ÉQUILIBRE DE ROTATION

§ 41. Généralités pour le cas de charges verticales.

Nous devons maintenant étendre les considérations qui précèdent sur la stabilité des voûtes au cas plus général où la voûte n'est plus formée, des deux côtés de la clef, de deux demi-voûtes symétriquement chargées et concourant au joint du sommet.

Le défaut de symétrie peut tenir à ce que les profils des deux demi-voûtes sont Fig 76.

difiFérerits, ou à ce que la charge n'est pas distribuée symétriquement des deux côtés du sommet; dans les deux cas, il n'yapas de demi-voûtes séparées par un joint vertical au sommet comme dans les arcs précédemment considérés.

Soient ÂB, CD (fig. 76) let deux surfaces fixes des culées sur lesquelles s'appuie un àrc ÂBDG; I,K les points d'application des réactions R'I=ciR',R'K=R'' de ces surfaces fixes; QSO" lès composantes horizontales, P',P leâ composantes verticales des forces R',R"; soit enfin P le poids de l'arc entier ABDC avec sa surcharge.

Quelles que soient les forces R',R" ^^ grandeur et en directic^ii et quels que soient leurs points d'application, on a :

0' = Q"etP' + P^=P.

A ces deux premières conditions, le principe de la moindre résistance en joint une troisième, à savoir que les composantes horizontales 0')0'' doivent être les plus petites possibles.

§ 42. Les courbes des pressions et leurs propriétés générales.

Soit IGK la courbe des pressions, c'est-à-dire, d'après les définitions antérieures, le lieu des points d'application sur les joints successifs des pressions agissant sur ces mêmes joints. Si, par exemple, on suppose donnés le point d'application, la direction et la grandeur de la force R"K = R", on aura le point G de la courbe sur un joint quelconque EF en composant la force R'' avec le poids P de la portion de voûte CDEF avec sa surcharge, et prenant l'intersection deEF avec la résultante de ces deux forces : construction purement géométrique.

Soit KMI (fig. 77) une courbe des pressions quelconque partant Fîg. 77. du point K sur la

culée CD et répondant à une pression en ce point exprimée en grandeur par R, en direction par RK. Comparons à cette* première courbe une seconde K'MT partant de CD au point K', h laquelle correspond une réaction R' dirigée suivant R'K'. Soit maintenant R" une force de direction R'^K'', qui en se composant avec R donnerait pour résultante R'. On veut avoir un point

n'kP^-

^^^eîconque M' de la courbe K'MT, ayant déjà la force appliquée ^^ M (point du joint MM' qui appartient à la courbe KMl) ; comme '^ force en M est la résultante de R et du poids P, il suffira de com^- Poser de nouveau cette résultante avec R", ce qui donnera la force ^U M', résultante de P et R' : l'intersection de cette force avec MM' ^era le point M'.

Mais on voit facilement que si la ligne R"K'', indéfiniment prolongée, coupe la courbe KM! en un certain nombre de points GjH, etc. , ou ne la coupe pas du tout, la courbe K'MT coupera la première aux mêmes points GjH, etc., et nulle part ailleurs, ou ne la coupera pas du tout. On voit encore que si le point de départ K' est entre K et K", K'M'V sera toujours entre KMI et là droite K^'L; ou inversement si K est entre K' et K% KMI sera partout entre K'MT et K^L. Enfin, si K" est entre K et K', la droite K'L sera partout entre les deux courbes.

D'où il résulte que les deux courb^^e peuvent avoir d'autres points de contact que ceux de KMI et flp droite K^L.

Cette relation générale entre les positions de deux courbes des pressions comprend eomme cas particuliers, ainsi qu'on le voit aisément, diverses propriétés spéciales, au cas des voûtes à formes et charges symétriques, cas où en passant d'une courbe à l'autre la poussée ou réaction au sommet varie en grandeur et en position, tandis qu'ici la réaction de la culée varie en grandeur, en position et en direction.

Si, par exemple, on conserve ici à la force R un même point d'application K et une même direction RK, en en portant seulement la grandeur de R à R', la direction R'^L coïncidera avec RK. La nouvelle courbe KF, partant aussi de K, coupera la précédente précisément aux points où ceUe-ci rencontre la droite RK.

