CHAPITRE III

CniTIQUE DES THÉORIES DES VOUTES LES PLUS CONNUES.

§ 60. Théorie de Lahire.

Une exacte connaissance des actions qui se produisent dans une ^ûte peut^eule donner au constructeur la confiance dont il a besoin pour disposer des formes de Tare, de Tépaisseur de la voûte, de la division en joints et des culées, de manière à assurer la stabilité de toutes les parties : cela est vrai surtout quand il se propose Un but nouveau et que les expériences et les analogies ne fournissent pas de renseignements suffisants. Une étude complète et aussi rigoureuse que possible de ces actions présente donc autant d'intérêt pour l'enseignement scientifique de la mécanique que d'importance pour l'art des constructions.

Il a été fait pour le progrès de cette théorie de nombreux efforts, et l'on a introduit successivement divers principes ou hypothèses, dont les savants et les praticiens ont plus ou moins profité, et dont nous devons exposer ici les résultats.

Cet ordre de questions présente cette difficulté particulière, que sous les conditions données du système il y a une infinité de groupes de forces possibles, sans que Ton ait pu discerner parmi ces systèmes celui qui existe en effet dans la nature. Il est vrai que le principe de la moindre résistance est venu lever cette indétermination ; néanmoins il ne sera pag inutile d'inâster sur les défauts des théories antérieures afin qu'on puisse se rendre compte, dans les cas où l'une ou l'autre se trouverait employée, de l'influence des hypothèses qui leur servent de base.

Remarquons d'abord que les théories antérieures s'appliquent toujours h des voûtes formées de deux moitiés symétriques et symétriquement chargées, dans lesquelles il existe à la clef une pression horizontale qui est la poussée. On considère généralement, comme

11)4 STABILITE DES CONSIULCTIONS.

nous l'avons fait aussi, une matière de voussoirs incompressible, et dans les théories les plus récentes on considère avant tout l'équilibre de rotation, lequel est en effet le plus important pour la pratique. I £ C'est aussi surtout à cet équilibre que se rapportent les remarques | [ qui vont suivre.»

Lahire, au commencement du siècle dernier, a cherché le premier à évaluer d'une manière scientifique les actions qu'exerce une voûte contre ses culées; il a admis pour cela l'existence d'un groupe de forces qui, eu égard aux dimensions de la voûte, paraissait conforme à la réalité.

Il admit que toute voûte a la faculté de se rompre de telle sorte qu'il y ait un joint de rupture à égale distance de la clef et de la naissance. Il se représenta la partie supérieure de la voûte aussi bien que la partie inférieure, y compris la culée, comme ^eux solides invariables et sans joints, et il calcula la pression au joint de rupture en le considérant comme absolument poli, et en attribuant à la partie, supérieure la fonction d'un coin qui exerce une pression normale contre le joint de rupture.

Il est facile de reconnaître que cette manière de procéder ne peut conduire qu'à une assez grossière évaluation de la poussée^ s'éloignant, suivant les cas, ou peu ou beaucoup de la vérité. En admettant un joint de rupture absolument poli, ce qui n'arrive jamais, il fait la poussée trop forte; il la diminue au contraire en plaçant arbitrairement ce joint au milieu du demi-arc. En outre, cette théorie ne donne le vrai point d'application de la pression ni à la clef, ni au point de rupture, ni à la culée, et ne peut ainsi fournir aucun critérium de la stabilité de l'arc proprement dit entre la clef et les naissances, cette stabilité dépendant de l'équilibre de rotation.

§ 61. Théorie du coin d'Eytelwein, etc.

La théorie de Lahire a reçu plus tard des perfectionnements sous le nom de théorie du coin : on a cessé d'admettre une fois pour toutes une position fictive assignée à priori au joint de rupture ; on adéterminé ce joint en rendant maximum la pression exercée sur les culées /MirJ 'ensemble des voussoirs. On a continué d'ailleurs à considérer

les joints comme parfaitement polis, de sorte que les pressions réciproques des voussoirs seraient nécessairement normales aux surfaces de joints. Cette hypothèse, très-éloignée de la vérité, n'est pas propre à indiquer la vraie courbe des pressions parmi toutes les courbes possibles. Les résultats qu'on en déduit ne peuvent donc donner aucune idée juste sur l'équilibre de glissement d'une voûte réelle ; en effet, le frottement entre les voussoirs s'exerce toujours en fait, et en le négligeant on aboutit à cette proposition absurde, que l'équilibre d'une voûte est impossible quand les joints de culée sont horizontaux, toutes les fois que l'épaisseur de la voûte sur ces joints n'est pas infiniment grande. Au reste cette théorie, môme considérée comme simple recherche scientifique de l'équilibre de voussoirs absolument polis, ne donne pas la moindre notionide l'équilibre de rotation des voussoirs autour de leurs arêtes^ qui a beaucoup plus d'importance.

Eytelwein commence (§§ 374 à 399 de son Manuel de statique^ t. II) par développer avec détails la théorie des voûtes telle qu'elle résulte des hypothèses ciniessus indiquées. Il la fait suivre (§§ 400 à 414) d'une discussioti ÔÙ il considère le frottement entre les voussoirs et cherche les conditions d'équilibre de glissement, en supposant que les pierres de la voûte ne puissent être en équilibre sans l'intervention d'Un frottement. Mais la voie suivie par Eytelwein ne saurait conduire au but. Il commence, en effet, par admettre que le poids de chaque voussoir s'applique normalement «ur lés joints^ même dans les cas de joints rugueux. Puis il se met en contradiction avec le principe d'égalité de Taction et de la réaction, en admettant que la pression normale d'un voussoir peut surpasser d'une grandeur déterminée i la réaction Normale de la pierre voisine. U décompose cette grandeur d en composantes horizontale et Verticale, fait la somme des inoroetits de ces composantes par rapport à l'arête extérieure de la base de la culée, et les réunit aux moments^ pris par rhppbrt à cette arMe, des ocunposantes verticales et horizontales qui se seraient produites si tous les voussoirs avaient été déjà en équilibre sans frottement ; il arrive ainsi à une équation expritnànt la stabilité de la voûte par rapport à l'arête inférieure du maâsif de Culée» Il n'est besoin d'aucune discussion pour montrer que les résultats ainsi obtenus sont tout à fai illusoires*

C'eàt seulement aux paragraphes 417 à 419qu'EYtelNïe\w.jÇ.\sKt--i

STABILITÉ DKS CON STRICTION S.

chant le joint de rupture qui correspond à l'équilibre de glissemeBt, fait entrer correctement dans le calcul l'influence du frottement- Mais il demeure une lacune importante en ce qui concerne la poussée à la clef ; les considérations qui s'y rapportent manquent de gé-*" néralité et ne traitent pas la question sous toutes ses faces.

L'ouvrage d'Unger, Exercices de mathématiques appliquent (t. II, contenant les exercices de statique et de mécanique), renferme une exposition de l'équilibre de glissement, où le frottement n'est que partiellement introduit, et qui est conformé à celle d'Eytelwein quant aux traits principaux.

§ 62. Théorie de Coulomb.

Fifz. 104.

Coulomb, en 1773, s'est approché beaucoup plus que Lahire de la solution scientifique du problème, en portant son attention nonseulement sur l'équilibre de glissement, que Lahire prenait pour base unique de son imparfaite construction, mais aussi sur les conditions réelles de l'équilibre de rotation. Voici en quoi consiste sa théorie.

On suppose que la résultante horizontale de la pression à la clef CD passe par le point^K (flg. i04); soient EF et GH deux joints qudconques, Q^ la valeur de la pression nécessaire pour empêcher le segment de voûte CDGH de tourner de dehors en dedans autour de l'arête G, soit Q, la valeur de la pression nécessaire pour empêcher une rotation du sèment CDFE en dehors autour de l'arête F.

