différents points d'une voûte, de même on peut construire une autre courbe liée à la première et mettant en relief la stabilité contre le glissement.

Soit AB (fig. 74) la courbe des pressions. Elle coupe chaque joint

au point d'application de la force qui agit sur ce joint. Si Ton prolonge les directions de toutes *•'««• '* ces forces, on obtiendra leur courbe-enveloppe, qui servira à indiquer la direction des pressions.

Pour avoir la direction de la pression en un point quelconque I de la courbe des pressions, il n'y a qu'à mener de ce point une tangente IJ à la courbe-enveloppe que nous venons de construire.

§ 40. a. Stabilité des ponts existants au point de vue du glissement.

Soit (fig. 73) :

P, la pression verticale de la voûte sur le joint de culée.BC, c'està-dire le poids de la demi-voûte accru de sa surcharge ;

0, la poussée horizontale ;

a, l'angle RAQ delà résultante de P et Q avec Thorizontale ;

j3, l'angle BAP du joint de culée avec ••'«^- '*•

la verticale ;

y, l'angle RAD de la résultante de P et Q avec la nonnale AD au joint de culée, angle positif ou négatif, Suivant que AR est au-dessous ou au-dessus de la normale AD ;

a' , l'angle de la verticale avec la pression résultante exercée sur la section horizontale de la culée qui passe par les naissances ; ^ e, l'épaisseur de la culée ;

/, la hauteur de la culée au-dessous des naissances ;

y, la hauteur totale de la culée depuis sa base jusqu'au sommet de la surcharge ;

ç, l'angle de frottement pour la matière des vdussoirs ;

(};, l'angle de frottement pour les matériaux le moins bien mis en œuvre de la culée ;

m, le coefficient de stabilité contre le glissement, c'est-à-dire le facteur par lequel il faut multiplier la poussée Q pour amener un glissement de la culée sur une section horizontale.

Pour le reste, nous conservons les notations du paragraphe 22.

L'angle du frottement f est compris, pour les voussoirs équarris, entre le minimum f ssSl*", tang9= 0,60, et le maximum f =37', tang 9=0,75.

Quand le mortier est frais, cet angle peut diminuer jusqu'à (p = 27%tang9=0,50.

En général, on prend 9^=35'*, tang 9 = 0,70.

rèsla notation ci-dessus, on a

t*" Tang a = ^ et 7 = (3 — a.

Si Ton calcule les valeurs de a et 7 d'après ces formules, on obtient les valeurs înâcrites dans la table n* 1 du paragraphe 22 pour plusieurs ponts existants. On trouve ainsi que dans le pont de Neuilly l'angle 7 atteint 29** 4-6', et même au pont sur la Severn 30** -h 39', presque l'angle du frottement. Cette circonstance indique une faible stabilité contre le glissement ; mais il ne faut pas perdre de vue qu'il s'agit seulement ici de la stabilité de la voûte proprement dite sur le joint de culée, et qu'en ce point particulier la stabilité contre la rotation est tout aussi faible et même n'existe pas du tout dans certains ponts exécutés : ce qu'il est difficile de ne pas considérer comme un défaut véritable.

Si l'on considère la stabilité contre le glissement pour la voûte avec ses tympans ou pour la culée, on peut admettre comme angle de frottement des maçonneries brutes posées en liaison : ^p=45% tang. fp = l.

La section la plus faible en ce qui nous occupe est évidemnient la section de la culée qui passe par les naissances, car, dans toutes les sections inférieures, la force verticale augmente en faveur de la stabilité, tandis que la poussée horizontale ne change pas.

Pour cette section, la pression verticale est PH-(e — i) (b+c+h)^ et la poussée est 0-

D'où :

(2) Tang «' =- ? . '

et, puisque la poussée mO doit rendre a =î|;= 48*^ on a: ■* :

d'où :

(4) ^ P-^^e~^)(fe-hc+/0 ^

La première table du paragraphe 22 nous montre que le coefficient de stabilité de glissement, m, est dana la pratique presque toujours beaucoup plus grand que le coefficient n de stabilité contre la rotation. Dans plusieurs cas, il est \rai, m descend jusqu'à w, quelquefois même un peu au-dessous; mais on reconnaît que là où la culée est construite suivant la prescription du paragraphe 23, de manière que n soit entre 2 et 3, m se tient aussi entre ces limites, de sorte qu'il n*est pas, en général, nécessaire de contrôler et de corriger, en ce qui concerne le glissement, les dimensions d'une culée suffisamment stable contre la rotation.

Si l'on \eut cependant exercer ce contrôle au moyen d'une formule approchée, on calculera l'épaisseur de la culée par la formule :

dans laquelle on donnera à m la valeur que nous avons indiquée pour n au paragraphe 23.

Il est bien entendu que la poussée Q doit être déterminée, nonseulement d'après les forces verticales, mais aussi d'après les forces horizontales quand elles existent; on emploiera les formules des paragraphes 22 et 36.

Pour les culées élevées et remplies de terre, on peut craindre que la poussée extérieure des terres ne renverse la voûte, ce qui peut avoir lieu par glissement aussi bien que par rotation. On aura làdessus pleine lumière en cherchant la courbe et Tenveloppe des pressions jusqu'à la base de la culée, et tenant compte de toutes les forces intérieures et extérieures du système. Si l'on veut des formules approchées pour vérifier la sti^ilité de la voûte sous différeiits points de vue, on peut introduire de la manière suivante dans le calcul Taction des forces extérieures de la poussée des terres.

Le poids total de la demi-voûte et de sa culée est ;

Si ron prend r^agla^,

culée égal à 30°, la poussée des terres contre le corps du pont es'S:.

Donc la force horizontale tendant à faire glisser la culée sur s^a base de dehors en dedans est :

Par conséquent, la tangente de l'angle que fait la pression résii 1tante sur la base de la culée avec la verticale est :

Veut-on maintenant qu'il faille m fois la force nuisible g (/—/^*)

pour produire le glissement? On égalera la tangente ci-dessus ^ tang ^=lj d'où l'on tirera pour épaisseur suffisante de la culée •

La poussée Q devra être déterminée en tenant compte de la pou^-" sée des terres, comme aux paragraphes 33 et 36 a.

Quant à la stabilité contre le renversement sous l'action d'un ^ trop forte poussée des terres agissant par rotation, nous en avon ^ traité en détail au paragraphe 36 a.