Si, en conservant àR sa grandeur et sa direction, on fait mouvoir son point d'application sur CD, comme alors R'' sera nul, mais aura son point d'application à l'infini sur CD et sa direction parallèle à RK, la droite R"L ne rencontrera pas KMI ; donc aucune courbe trouvée K'MT ne rencontrera non plus KMI, mais chacune restera d'un même côté de KMI.

Ces propriétés répondent exactement à celles que nous avons rencontrées dans le cas où les forces Ii,R',R'' étaient nécessairement horizontales. Du théorème général qui précède, on en tirerait facilement d'autres intéressants. Nous nous bornerons cependant à

134 STABIUTÉ DES CONSTRUCTIONS.

établir une seule propriété qui nous servira à simplifier les recherches

ultérieures.

§ 43 Autres propriétés générales des courbes des pressions.

Soient RK,R'K' (fig. 78), les directions positives de deux réactions possibles R,R' de la surface fixe CD; il est évident que ces Fig. 78 lignes seront à

droite du joint CD si les courbes des pressions correpondantes , KMI, K'MT sont situées à gauche et s'élèvent de droite à gauche. Au contraire, la direction positive h!'^" de la force R" peut être à droite ou à gauche de CD, et dans tous les quadrants. Mais comme R' est la résultante de R et R'', le point d'application K'' de R" ne pourra jamais, dans le cas qui nous occupe, tomber entre K et K-.

De là et d'un examen plus con^plet des relations géométriques possibles dans la figure ci-dessus, on cqnclut ce qui suit : Admettons que K'^L représente le prolongement de la direction R^K" du côté positif de la force R*", et regardons comme positive la direction de la courbe KMI de K vers I, et de K'MT de K' vers V : cela posé, la direction positive de K'MT, comptée à partir d'un point de rencontre quelconque tel que G, ou, ^'il n'y a pas rencontre, à partir d'un joint quelconque tel que CD, se trouve toujours comprise entre la direction positive de KMI et la direction jpositive K'^L de la force R". Ce qui peut s'exprimer plus nettement de la manière suivante : à partir (l'un joint quelconque, la direction positive d'une courbe KMI correspondante à la résistance R tombe entre la direction positive de la courbe répondant à une résistance R', résultante de R et R", et la direction négative LK" de la force R".

Si la direction positive R^K" de la force R" s'incline du côté droit de la verticale, elle a une composante horizontale dont la direction positive va de droite à gauche ; dès lors, la composante horizontale de R' est plus grande que celle de R ; en d'autres termes, la courbe des pressions K'MT répond alors à une poussée horizontale plus grande que KML Si, au contraire, la direction positive WK" de la force R" penche du côté gauche de la verticale, là courbe K'MT répond à une poussée horizontale moindre que KML

On tire de ce qui précède une proposition importante. Soit K^L le sens de la droite indéfinie R*^" qui va de droite à gauche : et ici nous ne nous inquiétons ni de son inclinaison sur l'horizon, ni de savoir si cette direction est la direction primitive ou la négative de la force R^ ; considérons de môme les courbes EMI, K'MT, dans leur direction de droite à gauche. Gela posé, à partir d'un point de rencontre ou d'un joint quelconque, celle des deux courbes qui répond à la plus grande poussée horizontale est toujours située entre l'autre courbe et la droite K^L. Si les deux courbes répondent à une môme poussée horizontale, la force R'' est nécessairement verticale, et l'impossibilité où l'on se trouve alors de décider si la direction K'^L à considérer est celle de bas en haut ou de haut en bas est l'expression géométrique de ce fait, qu'aucune de ces deux courbes n'a une pression supérieure à l'autre.

§44. Condition commune aux courbes des pressions qui répondent à un minimum ou à un maximum de la poussée horizontale.

Nous ferons un pas de jdus vers la détermination des courbes des pressions répondant à un minimum et à un maximum de la poussée, en remarquant qu'une telle courbe ne peut traverser moins de deux fois l'épaisseur entière de la voûte, sans sortir de la voûte, bien entendu.