Cela posé, si Ton cherche les, valeurs de Q^ et Qt successivement pour tous les joints compris entre AB et CD, le maximum de Qi sera la véritable poussée djê la voûte. La stabilité de Tare exige toutefois que le maximum de 0^ soit inférieur au mininium de 0,. Si celle dernière condition n'était pas remplie, GH répondant par

exemple au maximum de Q^ et le joint EF placé au-dessous répondant au minimum de 0,, la voûte se détruirait de cette manière : il se produirait simultanément une rotation autour des arêtes G et F, d'où le nom de joint de rupture donné à GH. Si le joint inférieur EF répondait au maximum de Q, et le joint supérieur GH au niinimum de Os^ la voûte se détruirait de cette manière : il y aurait rotation simultanée autour des arêtes H et E, d'oîi le nom de joint de rupture donné encore dans ce cas à GH.

Dans le premier cas de rupture, il y a manifestement aussi une rotation autour du point supérieur D du joint de la clef, et dans le second, autour du point inférieur G de ce même joint : ce peut être la cause pour laquelle Coulomb place le point d'application K de la pression à la clef seulement aux points D et G, et ne constate la stabilité de la voûte que dans ces deux positions ; il ne s'est pas préoccupé delà position véritable du point K. II lui manquait pour cela un principe qu'on chercherait vainement aussi dans ce qu'il expose sur l'équilibre de glissement. Pour ce dernier, Coulomb cherche le maximum des forces 0', qui, appliquées au lieu de au point K, empêchent le glissement de la masse GDHG sur un joint quelconque GH, puis le minimum des forces Q", appliquées en K, qui sont en état de faire monter la masse CDFE sur le joint EF ; il exige que le maximum de Q' soit moindre que le minimum de 0''. En outre, en considérant simultanément l'équilibre de rotation et de glissement, 11 est nécessaire que chacun des deux maximums de Qj et Q' soit moindre que chacun des deux minimums de Q, et Q'', et il faut prendre pour poussée vraie le plus gyand des deux maximums de Q, et Q', lequel est ordinairement celui relatif à la rotation.

Gomme la grandeur et le moment de la véritable poussée horizontale des voûtes stables, ainsi que la position du joint de rupture dépendent de la vraie position du point K; comme le mode de renversement des voûtes instables en dépend également, il s'ensuit que la théorie de Coulomb n'a pas encore atteint le degré de perfection qu'exige la science, quoiqu'elle soit par sa marche rationnelle d'une valeur incomparablement supérieure à celle de Lahire, qui partait d'hypothèses mal fondées.

Plusieurs auteurs se sont consacrés au développement des principes précédents ; en particulier MM. Audoy {Mémorial de P officier du génie j n* 4), Navier {Résumé des leçons sur ^application de la mécanique) et Persy {Cours de stabilité des constructions^ lithogra-

198 STABIUTÉ DES COxNSïRUCTlONS.

phie de TÉcole d'application à Metz) se sont proposé d*éelairer les divers cas de la pratique et de développer des formules générales pour les voûtes et culées qui se trouvent précisément à l'équilibre limite. MM. de Garidel (Mémorial de f officier du génie ^ n* 12) et Petit (ibidem) ont voulu simplifier la méthode et calculer des tables en vue des applicatioi^s. Enfin M. Vqncéiei (ibidem) a donné une méthode purement graphique pour l'application générale de la théorie de Coulomb.

Cependant aucun de ces auteurs n'a posé une condition plausible de la vraie position du point d'application K de la pression à la clef, et n'a ainsi délivré la théprie dont il s'agit de l'indétermination qui lui est inhérente. Us se restreignent au contraire à la recherche du cas particulier où la pression dont il s'agit passe par le point le plus haut D de la clef comme étant le cas ordinaire des applications.

Les remarques que renferment Ip^ écrits (ie Persy et de Petit particulièrement sur l'indéterminution du point ^ pour les voûtes stables ou instables sont insuffisantes et en partie erronées. Des raisonnements mal fondés conduisent à cette conclusion générale, que le point K est situé ou en* D ou en Q, ce qui n'est vrai en général ni pour les voûtes stables, ni pour les voûtes instables.

§ 63. Gomparaisoii détaillée^ de la théorie de Coulomb fiveç la nouvelle.

Nous allons comparer plus à fqnd la théorie de Coulomb avec la nôtre au point de vue principal, celui de l'équilibre de rotation.

En ce qui concerne d'abord les positions possibles du point d'application K à la clef, il résulte assez clairement de tout ce que nous avons dit que, ni dans les voûtes stables, ni dans les voûtes instables, ces positions possibles ne se réduisent aux deux poiitts D et C ; la destruction d'une demi-voûte ne se produit pas en effet nécessairement par la séparation en deux parties, mais souvent par des rotations autour de plusieurs arêtes à la fois.

Supposons donc une demi-voûte stable ABCD (fig. 105), dans laquelle les courbes des pressions répondant au minimum et au maximum de la poussée ont pour figures respectives K M NJ, K'N' M' I' ; les courbes des pressions possibles, capables, en d'autres tertnes^

de tenir la voûte en équilibre, pourront avoir leurs points de départ en des points quelconques entre K et K' ; mais aucune courbe des pressions possible n'aura dans ce cas ^^S' '•>

son point d'application de la poussée à la clef, soit dans la partie KD, soit dans la partie K' G, ni en D ni en G.

Dans ce cas, la théorie de Coulomb doit être regardée comme inadmissible. Cette théorie indiquerait en effet que réquilibre est impossible tant en prenant le point D qu'en prenant le point G comme point d'application , et elle laisserait échapper toutes les positions de la courbe des pressions qui sont effectivement compa- ^bles avec l'équilibre, puisque le vrai point d'application de la pous-' ^e est en K, et peut au besoin s'avancer jusqu'en K', si la considération du glissement le rend nécessaire.

Il existe une classe de voûtes, la plus nombreuse peut-être dans -s applications, mais qui n'a pas été délimitée par Goulomb et ses Uccesseurs, pour laquelle les points K et M se réunissent en D, de •orte que la vraie poussée passe alors au point le plus haut de la îlef. Mais jamais, dans une voûte stable qui n'est pas à l'état d'é- [uilibre limite, les points K et C ne coïncident, de sorte que la rTaie poussée ne passe pas par le point inférieur de la clef; donc, !n ce qui concerne ce point, la théorie de Goulomb donne toujours me courbe simplement possible, jamais la vraie.

Soit K le point d'application de pik. io6.

i poutiée à la clef (fig. 106) et Q, ) mtxiniuni, d'après Goulomb, e oMte poussée, leqiid corresond à Farète intradossale G. Si, 'qffèfi les principes connus, on 3iistrait la courbe des presions Kl répondant à Q,, cette Hiriie renccmtrera l'intrados GA Il point G, et sera au-dessus B CA en tout autre point. Geci isulte sans difficulté des propriétés générales de la courbe des cessions, car si Kl passait par un point quelconque au-dessouiii

500 STABILITÉ DES COiNSTRUCTIONS

de GA, on pourrait , en augmentant la force Q, sans toucher au point K, élever cette courbe, de sorte qu'elle n'eût plus qu'uo point commun avec GA; il y aurait ainsi une poussée plus grande que Q, répondant au point K, Soit Q, le minimum, sdott Goulomb, de la poussée en K, lequel correspondra à l'arête ex— tradossale F; une courbe des pressions KL répondant à Q, rencontrera l'extrados DB m point F, et sera partout ailleurs au-dessous de cette ligne, pe qu| est aussi facile à démontrer par les propriétés des courbes des pressions.

Si maintenant la stabilité a lieu, la courbe KGI, d'après nos principes antérieurs, ne devra sortir en aucun point de la voûte et par conséquent ne coupera nulle part l'extrados DB. Puisque d'ailleurs deux courbes telles que Kl, KL, menées d'un même point de départ K, ne peuvent avoir entre elles d'autre point commun que ce point K, et que celle qui est inférieure à l'autre répond à une moindre poussée, il en résulte que dans l'état d'équilibre le maximum Q, de Goulomb répondant à p ne peut être plus grand que le minimum 0, répondant h KL. Gela montre par quel lien la théorie de Coulomb se rattache à la nôtre.