Admettons en efiet que la courbe des pressions KMNI ne traverse la voûte qu'une fois, entre M etN, ou qu'elle ne la traverse pas du tout. Soit GH une droite qui réunit un point G de la portion de courbé KM à un point H de la portion MN. Composons la force R (fig. 78 et 79) agissant en K avec une force R" supposée agir suiyant GH :' on pourra toujours, soit que R" agisse suivant GH ou

suivant HG, tracer une nouvelle courbe des pressions K'GHF, Ventant tout entière dans Tintérieur de la voûte, et laissant cependant la courbe KGHI entre la nouvelle et la droite GH. 11 est donc possible de construire une courbe des pressions avec une moindre vifi' '»• poussée horizontale.

De mênoe, si l'on trace la droite Hy qui relie un point H de la portion de courbe MN à un point g de la portion de courbe NI, ou voit qu'il est possible de tracer une nouvelle courbe k'Egi' restant tout entière dans Tintérieur de la voûte, et tombant entre Tautre courbe KHyl et la droite Hy, en sorte qu'elle répondra à une poussée horizontale p\^^ grande. D'où il suit que la poussée horizontale d'une courbe des pressions qui traverse moins de dpux fois la voûte ne peut être ni un minimum ni un maximum.

La condition que la cpurbe cherchée fasse au moins deux traversées complètes de l'une à l'autre des courbes-contours de la voûte entraîqe cette autre condition, qu'elle ait avpc les courbes-contours au moins trois points communs, savoir : deux points cqmnjuns avec l'une, et le troisième, intermédiaire aux 4eux premiers, avec l'autre courbe-contour. Cela ne veut pas dire qu'il dpit y avoir contapt en ces trqis points ; un ou deux de ces points communs peuvent se trouver sur les joints de culée AB, CD, et alors un contact entre la courbe cherchée et la cpurbe-jpQntqur n'^est nullen]|ent nécessaire,

La cpndition de trois points conjpçiuns avec les courbesrcontours restreint le nombrp inl^ni des courbes (Jes pressions ppssibles à un nombrp limité^ et généralement à une seule pourbe, comme an le reconnaîtra, si l'on se rappelle qu'on ne peut disposer, ppur construire une telle courbe, que dé trois éléments : la gr«^ndeur, la direction, le point d'application de la réaction R qui s'exerpe si^r la surface de culée CD.

La condition d'une double traversée de voûte peut être remplie dp deux manières : ou la courbe des pressions dont • s'agit a deux points communs avec Tintrados et dans l 'interallié un point com-.

.?• mun avec l'extrados, ou bien elle a deux points communs avec Tex- 5E trados et dans l'intervalle un point commun avec Tintrados.

il!

§ 45. Premier cas qui ofl!re un caractère distinctif du minimum de liet poussée horizontale.

Soitlacourbe des pressions KLMNI (fig. 80), quia deux pointsL,N, communs avec Tintrados, et un point intermédiaire M commun avec l'extrados. (Ce cas comprend celui oùTun ou l'autre des points L, N, ou tous les deux tomberaient sur les points extrêmes C, A de l'intrados sur les joints de culée, jHtns^'Sy^ût^ïoiitact en^re les deux courbes). Dans ce cas, la courbe répond toujours à un BÙniiniun de la poussée.

En effet, il est clair tout d'abord que toute autre courbe posdUe K'MT, c'est-à-dire demeurant dans rintéimir de ht voûte, œofitn chacune des deux portions de courbe LM, MN, «n un, ou, en géuérai, en un nombre impair de points, comme 6, H ; que tous ok points et les autres points d'intersection des deux courbes, s'U en existé d'autres, doivent se trouver sur une même ligne droite ; enfin que la résistance R' de la surface de culée CD se compose, pour la deuxième courbe K'MT, de la résistance R afférente à KMI, et d'une force R" agissant suivant la droite GH. Il est clair que le point M sera d'un côté de cette droite, les points L, N de l'autre côté. Il est encore facile de voir que, quelle que soit la forme de la courbe KMI, l'arc GMH, dans le v\g so.

voisinage du point M, sera entre la droite GH et l'extrados, et les arcs KLG, HNI, dans le voisinage de leurs points respectifs L, N, seront entre l'intrados et la droite GH.

D oîi il suit que toute autre courbe des pressions, qui, comme K'G M 'H', est tout entière dans la voûte, ne peut tomber qu'entre la courbe KMI et la ligne GH. Une telle courbe des pressions répon

donc toujours à une poussée horizontale plus grande que KMI : donc celle-ci répond à la poussée minimum.

§ 46. Second cas, fournissant un second caractère pour le nHniniiini et aussi un caractère pour le maximum de la poussée.

Soit la courbe KMI, entièrement comprise dans l'épaisseur delà voûte, ayant deux points communs L, N, avec Textrados et un troipj^ 8,. sième, compris entre L

et N, avec Tintrados. (L,N peuvent, Tun ou l'autre ou tous les deux, coïncider respectivement avec les extrémités de l'extrados, sans contact entre les deux courbes). Une telle courbe répond à un minimum ou un maximum depoussée, suivantqu'elle satisfait à l'une ou l'autre des conditions suivantes :

i° Si l'arc LMN (fig. 8\) se trouve, dans le voisinage du point M, entre l'intrados et la droite LN , la courbe répond à un minimum de la poussée ; car alors toute droite GH qui unit un nombre impair de points de MN à un nombre impair de points de LM, et qui ainsi est propre à renfermer les points communs de KMI avec une autre courbe des pressions quelconque, telle que K'MT, laissera nécessairement, dans le voisinage des points L, M, N, les arcs KLG, GMH, HNI entre elle et la courbe-contour correspondante. Donc toute autre courbe des pressions possible, comme K'MT, ne peut tomber qu'entre GH et KMI, donc elle a une poussée plus grande que KMI. Donc cette dernière est minimum.

2° Si l'intrados, dans le voisinage du point M, est entre l'arc LMN et la droite LN, la courbe KMI répond à un maximum de la poussée horizontale (fig. 82).

Car alors les arcs KLG, GMH, HNI, dans le voisinage des points L, M, N, sont toujours entre une autre courbe des pressions quelconque et la droite GH ci-dessus définie qui joint les points com-

iiiuns de ces deux courbes ; toute autre courbe des pressions répond donc à une poussée moindre : donc celle-ci répond à un maximum.

U est à peine besoin de pig «7.

dire que les deux aortes de courbes de pression à IK)ussée minimum dont il a été question dans le paragraphe précédent et dans celui-ci ne peuvent exister simultanément.

L une ou l'autre, ou, dans d'autres cas, Tune et l'autre sont impossibles.

11 peut arriver qu'une courbe des pressions possédant les caractères ci-dessus, indicatifs d'un minimum ou d'un maximum, ait avec les courbes-contours un quatrième point commun en sus des trois qui la caractérisent. Cette courbe présentera alors deux'fois le caractère du minimum, ou deux fois celui du maximum, ou en même temps le caractère du minimum et celui du maximum. Le premier et le deuxième cas n^ofPrent rien de remarquable ; dans le troisième, on reconnaît que les données ne permettent l'existence que d'une Seule courbe des pressions comprise entre les courbes-contours, puisque cette ligne réunit les conditions du minimum et du maximum de la poussée.

§ il. InstabUité des voûtes.

On reconnaît comme il suit les cas oîi l'équilibre d une voûte est impossible.

Quand unecourbedes pressions quelconque, commeKMI(fig. 83), traverse au moins trois fois l'épaisseur entière de la voûte sans rester tout entière dans l'intérieur, et quand, en même temps, les trois segments de cette courbe, LM, MN, NO, sont tels qu'on ne puisse tirer une droite joignant un nombre impair de points de chacun d'eux, alors il n'y a pas de courbe des pressions possible : aucune courbe des pressions ne demeurera dans l'intérieur de la voûte. En effet, toute courbe possible devrait couper la pi*emière en des points disposés

140 STABILITÉ DES œNSTHUCTlOXS.

comme nous venons de le dire : dans ce cas, l'équilibre est do&c impossible et la voûte se rompra par rotation alternativement autour des arêtes intérieures et extérieures. Par exemple, on sera sûr de cette instabilité si la courbe KMI définie plus haut est concave en tous ses points entre les points de contact extrêmes L et 0.