Si au principe de Goulomb on vient joindre celui de la moindre résistance, l'indétermination de la position du point K disparaît, parce qu'on doit ajouter la condition que le maximum Q, soit le plus petit possible : d'où l'on conclut que les deux courbes KGI, KFL doivent se réunir en une seule avec leurs propriétés caractéristiques, qu'ainsi le maximum de Q, doit égaler le minimum de Q,.

Deux courbes différentes, KMNI, pig. ,07.

K'N'MT (fig. 107), satisfont l'une et l'autre à cette égalité. La première rend les deux forces Q,, Q, aussi petites que possible ; c'est la courbe des pressions réellement existante : la seconde les rend aussi grandes que possible et répond à la plus grande poussée imaginable , laquelle n'a pas d'existence réelle.

D'après le mode d'exposition de Goulomb, on serait conduit à penser que la condition d'égalité des deux forces 0, et Q» répond à l'équilibre limite; cependant on obtient ainsi une stabilité parfaite, et la limite d'équilibre n'est

atteinte que si les deux courbes KMNI, K'N'MT coïncident. Nous nous résumerons en disant que la théorie de Coulomb ne donne jamais que des limites entre lesquelles oscillent les forces, les points, les lignes qu'on cherche. Cette méthode ne permet certainement jamais de déterminer ces inconnues, et c'est en cela que lui manque la faculté de servir de base à une théorie des voûtes exacte et complète.

§ 64. Théories des voûtes fondées sur la considération d'une ohaJnette ou de courbes analogues.

Plusieurs auteurs, tels que Gerstner {Manuel de mécanique^ t. I), Knochenhauer {Statique des voûtes)^ Schubert {Théorie de la œnstructiQn des voûtes de ponts en pierre)^ imaginent que les points d'application des pression^ résultantes sur les dîBerjBnts joints soient réunis p^r une ligne, qui pour des vousspirs de fiimension finie est polygonale, et qui pour des voussoirs infiniment, mincps est une courbe cpntinue. Ils cherchent sous quelles conditions la ligne sera en état de suppprter les charges afférentes à Ij^ voûte, par 1^ résistance longitudinale de ses éléments et les réactions latérales af.ix sommets d's^ngles.

Nous n'insisterons pas sur ce fait, que toijt cela ne constitue qii- unp théorie des courbes articulées et non une théorie des voûtes, puisqu'on ne sait quelle est dans une voûte donnée la courbe articulée qii'pp doit considérer ; en outre, les théories dont il s'agit renferment à plusieurs égards des hypothèses sans fondement et des contradiction, spécialement deins la manière dont les courbes articulées reçoivent l'action des forces agissant sur la voûte, et dont les réactipns de la voûte correspondent aux réactions fictives des courbes. " Un examen détaillé de toutes les faces de la question nous çntràhierait trop loin. Nous nous bornerons à la critique des points fondamentaux dans les remarques qui suivent.

On devrait s'attendre à ce que la courbe articulée qui réunit les points d'application des pressions dans les joints successifs, qui est s'uj^osée massive et résistante, et sur laquelle on concentre par la pensée la masse entière de chaque voussoir, ne fût pas autre chose

STABILITÉ DES COxNSTRUCTlONS.

au fond, dans les écrits dont nous parlons, que la courbe à laquelle nous avons donné plus haut le nom de courbe des pressions, et qui satisfait précisément aux conditions dont il s'agit. On voit cependant que ces auteurs s'attachent à une ligne qui sera, dans le cas des voussoirs de dimensions finies, un polygone funiculaire, et une chaînette dans le cas de voussoirs infiniment minces.

D'après la construction connue et la définition de la courbe articulée, elle devrait être notre courbe des pressions : examinons d'abord les propriétés de celle-ci considérée comme articulée.

Soient M, M,, M,... (fig. J08) les points d'application des pressions résultantes R, R, , R,. . . sur les joints EF, E.F, , E,F,. . . ; soient P,, P„ P5... les poids des voussoirs correspondant aux arcs FF,, FiR. 108. F.F.jFjFj... avec leurs charges, de

sorte que R, est la résultante de R et de P,, R, de R, et de P., etc.; les directions des trois forces R, R,, P, concourent au point N,, les directions de R„ R„ P, en N^, etc. Peu importe que la direction de la force verticale P„ par exemple, tombe entre M et M, ou se trouve à côté.

Le polygone MM, M, M^..., qui devient une courbe dans Iq cas de voussoirs infiniment minces, est notre courbe des pressions et devrait être aussi une courbe articulée. Mais les trois forces R, R,, P, (R, étant prise en sens opposé, de manière à représenter la réaction du deuxième voussoir contre le premier) se tiennent en équilibre sur la ligne MM, considérée comme rigide et invariable : or cet équilibre est absolument impossible si la ligne MM, n'a qu'une résistance longitudinale et ne peut résister à la flexion. D'où il suit immédiatement que MM, M, M, ne peut être un polygone funiculaire ni une chaînette, puisque dans les systèmes de ce genre, dont la parfaite flexibilité est la condition essentielle, l'extension longitudinale est seule possible.

Le principe de la chaînette n'est pas réalisé non plus dans la répartition de la charge suivant l'extrados, attendu que dans les systèmes de ce genre le centre de gi^avitéilu poids à supporter est siftié

nécessairement sur la verticale de Télément de la courbe, au-dessus ou au-dessous , tandis que dans le cas. actuel la verticale des poids P,, P,... tombe indifféremment à des distances horizontales qudconques des points M, M,, etc.

Pour considérer MM, M, M,... comme un polygone funiculaire, il serait indispensable de modifier la répartition des poids P,,P«, P,... de telle sorte que leurs centres de gravité se trouvassent verticalement au-dessus des sommets M, M,, M^...; ou, ce qui revient au même, que chaque poids, P, par exemple, fût décomposé par le théorème des moments en deux composantes verticales passant en M et Mj, que Ton composât ensuite les deux composantes réunies en un même sommet ; il faudrait admettre encore que les pressions delà voûte ne peuvent exister que dans le sens des lignes MM,, ^'lïiM,,.., qu'ainsi les directions R, R,, R,... coïncident respectiveûïent avec ces lignes ; alors il ne serait plus question de la flexion possible des lignes MM,, M, M,..., supposées rigides. Mais un tel système serait un système purement fictif, qui ne serait nullement comparable ni réductible au système réel ; car il n'est pas permis ^'introduire pour les besoins d'une hypothèse d'autres forces que *^lles qui existent, soit horizontalement, soit dans la direction des oints.

On se demande d'oil viendraient les réactions normales à la courbe ^t quelles sont les résistances qui peuvent leur donner naissance, tl y a là une évidente contradiction avec lés principes admis : cw si, iutre les résistances R, R, et le poids P,, il y a encore d'autres forces igissant sur les joints du voussoir EFF, E,, ou R ou R, n'est pas la "ésultante véritable de la pression sur le joint correspondant, ce qui îst contraire à Vétat de la question.

La première des deux opérations inadmissibljBS indiquées ci-dessus , B veux dire le changement arbitraire, la décomposition et recompoition de la charge de la voûte, doit être reprochée à tous les auteurs irécités qui ont tiré la théorie des voûtes de la considération des ourbes articulées. La seconde faute, qui consiste à introduire aprè^ oup des forces nouvelles, se trouve en outre chez Schubert, daiiases «nsidérations sur ce qu'il nomme « les courbes articulées à réacions tangentielles et horizontales, » et chez Knochenhau^r, a^x paragraphes 14 et suivants de l'écrit rappelé ci-dessus.

Après avoir exposé le principe qui doit servir de base à la théorie les voûtes et avoir tracé €omme courbe articulée, suivant laquelle

STABILITÉ DES œNSTRUCTIONS.

est supposée concentrée la matière de la voûte, la ligne MM,M,M, définie plus haut, les auJteurs dont nous parlons sont conduits à considérer la ligne N,N,N, qui passe par les points de rencontre des forces trois à trois (R, R,, P,, etc.) et que nous avons nonimée, au paragraphe 40, la ligne directrice des pressions. Que cette ligne soit un polygone funiculaire véritable et pour des voussoirs infiniment minces une chaînette, il n'y a aucun doute à cela. Mais il est également certain que cette ligne n'a rien de commun avec une courbe articulée dont les côtés représenteraient les voussoirs concentrés et supporteraient à leur place le poids de la voûte. D n'est nullement nécessaire pour l'équilibre de la voûte que la ligne N,N,Nj tombe partout dans l'épaisseur de la voûte, ce qui est pourtant biea l'obligation la plus stricte d'une courbe articulée remplaçant la voûte; et dans un grand nombre de voûtes parfaitement stables, il est impossible de construire une seule courbe N.N.N,... qui ne sorte pas de l'épaisseur de la voûte.

Le polygoiie funiculaire ou la chaînette N, N, N,. . . .(fig. 109), qui est le lieu géométrique des points d'intersections successives des pres- ^ijï. «0». sions R, R,R„R„ et à laquelle sont

tangentes les directions de ces forces, est tout à fait indépendante des directions des joints, tandis qu'au contraire la courbe des pressions MM, M,M,..., lieu géométrique des points de rencontre des pressions avec les joints, dépend d'une façon très-réelle des directions de ces derniers. On voit donc que, dans les théories dont il s'agit, la direction des joints ne doit pas paraître comme élément déterminant, et l'on est conduit à cette fausse conséquence, que si le polygone fimiculaire N, N, N, se trouve tout entier dans Tépaisseur de la voûte, l'équilibre doit toujours subsister, quelle que soit la direction des joints. Contrairement à cette remarque, l'inclinaison des joints parait dans les formules analytiques de cette théorie, et l'on y détermine les angles des joints avec les côtés du polygone ; puis on prétend que c'est une condition indifférente pour l'état du système, au point de vue mécanique, que les

joints soient normaux à la chaînette (ou dirigés suivant les bissectrices des angles du polygone).

A chaque sommet d'un polygone funiculaire, il y a trois forces en équilibre, savoir le poids supporté et les tensions des deux côtés concourants ; sur chaque côté il y a deux forces qui se détruisent : savoir celles qui partent des deux extrémités de ce côté, égales et contraires, et mettent en jeu seulement la résistance absolue des côtés. Au contraire, dans la ligne articulée MM, M,..., formée do lignes matérielles pesantes ou chargées d'une manière quelconque, il y a toujours sur chaque côté trois forces en équilibre, savoir la charge de ce côté et les résistances que ce côté éprouve à ses extrcmilés de la part des côtés voisins, ce qui met en jeu non-seulement la résistance absolue du côté considéré, mais aussi sa résistance relative; à chaque angle, au contraire, il y a deux forces qui se détruisent : ce sont les réactions des deux côtés contigus. D'oîi il suit que les directions de ces forces, qui doivent être entre, elles égales et opposées, ne peuvent jamais coïncider avec les directions <Jes côtés, comme dans le polygone funiculaire. Parle décroissement indéfini de ses côtés, le polygone funiculaire devient une chaînette ; h ligne articulée MM,... devient d'autre part, quand ses côtés sont infiniment petits, une courbe qui n'a aucun nom caractéristique, si Ce n'est celui que nous lui avons donné {dus haut : la courbe des pressions.

La ligne NjNjN,... est toujours un vrai polygone articulé ou une chaînette, que les voussoirs soient en équilibre avec des joints paraitement polis, ou qu'il soit nécessaire de tenir compte du frottenent, soit que les directions R, M, N,, RjM, Nj... des résultantes R,, l,. . . fassent des angles droits ou obliques avec les joints correspon- [ants. Mais on n'en peut dire autant de la courbe MM, M,... qui l'est jamais un polygone funiculaire. Il ne sera pas inutile d'insister ur les causes qui, selon toute probabilité, ont fait prendre Tune K)ur l'autre deux courbes si différentes par leur principe.

Quand on a exposé ces théories, on a ordinairement figuré la oûte et les forces qui la sollicitent, de manière que, pour des diuensions finies des voussoirs, les verticales passant par les centres le gravité des poids P, , P». . . tombent respectivement entre les points il et M„ M, et M,... Dans ce cas de figure, le polygone funiculaire ^1 N, N,. . . prend par rapport à la courbe MM, M,. . . la position de la îgure UO, dans laquelle les sommets de la dernière courbe tombent

STABILITÉ DES CONSTHUCTIONS.

sur les côtés de la première, et non sur leurs prolongements, comme \oi dans la figure précédente. U semble alors que la différence de forme \u et de position de ces deux lignes doive disparaître quand on imagine l-o que les voussoirs diminuent indéfiniment : dételle sorte que les dem |>a lignes se réuniraient en une seule et que les trois points M,M„N, se rapprocheraient indéfiniment. Mais c'est une erreur. Soit EF/« Fig. 110. le \oussoir élémentaire qui

suit le joint EF, gp la verticale du centre de gravité do poids p de cet élément etde sa surcharge; cette verticale ne passe pas nécessairement par le point M, mais viench^ couper en n la direction RM de la pression R qui sollicite le joint EF; soit m la direction, infiniment voisine de RM, de la résultante des forces R eip; m coupe ef en m; M et m sont ainsi deux points consécutifis de la courbe

MmM.M.M

la chaînette correspondant aux

points M et m est n, lequel n'est nullement placé entre M et m et en est même à une distance finie. Ainsi non-seulement la courbe continue MM, . . . diffère comme formede la chaînette, mais les points de la dernière sont à des distances finies des joints correspondants. Ce n'est que dans le cas unique et tout particulier où les centres de gravité des voussoirs élémentaires, comme EF/c, sont situés verticalement au-dessus ou auMlessous des points M, m, M,, M,, que la chaînette coïncide avec MM,... Ce cas est du reste sans importance théorique, car la courbe MM,... dépend de la charge, dontlarépa^ tition peut varier de beaucoup de manières, et la poussée a une grandeur constante en tous les points : d'où l'on pouvait conclure d'avance que cette ligne peut, dans des circonstances données, affecter la forme d'une chaînette. D'ailleurs, dans ce cas spécial, il n'est pas nécessaire que les centres de gravité des voussoirs élémentaires se placent exactement aux points M, m..., quoiqu'on disent plusieurs auteurs, entre autres Unger {Exercices de matMmatiqtm

UVftE II. — THÉORIE DES VOUTES. 207

appliquées^ 2* volume, statique et biécanique, § 79) et Eytelwein, {Manuel de statique des corps solides, 2* vol., § 374). Il suffit, au contraire, parfaitement que les verticales des centres de gravité passent par les points M, m. . . .

De tout ce qui précède nous déduirons les conséquences suivantes. Si la voûte, composée de voussoirs infiniment minces, est formée et chargée de telle manière que toutes les verticales ^jo'passant par les centres de gravité des parties élémentaires EFfe; rencontrent les joints e/dans l'épaisseur de la voûte, en des points qui forment entre eux une courbe analogue à une chaînette renversée chargée de ces voussoirs, la voûte est alors en équilibre de rotation, pourvu que la chaînette dont il s'agit soit une courbe des pressions possible. Mais cela n'indique rien touchant l'équilibre de glissement qui dépend de l'inclinaison des pressions r sur les plans de joint ef; et il xi'en résulte pas non plus que la chaînette soit la courbe des pressions qui existe en réalité. (Dans le cas des voussoirs finis, la condition précédente devient celle-ci : il doit exister un polygone funiculaire N, N, N,... chargé des poids P,, P„ P.... et dont les côtés rencontrent en M,, M„ M^..., dans l'épaisseur de la voûte, les joints correspondants.) Si la condition précédente n'est pas remplie, le fait que la chaînette demeure dans l'épaisseur de la voûte n'implique l'existence ni de l'équilibre de rotation ni de l'équilibre de glissement, et le fait que la chaînette N^Nj^N^... sortirait en partie de la voûte n'impliquerait nullement l'instabilité. Il existe cependant entre cette chaînette (ou polygone funiculaire) et l'équilibre de rotation de la voûte une relation générale qui est celle-ci : l'équilibre de rotation est assuré si les tangentes à la chaînette (ou les côtés du polygone), suffisamment prolongées, rencontrent les joints correspondants en des points M, M,... qui soient tous dans l'épaisseur de la voûte .