Lft Yoûte n'étant pas en équilibre, cette même courbe (qui, si elle ne sortait pas de la voûte, serait la courbe au minimum de poussée) indique la manière dont la courbe se rompra : à tous les points L, M, N, où la courbe rencontre les courbes-contours, et à tous les points ccMnpris entre et B pour lesquels la courbe est en dehors de la voûte, il se produira des rotations des voussoirs autour des arêtes intérieures ou extérieures.

On comprend que, dans la rupture de cette voûte, il se pnMiuira des pressions aux arêtes d'extrados sans pour cela que la courbe des Pi^.83. pressions suive l'extra-

dos de à B. La pression qui se produit aui arêtes, entre et B, pendant le mouvement de la voûte , n'est pas identique à la pression qui correspondrait sur ce joint à la courbe EMl; elle est avec celle-ci dans une relation analogue à celle de la pression exercée sur l'arête de rotation d'un corps imparfaitement soutenu qui se renverse, avec le poids du même corps.

§ 48. Joint où règne une pression horizontale.

11 existe dans une voûte stable un joint EF où la pression mutuelle des voussoirs est horizontale, et égale par conséquent à la poussée de la voûte ; ce joint sépare la voûte en deux serments, tek c|uo leurs poids respectifs accrus de leurs surcharges égalent les r^mipoBanios verticales correspondantes des réactions des culées. On rvvmmn fliBotiirn! que la rourbe IMK (fig. 81) doit avoir nécessai-

tement sur ce joint une tangente horizontale *, ce qui ne veut nullement dire qu'en un point quelconque de la courbe des pressions, où la tangente peut accidentellement être horizontale, la pression soit pour cela horizontale et égale à la poussée.

Si l'on partage les réac- f«k s*

lions R, et R, en deux composantes F, Q' et P", Q", saw P', P'' verticales et 0', 0" suivant la droite IK des points d'application extrêmes', les deux composantes 0') 0" seront égales et opposées; les composantes verticales de bas en haut P', P'' seront égales aux composantes qu'on obtient en partageant le poids de la voûte, concentré en son centre de gravité, en forces verticales appliquées en I et K. Si l'on choisit ensuite le joint E'P, de sorte que le poids de la partie ABFE' égale P' et le poids de CDFE égale F, la pression au joint E'F sera parallèle à la droite IK et égalera Q'sQ"^ sans pour cela que la tangente à la courbe IMK sur ce joint soit nécessairemant parallèle à IK.

Généralement le joint E'F, qui est toujours à gauche dé EF quand le point I est plus bas que K, se rapproche plus du point M de contact avec l'extrados que ne fait le joint EF à pression horizontale, déterminé ci-dessus.

* Considérons, en effet, Féquilibre du voussoir élémentaire qui suit le joint qu'on vient de définir ; prenons les moments autour du point d'application sur ce joint de la pression horizontale. Le poids du voussoir et sa surcharge auront un moment infiniment petit du second ordre : il faut donc que le moment de la réaction du voussoir suivant soit infiniment petit du second ordre, ce qui ne peut être qu'à la condition que l'angle de l'élément de courbe avec la réaction soit infiniment petit. Donc cet élément est horizontal. — Ce raisonnement ne s'applique pas au cas où la pression n'est pas horizontale et ne peut établir que la pression est tangente à la courbe en général, ce qui est d'ailleurs faux: le moment du poids du voussoir n'est infiniment petit du second ordre que quand le joint est vertical. Nous admettons implicitement qu'on fera le joint vertical là où la pression sera horizontale.

81 ABILIÏÉ DES CONSTRUCTIONS.

§ 49. Recherche de la vraie courbe des pressions.

Plg. 85.

Des considérations précédentes on déduit une méthode simple pour construire approximativement la courbe des pressions qui xdr pond au minimum de la poussée horizontale.

La simple inspection de la voûte donnée et de sa surcharge fera connaître quelle forme générale affectera la courbe cherchée; si elle appartient à la première ou à la seconde des classes que nous avons distinguées, et si les points extrêmes I, K s'approchent respectivement davantage de Â et G ou de B et D (fig. 8S).