^ C'est aux tentatives dont l'auteur s'occupe dans ce paragraphe que se rattache la solution pratique proposée par M. Dejardin {Routine de l'élablisseme^U des voûtes, 4" édit. 1845, 2* édit. 1860). Cet ingénieur, se plaçant sur un terrain entièrement artificiel, prétend donner des solutions empiriques satisfaisantes et qui se justifient à posteriori. Il commence par déterminer empiriquement (§ 54) l'épaisseur à la clef qu*il fait croître proportionnellement au rayon de courbure. Puis il attribue au décintrement une influence décisive sur la position d'équilibre de la courbe des pressions (§ 49) : il faudra, dit-il, décintrer le plus tôt possible, afin que la courbe des pressions finales corres^

On voit par ce qui précède combien sont dangereuses pour le praticien les théories que nous venons d'examiner. La méthode imparfaite de Lahire donne du moins une valeur approchée de la poussée ; elle n'est donc pas tout à fait dépourvue de valeur pratique; les spéculations ddnt nous parlons, au contraire, quoique entourées de tout l'appareil de l'analyse, peuvent égarer complètement celui qui s'y confie.

§ 65. Théories des voûtes fondées sur la considération des courbes des pressions.

Pour exposer les conditions d'équilibre des voûtes, divers auteurs ont fait usage de la courbe à laquelle nous avons donné ci-dessus le nom de courbe des pressions^ parce qu'elle passe par les points d'application des pressions résultantes sur les joints. Mais les théories établies sur cette base n'ont considéré jusqu'ici que les arcs à deux moitiés symétriques ; elles contiennent d'ailleurs des imperfections.

1 . Moseley est le premier qui ait pris pour base la courbe des pressions *, et qui ait cherché à lever l'indétermination où demeu-

pende à la courbe moyenne, car u Tétat final est la répartition uniforme de Faction entre les diverses résistances toutes les fois qu'il n'existe pas d'obstacle imieni à ce que toutes les résistances fonctionnent également. » Inutile de faire observer combien cette proposition est inetacte.

Ailleurs^ on lit (§ 28) : a L'équilibre exige que la courbe des pressions qui passe par le sommet de l'extrados et celle qui passe par le sommet de l'intrados ne sortent pas du profil de la voûte. On a vérifié que, dans le profil adopté^ cette double condition est satisfaite et l'est avec toute l'économie désirable^ car elles s'éloignent peu de l'extrados et de l'intrados. )) Cette condition imposée conduit nécessairement à des dimensions trop fortes ; il n'y a donc pas lieu de suivre les règles de tracé proposées.

Pour ce tracé, on fait en sorte que la pression exercée normalement à Tintrados soit constante ; l'extrados est déterminé en conséquence, en supposant essentiellement que la voûte se comporte comme un fil tendu sur le cintre.

Il n'y a là, on le voit, rien de rationnel ; la critique faite ci-dessus des théories de Gerstner, Knochenhauer, etc., s'applique complètement à Fessai de Dejardin, qui, postérieur aux ouvrages de Méry et de Moseley, n'est en progrès sur aucun point.

^ Il doit être permis au traducteur français de présenter les titres de priorité

rait la vraie courbe des pressions parmi toutes celles qui sont possibles dans une voûte stable ; il y est arrivé en introduisant dans la science le principe de la moindre résistance. (Voir Philosophical magazine y 1833; Philosophical transactions y 1837, et The tnechanicalprinciples of engineering and architecture, 1843.) Il déduit de ce principe cette condition, que la poussée doit être un minimum. Cependant Moseley n'a pas perfectionné l'emploi de cet instrument fécond et il a laissé échapper des inexactitudes.

Pour déterminer en effet la courbe des pressions qui répond au minimum de la poussée, il se contente de poser cette condition, qu'il regarde comme suffisante, savoir : que la courbe touche l'intrados ou qu'elle passe par le point le plus bas de l'intrados. Puis, pour discerner, parmi les nombreuses courbes qui satisfont à cette condition et qui ont divers points de départ à la clef, la vraie courbe et

de M. Méry. Nous reproduisons ci-dessous une note de M. Victoria Chevallier, ingénieur en chef des ponts et chaussées, insérée à la deuxième livraison du tiémorial de$ travaux hydrauliques de la marine (1862).

« Lorsque M. E. Méry arriva à Brest, en 1828, comme ingénieur des travaux hydrauliques, les voûtes et les arceaux des premières salles de l'hôpital Giermont-Tonnerre du côté N.-O. étaient en cours d'exécution et commençaient à exciter de graves inquiétudes. Il fut chargé par M. le directeur Trotté de Laroche d'en vérifier la stabilité par des calculs théoriques et des expériences comparatives. Ces études, qui se prolongèrent en 1829, ont été résumées dans le mémoire ci-joint, remis à M. Trotté de Laroche presque immédiatement après leur achèvement.

« Â la même époque, M. Méry, développant des recherches sommaires auxquelles il s'était livré dans Thiver de 1826 à 4827 à FEcole des ponts et chaussées, rédigea un mémoire très-intéressant sur la stabilité des voûtes en général, mémoire qu'il laissa en 1833 en quittant le port de Efrest, et dont je pris copie en 1837 lorsque je fus attaché au service de ce port.

a C'est ce dernier mémoire qui a paru en 1840 dans les Annales des ponts et chaussées^ avec quelques changements de rédaction pour la partie théorique, mais sans aucune modification pour les applications citées.

« Ce simple exposé fera rendre sans doute à M. Méry des titres de priorité que M. Poncelet attribue à M. Moseley par ignorance des faits, dans une notice historique insérée en 1852 aux Comptes rer*dus de l'Académie des sciences. »

Le passage justement critiqué ci -dessus, de M. Poncelet, est relatif à des mémoires antérieurs de M. Scheffler; M. Poncelet prétend que « cet ingénieur attribue par erreur l'initiative de la courbe des pressions à M. Méry, lequel, ainsi qu'on l'a vu, ne s'en est occupé que quelques années après M. Moseley. n

C'est M. Poncelet qui est ici dans l'erreur, ainsi qu'il résulte clairement de la note de M. Chevallier.

son point de départ, il ajoute que la poussée Q doit être uu minimum absolu, pour lequel le coefficient différentiel par rapport à Tordonnée verticale du point d'application s'annule. Si le point d'application de la force Q, ainsi déterminé, tombe entre les pointe extrêmes de la clef, il est le point d'application réel ; mais s'il tombe dessus ou dessous, en dehors de la voûte, ce sera, dans le premier cas, le point le plus haut , dans le second, le plus bas de la clef qui sera le véritable point de départ de la courbe des pressions. Enfin si la courbe tracée au moyen des données qui précèdent coupe l'extrados, la voûte est considérée comme instable. Tel est le système de Moseley.

Mais nous avons vu que lorsqu'il existe une courbe des pressions satisfaisant aux conditions précédentes de stabilité, et qui, touchant l'extrados, commence en un point quelconque de la clef entre h extrémités de celle-ci, qui par suite n'est pas simultanément en contact avec l'intrados et avec l'extrados, cette courbe ne peut jamais répondre au minimum de la poussée. Il en résulte que le caractère Fig. m. assigné par Moseley à la courbe

de moindre poussée n'est pas exact. On voit facilement en effet que, si la poussée Q devait être un minimum absolu, elle devrait dans tous les cas être nulle et répondre à un point d'application placé à une hauteur infinie audessus de la clef (fig. IH). D'après cela, la théorie de Moseley conduiraitàplacer lepointde départ delà vraie courbe des pressions, dans tous les cas, au point le plus haut de la clef. Mais alors il n'y a plus trace des considérations que nous avons présentées dans cet ouvrage sur la stabilité et l'instabilité des voûtes, et il ne demeure qu'un seul cas, celui où la vraie courbe des pressions passe par le sommet du joint à la clef. Ce cas, qui n'est qu'un cas particulier, serait le seul possible d'après la théorie de Moseley: ce qui évidemment repose sur une erreur.

Pour que l'on ne soit pas trompé par les formules que donne

Moseley au paragraphe 344 de son ouvrage précité pour les arcs de

•cercle (n*** 488 et 489), formules qui semblent donner des valeurs

nies tant pour le minimum absolu de la poussée qtie pour la disance au centre des arcs du point d'application à latlôf, il est essentiel le remarquer que ces formules dépendent de Tangle de rupture ^, B'est-à-dire de l'angle des joints de rupture avec la verticale. Cet angle de rupture doit avoir été préalablement tiré de l'équation n* 487, qu'on déduit dé la condition de nullité du coefficient différentiel de la poussée Q par rapport à l'angle ^. Pour les voûtes à joint vertical à la clef, on a pour cette équation n** 487 la forme :

8in 2 4^ — 2 t|/= quantité positive.

Gomme, pour toutes les valeurs positives de ^j;, sin 2 i// est plus petit que 2 v^, il s'ensuit qu'une valeur négative de ^ peut seule répondre à l'égalité qui précède. Or il est impossible de satisfaire à cette dernière condition : donc la règle qui y conduit et les formules 9ui s'y rapportent ou s'en déduisent ne sont pas applicables à la théorie des voûted.

2. M. Méry {Annales des ponts et chaussées^ 1840^ V* semestre) i ausû étudié les voûtes parles courbes des pressions. Mais il laisse mbràitef rtniiétennination qu^on rencontre, dans une voûte stable H qui a'est pas à la limite de stabilité, entre les courbes possibles în nombre infini, tandis que nous déterminons parmi ces courbes a véritable au inoyen du principe de la moindre résistance qui burnit la condition caractéristique de la moindre poussée possible. ]lette condition est exacte non-seulement en théorie, mais dans 'application, pourvu qu'on cherche tnttthétoatiquetoent la courbe lans le cas des voussoirs incompressibles ; elle donne une simple ipproximatîon dans le cas des voussoirs compressibles, attendu que a loi de l'élasticité dans les réactions des voussoirs est inconnue.

M. Méry cherche la courbe correspondant au minimum et celle correspondant au maximum de la poussée. Mais il avance sans Dreuve que, dans chaque demi-voûte, la première courbe doit néces- ^irement toucher l'extrados dans le voisinage du sommet et l'inirados près des naissances, que la seconde doit toucher l'intrados ians le voisinage du sommet et l'extrados près des naissances. Cette proposition n'est pas exacte : ainsi que nous Tavons démontré, il y k deux sortes de voûtes qui peuvent toutes deux offrir le minimum de la poussée, et sont dans des conditions opposées relativement aux

^li STABILITE DES CONSTRUCTIONS.

caractères donî; il s agit ; le dernier de ces caractères peut répondre aussi bien au minimum qu'au maximum de la poussée. . A cause de l'indétermination de cette vraie courbe des pressions, M. Méry se restreint à la considération de voûtes qui, eu égard à leur forme spéciale, sont à la limite de l'équilibre, et pour lesquelles, par suite, la courbé des pressions de poussée minimum et celle dp poussée maximum doivent coïncider. Dans l'énumération des cas spéciaux qui se rapportent à cette hypothèse, il omet les cas représentés par les courbes CMNI (fig. 112) et KNMA (fig. 113). L'énumération a encore ceci de défectueux, qu'elle repose uniquement sur une combinaison des deux caractères appliqués ci-dessus, tandis que la combinaison des vrais caractères que nous avons présentés pour les courbes répondant au minimum ou au maximum de la poussée aurait donné une bien plus grande variété de cas d'équilibre

lig. 112. Fig lis.

limite. Gomme les caractères des deux courbes ci-dessus définie» ont été indiqués sans preuves, M. Méry ne peut pas conclure que ses courbes, qui d'après lui répondent aux limites de stabilité, sont les seules possibles dans ces voûtes, et qu'ainsi la stabilité limite y subsiste effectivement. D'ailleurs cela ne saurait être prouvé, car ie fait n'est pas vrai dans toute la généralité qu'on lui veut attribuer. Par exemple, le cas où une courbe des pressions passerait par les deux points extérieurs de la clef et des naissances, et toucherait en même temps l'intrados en un point intermédiaire N, ce cas, traité particulièrement par Méry, ne peut correspondre en général aux limites de la stabilité : car, du moment que le point B (fig. lU)

est plus haut que le point N, il y a encore une infinité de courbes des pressions, comme l'K', qui demeurent dans l'intérieur de Tare, et qui peuvent ainsi maintenir en équilibre la voûte proposée. 3. M. Hagen. {Uber Fonn und np. m.

Stàrke gewblbter Bogen^ Mémoires

de l'Académie de Berlin, 1^844) fonde

également la théorie des \oûtes sur la

considération de la courbe des pressions; il fixe une fois pour toutes le

point d'application de 1a poussée à la

clef au milieu de la clef et le point

inférieur de la courbe djss pressions au milieu du joint de naissance, et exige en outre que cette courbe passe par les milieux do tous les joints, voulant obtenir ainsi la plus grande stabilité possible.

Quand, dans une voûte, ou peut construire une courbe passant par les milieux de la clef et du joint de culée, et ne sortant en aucun point.de l'épaisseur delî^ voûte, assurément c'est une courbe des pressMhs possible. Mais il ne s'ensuit nullement qu'elle soit la véritable et que la poussée correspondante existe réellement. De plus, c^t6 hypothèse laisse échapper presque complètement la diversité des phénomènes touchant la position et le nombre des joints de rupture, et l'on ne connaît plus le mode de destruction des voûtes iastableB. Au reste, il résulta de ce que nous avons vu plus haut qu'une voûte, pour laquelle on peut imaginer une courbe des pressions passant par le milieu des joints, est stable en ce qui concerne la rotation des voussoirs autour de leurs arêtes, quelle que soit la eompressibilité de la matière des voussoirs. Quand donc la voûte est de dimensions telles que cette condition soit satisfaite, on peut bien dans la pratique compter sur la plus grande stabilité possible contre la rotation ; mais comme la vraie courbe des pressions s'éloignera toujours en ungrand nombre de points du milieu des joints, et que, par conséquent, la pression n'est pas du tout uniformément répartie dans les joints, il s'ensuit que le danger d'écrasement des voussoirs a'est nullement conjuré, si l'on ne donne à la voûte ainsi déterminée ijue l'épaisseur qui suffirait, d'après M. Hagen, pour assurer la stabilité : épaisseur qui serait suffisante, si les pressions résultantes sur es joints passaient partout au milieu des joints.

On doit encore remarquer que, pour construire approximative-

ment une courbe des pressions dont le point d'application K à h clef est donné (fig. 115), et qui répond h une poussée Q, l'auteur commence par substituer au poid» d'un voussoir quelconque CDFM celui de CDFL qui en diffère peu, FL étant la verticale du point F. Cette substitution conduit à négliger la petite masse triangulaire MFL ; la grandeur et 1& direction de la pression agissant contre MF n'en sont pas en général beaucoup changées ; c'est pourquoi nous avions adopté cette simplification dans nos premières recherches, et ce n*est que plus tard que nous avons été conduit, par l'étude de voûtes tout à &it irrégulières, à introduire une correction qui est souvent nécessaire. Mais ensuite M. Hagen, déterminant le pointde la courbe des pressions qui correspond au poids du voussoir CDFL, p. jjj. le place à l'intersection de h

pression avec la verticale LF et non avec le joint MF : d'où résulte une erreur dont l'hnportance ne se mesure pas au rapport des masses MFL, CDFM, mais peut devenir telle que Vèa soit conduit à prendre pour la courbe des pressions une courbe qui n'a avec elle aucune analogie.

4. M. Weisbach {Lehrbuch ier Ingénieur -^ und Maschinen — Mechanikj 2* partie) emploie simultanément, dans l'étude de la théorie des voûtes, la chaînette et la courbe des pressions, qu'il paraît regarder comme identiques: cela résulte du moins des figures des paragraphes 16, 17, 18, et de la commune dénomination de ligne de pression (Drucklinie) qu'il leur donne. Cependant il consacre la seconde à l'équilibre de rotation, la première à l'équilibre de glissement. Mais on a signalé plus haut la différence importante qui existe entre ces deux courbes et le rôle que joue dans la théorie des voûtes la chaînette, qui n'a nullement besoin de demeurer dans l'épaisseur de la voûte.