Si Fon préjuge que la courbe cherchée appartient à la première classe (§ 45) et en outre que ses extrémités se rapprochent plus de A et G que de B et D : on essayera d'abord de prendre A, G pour points de départ ; on décomposera par le théorème des moments le

poids P de la voûte en deux forces verticales P', P" apssant en A et G. Soit E'P le joint qui décompose la voûte en deux poids égaux à F, P*; on admettra que P est un troisième point de la courbe, et on construira la courbe des pressions passant par les trois points A, F, G. Si cette courbe ne sort pas de la voûte, ce sera la courbe cherchée au minimum de poussée horizontale. Autrement, soient N, M, L les points de l'intrados et de l'extrados qui répondent aux plus grands écarts de cette première courbe des pressions en dehors de la voûte. On construira une deuxième courbe d'essai par les points N, M, L. Gelle-ci s'approchera bien plus que la première de la courbe cherchée, et on pourra tracer la courbe cherchée en faisant une nouvelle correction ou en traçant la courbe nouvelle au jugé, si l'on ne préfère modifier un peu la forme de la voûte elle-même.

I §&0. Calcul des éléments nécessaires pour la construction I d'une courbe des pressions.

f Pour appliquer la méthode qui précède, il faut savoir construire

une courbe des pressions passant par trois points donnés. Pour résoudre ce problème, je suppose connues en l'un de ces

points la grandeur et la direction de la pression ou ses composantes.

En composant cette pression avec le poids d'un segment de voûte

quelconque à droite ou à gauche, on aura une résultante qui coupera le joint extrême de ce segment en un point appartenant à la courbe, et dont la pression sera donnée par cette résultante en grandeur et en direction.

Soient I, L, K (fig. 86) trois points par lesquels on veut faire passer une courbe des Fig 86.

pressions, ACB une horizontale menée par le point le plus haut de l'extrados, et soit :

Q, la poussée horizontale, c'est-à-dire la composante horizontale de l'une quelconque des pressions agissant en I, L,K;

P, la composante verticale de la pression S qui règne au joint du sommet C, laquelle sera considérée comme positive si elle est dirigée de bas en haut en tant que pression de la partie droite sur Is^ partie gauche ;

y, la distance verticale du point d'application de cette pression à l'horizontale ACB ;

yt? A, ; y„ A, ; g^„ A5,.les coordonnées horizontales et verticales deI,K,L;

P', P, F", les composantes verticales des pressions iagissanten' ces pointe ;

P,, P„ Pg, les poids des segments CI, CKj^ CL, avee lipUrs surcharges;

/^i» ft> P*') les distances horizontales des centres de gravité de des serments au point C.

Posons encore, coninio abréviations :

l>.—fi = K

y.-+-.7. = rf.

On a :

^aP.-hy,P = A.Q (4)

Si le troisième point donné est sur le joint au sommet G, la valeur de g est connue, et Ton a : ^,=0, K^^q^ P,= 0. On tire alors de (3) et (4).

Si L n'est pas sur le joint au sommet^ on a :

fin. 8T.

Dans les deux cas, on a pour les composantes verticales en I et K :

P' = P, — P P"=P.-hP

Ayant ainsi P, Q, et par suite leur résultante S qui est la pression sur le joint du sommet, on construit facilement les parties droite et gauche de la courbe des pressions par la méthode déjà connue, en composant progre^ivement la force oblique S avec les poids partiels P,, P», etc. (fig. 87).

§51. Premier exemple. Plein cintre avec charges dyssymétriques.

Dans le dessin (fig. XV à la fin du volume) on a admis que Tare à plein cintre symétrique, dont l'épaisseur est 0",47 et dont le rayon intérieur est 3°*,14, est libre de toute charge, excepté au point extérieur du troisième joint de gauche, qui supporte une charge (par exemple, un mur reposant en long sur le rein de la voûte) correspondant à une surface de 0™'i,99, avec une densité égale à celle des voussoirs. Cette charge sera intercalée à sa place dans le tableau suivant.

Chacun des deux demi-arcs est partagé à partir du sommet en huit parties, dont les quatre premières ont une largeur de O'^jôS, les deux suivantes 0"*,31 et les dernières 0"*,24. On compose ensuite de la manière suivante les tableaux correspondant aux deux demiarcs :

Côté fKa.li cil e

rOnCËÏ VBEtT»CALlSS ËLlîltghTAlP

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