M. Weisbach se borne, en ce qui concerne l'équilibre de rotation,, à établir un seul principe général, savoir : dans une voûte stable il doit y avoir au moins une courbe des pressions qui ne sorte pas de l'épaisseur de la voûte. C'est incontestable, mais cela n apprend rien sur la vraie courbe des pressions, sur le maximum et le

lîuinium de la poussée, et sur la nature spéciale de l'équilibre qui « produit. Il donne pour l'instabilité le caractère inadmissible que foici : Si les lignes de pression coupent Tintrados, la rupture aura lieu en dedans; si elles coupent Textrados, la rupture aura lieu en dehors. Or on sait que dans une voûte instable, aussi bien que dans toute voûte stable, il y a des lignes Kig. us.

de pression qui coupent l'intrados et l'extradoai la fois ; en outre, dans une voûte qui se rompt, il y a toujours rotation partielle en decbins, rotation partielle en dehors, et ces deux rotations peuvent se eombiner, comme on sait, de beaucoup de mani&res. Knfin, la figure donnée par | M. \Vei8bach (fig. 116) ne saurait représenter la manière dont la rupture se fera dans le premier des cas particuliers considérés ; car jamais une Voûte ne se rompra comme l'indique Ifi courbe DI, courbe que l*on peut tracer dans toute voûte stable, en pi».

donnant à la poussée en D une asse^ petite valeur. |jf( courbe QI de la figure 117 donnée 1 aussi par M. Weisbach ne peut pas davantage représenter le second cas de rupture,!

attendu qu'elle peut être tracée dans toute!

voûte stable, en donnant à la poussée une as-| sez grande valeur.

5. M, Barlow {The civil engineer and ar^ chitecfs Journal^ juillet 1847), adopte la théorie de Mpseley, mais il confond la courbe des pressions avec la cotirbe-^nveloppe des pressions, laquelle est une chaînette ou un polygone funiculaire, et il prétend prouver par l'expérience l'identité de ces deux courbes. On a vu plus haut que le polygone funiculaire ou la chaînette ne doit pas être confondu avec la courbe des pressions : leur distinction condamne la proposition de M, Barlow. Cet auteur décrit une expérience faite sur une voûte en plein cintre composée de dix-huit voussoirs égaux extradossés parallèlement ; son épaisseur était telle que la voûte était à l'état d'équilibre limite, et que la vraie courbe des pressions passait par les points supérieurs de la clef et des naissances, et touchait l'intrados dans l'intervalle. Cette voûte présentait la disposition de la figure 118. MNiNaN,,.. est le polygone funicu-

laire que M. Barlow confond avec la courbe des pressions MM.M.Mj... Ce polygone est tel, que ses côtés NiN^, N,Nj..., coupent les joints correspondants E^Fj, E,F,... en des points M^, M^, qui se trou^enl dans l'épaisseur de la voûte : d'où il suit que la voûte est en éqiùlibre, sans que MMiM^M^... soit pour cela la vraie courbe des pressions correspondant ^u mi- pj ^^^ nimum de la poussée. Si maintenant on suppose que les points extrêmes de la courbe MM^M^M^... sont aux points supérieurs de la clef et des naissances, cette courbe devient, sous les conditions particulières (jui résultent des dimensions adoptées, la vraie courbe des pressions ; mais elle diffère toujours, plus ou moins suivant les circonstances, mais; d'une quantité finie, du polygone funiculaire correspondant.

M. Barlow trouve, dans Texpérience citée, que le polygone funiculaire MNjNaN,..'. est le même, sauf renversement, que celui qtie forme un fil flexible chargé des mêmes poids : cela prouve «witement que, dans le cas particulier considéré, le polygone funicu]|aire correspondant à la courbe des pressions demeure dans l'épaisseur de la voûte, qu'il se termine à l'extrados, tant à la clef qu'aux naissances, et qu'entre ces deux points il y â contact avec l'intrados. Ce fait, qui résulte déjà des lois de l'équilibre dés voûtes conamé cas particulier, n'avait pas besoin d'être établi par expériences; et l'on tombe dans l'erreur si l'on en veut tirer des conséquences générales.

Au reste, le mémoire de M. Barlow s'attache surtout au cas où la vraie courbe des pressions part du sommet de la clef, seul cas examiné déjà par Moseley ; mais on n'y trouve ni la vraie condition d'existence de ce cas, ni son étendue effective.

M. Barlow remarque en outre qu'il peut provenir d'une voûte voisine une pression de dehors en dedans pour la voûte considérée. 11 attache beaucoup d'importance à l'étude du cas où des voûtes non

UVllE II. — THÉORIE DES VOUTES. 217

identiques viennent s'appuyer contre une même pile : il ne pousse pas d'ailleurs cette étude jusqu'au bout. Il est superflu de prouver l'importance pratique d'une telle recherche, laquelle comprend aussi le cas fréquent où deux arcs égaux sont inégalement chargés.

Les remarques suivantes serviront de guide pour l'éclaircissement de C3S cas, dans le détail desquels nous ne saurions entrer ici.

Soient {fig.U9) ABFE, A'BT'E', deux voûtes différentes qui appuient contre une pile commune par les surfaces AB, A'B'; oient IK, TK' les courbes des pressions correspondant dans les êiix arcs à un minimum de la poussée : ces courbes se continuent ans les piles extérieures suivant les courbes KN, K'N'. La réunion es pressions agissant en 1^ T avec les poids des parties successives, . jointe horizon taux j de la pile du milieu BB'M, détermine dans cette

jîle une courbe des pressions LM, qui serait une verticale si les leùx voûtes étaient égales de forme et de charge, et qui est une îourbedans le cas contraire. Tant que cette courbe se trouve tout entière dans l'intérieur de la pile, il n'y a î^ucune tendance à la roation autour d'une arête de joint ; si, en même temps, l'angle de la lormale à chaque joint avec la pression si^r ce join^ est inférieur à 'angle du frottement (ce qui aura presque toujours lieu), la pile est lussi en sûreté contre le glissement. Alors, malgré l'inégalité des K)ussées des deux voûtes, il n'y a aucune raison de cesser de conîdérer les courbes IK, TK', qui répondent aux minimums des K)ussées respectives, comme les vraies courbes des pressions. Si, au ontraire, la courbe des pressions de la pile tombait en partie en

218 STABILITÉ DES CONSTKUCTlOiNS.

dehors, comme LM', il s'ensuivrait nécessairement des cbangemènt^ dans les autres courbes. La pile alors, sous la plus petite poussée de la voûte ABFE, ne serait plus en état de résister à celle de A'B'F'E'; cette dernière poussée conduit donc à une poussée de la première voûte plus grande que celle qui répond à la courbe IK. Toutefois, d'après le principe de la moindre résistance, la poussée de la voûte ABFE demeurera aussi petite que possible. On satisfera à cette condition par la plus faible augmentation de la poussée de ABFE qw soit capable de ramener la courbe des pressions de la pile dans l'épaisseur de cette pile, comme par exemple /m^ De la sorte, la courbe l'K' de la voûte A'B'F'E' ne change pas, et celle IKN de ABFE se transforme en une autre telle que lA», qui répond à une poussée plus forte que la poussée minimum qui répondrait à l'arc isolé.

Les Considérations qui précèdent sur les principales théories des voûtes feraient justice des nombreuses observations contradictoires qui se sont produites, après la lecture du mémoire de M. Barlow, au sein de Tlnstitut des ingénieurs civils de Londres, et que Ton trouvera dans le Civil engineer and architecfs Journal (août I8i7).

6. M. Garvallo {Étude sur la stabilité des voûtes^ dans les Anmles des ponts et chaussées, 18S3), fonde aussi sa théorie sur les courbes des pressions, mais d'une manière tout à fait imparfaite et insuffisante.

Pour éviter les difficultés que présente l'application de Tanalyse aux courbes des pressions, il substitue aux joints inclinés réds des joints verticaux fictifs, changement que nous avons déjà critiqué plus haut, en rappelant l'expérience de M. Hagen, et qui ne peut que conduire à des résultats fautifs. Un de ces faux résultats, qui se déduit tout naturellement de l'hypothèse des joints verticaux, est que la courbe des pressions d'une voûte chargée est indépendante de la forme de l'extrados*.

* Remarquons que cette courbe n'aura la forme Im que dans le cas trèsexceptionnel de pressions horizontales appliquées à la face gauche de la pile. En général, la courbe s'obtiendra par la composition de la résultante des deux poussées avec le poids des tranches successives. Cette courbe sera alors une logarithmique n'ayant sa tangente verticale qu'à l'infini. f.a courbe Im ne sera donc pas tangente à la face droite de la pile, mais elle passera par le point inférieur de cette face. Cela ne change rien du reste aux observations de Fauteur.

* Le théorème que M. Carvallo établit, avec le secours du calcul intégral, est

Le principe de la moindre résistance de Moseléy et la condition qui en découle pour la vraie courbe des pressions sont inconnus à M. Carvallo. Ayant à traiter quelques cas particuliers, peu nombreux et sans lien rationnel, il a recours, pour déterminer le point d'application de la poussée, non aux principes, mais aux expériences. Ainsi tout ce travail se réduit à la récherche de certaines courbes des pressions possibles, et comme cette recherche s'applique à un système de joints fictifs, les résultats obtenus n'ont aucune importance pour la vraie théorie des voûtes, et sont trèsloin d'éclaircir les apparences (Jiverses que peuvent offrir les voûtes de formes variées. Même pour des cas très-simples, tels que celui des ogives, il admet, à défaut de principes, des conditions arbitraires qui conduisent à des ^hypothèses et à des formules absolument fausses. Dans tout le mémoire il n'est jamais question que d'un seul joint de rupture, par là on peut juger du peu de valeur de l'ouvrage.

Ainsi, au n* 14 de cet éciit, on admet que, dans une ogive, la courbe des pressions touche l'intrados au sommet et l'extrados au joint de rupture, tandis que^ dans une telle voûte, il y a deux joints de rupture et deux contacts avec l'intrados et l'extrados, et que la courbe s'approche à la clef, suivant la forme et la chaîne, tantôt de l'intrados, tantôt de l'extrados, circonstance indifférente pour la position des joints de rupture.

Aux n*" 14 et 19 on afBrme aussi, ce qui est faux, que l'on peut construire des voûtes dans lesquelles les courbes des pressicHis et les joints de rupture occupent telles places que Ton veut.

celui-ci : Si la voûte est surmontée de tympans en maçonnerie, identiques à la matière des voussoirs, et que l'on suppose les joints des voussoirs verticaux, la courbe des pressions est indépendante de l'extrados. Cette proposition est aussi évidente qu'inutile. Elle se déduit en effet immédiatement de Thypothèse des joints verticaux, et elle est inutile, car cette hypothèse fausse complètement les conditions de stabilité des voûtes. Les longs calculs qui terminent le mémoire de M. Carvallo ont donc été faits en pure perte. 11 est pénible de penser combien d'esprits distingués m fourvoient dans les questions de mécanique parce qu'ils veulent simplement y chercher des problèmes d'aoalyse, et qu'ils croient trouver dans les résultats de leurs formules des principes fondés sur la nature des choses, sans avoir commencé par introduire ces principes mêmes, dans les calculs.

« Rien, dit Poinsot, ne nous dispense d'étudier les choses en elles-mêmes, cl de nous rendre bien compte des idées qui font l'objet de nos spéculations. »

±20 STABILITÉ DES COxNSTHUCTlONS.

M. Carvallo s'appuie particulièrement sur l'hypothèse deNavier, relativement à la répartition des pressions sur la surface des joints, et il en conclut que la courbe des pressions peut en réalité s'approcher des courbes-contours de la voûte au plus à une distance ^ale au tiers de Tépaisseur du joint ; dans le cas d'un plus grand rapprochement de Tune des courbes-contours, les points voisins de l'autre subiraient des pressions négatives ou forces répulsives, ce qui veut dire que la rupture s'ensuivrait. Je ne fais aucun cas de cette hypothèse, précisément parce que ce n'est qu'une hypothèse sans fondement ; je la crois approximativement vraie dans certains cas, mais fausse dans d'autres, et range parmi les absurdités la conséquence ci-dessus énoncée de cette hypothèse.

Ainsi qu'on le voit par les voûtes dont les joints s'entr'ouvrent, la dureté des voussoirs de pierre peut fort bien permettre à une courbe des pressions d'arriver presque au contact des courbescontours, et, si cela est possible, il doit en être ainsi approximativement aux points de rupture dans les voûtes dont les joints demeurent fermés, attendu que ce contact répond au principe de la I ig. 120. moindre résistance. Il peut se produire, comme

le montre la figure 120, une compression qui réduise la surface pressée à une faible partie ab de la surface du jointe sans qu'il se produise en bc des efforts négatifs. L'inexactitude de cette hypothèse, en général, résulte d'ailleurs de ce fait qu'elle ne dépend pas de la direction de la force P, tandis que cette direction doit exercer une influence sérieuse sur la répartition des pressions.

En admettant le contact entre la courbe des pressions et les courbes-contours, on s'approche assurément beaucoup de la vérité, beaucoup plus que par l'hypothèse de M. Carvallo, qui porte à un tiers de l'épaisseur du joint la distance minimum de ces deux lignes. Aucune expérience ne confirnie cette dernière hypothèse, tandis qu'il y en a à l'appui du contact approximatif ;^ar, en partant de l'hypothèse du contact, on trouve théoriquement qu'un plein cintre non chargé demeure en équilibre quand le rayon ne dépasse pas neuf fois l'épaisseur de l'arc ; or la pratique confirme ce résultat. Si la limite du tiers de l'épaisseur du joint était imposée au rapprochement des courbes, l'équilibre exigerait un rayon au plus triple

de répaisseiir de la voûte, résultat contredit à chaque instant par l'expérience. Donc l'hypothèse qui lui sert de base est tout à fait inexacte.

Nous avons déjà dit qu'on peut tirer la même conclusion de l'examen des joints qui s'ouvrent dans les voûtes défectueuses.

Si, dans un cas particulier, on a affaire à des matériaux peu résistants, nous avons vu plus haut (§ 21) comment on garantit la voûte par une augmentation convenable d'épaisseur ou bien en en changeant la forme, de telle sorte que la ligne des milieux des joints soit une courbe des pressions possible, sans pour cela s'imaginer que cette courbe possible soit aussi la courbe des pressions réelle.

M. Carvallo prescrit de faire travailler les matériaux au dixième de la charge de rupture, en supposant la pression uniformément répartie sur la surface du joint : cette prescription n'est nullement pratique, soit parce qu'en général cette pression est beaucoup plus faible dans les applications, soit parce qu'elle varie dans des limites étendues, suivant les dimensions et la forme des voûtes.

Ces trop nombreuses erreurs sont habillées en formules transcendantes, qui ont pour effet d'imposer aux yeux inexpérimentés, mais aussi d'annuler l'utilité que les ingénieurs pourraient en tirer dans la pratique des constructions. En outre, cet ouvrage n'étudie que les voûtes à moitié symétriques : nouvelle raison pour en'signaler le manque de généralité.

Les grands éloges que donne M. Poncelet, dans son Examen historique et critique des principales théories concernant F équilibre des voûtes (Compte rendu de l'Académie des sciences, tome XXXV, 11, 18, 26 octobre et 2 novembre 1852 *) à cette théorie si défectueuse de M. Carvallo, sont en désaccord flagrant avec la vérité scientifique, sur laquelle beaucoup d'auteurs plus anciens, qui partaient du même point de vue que M. Carvallo, notamment Moseley et Méry, avaient déjà projeté une bien plus vive lumière.

Des considérations de M. Poncelet, particulièrement de ses remarques sur la détermination de la vraie poussée et de la vraie courbe des pressions, il résulte que M. Poncelet lui-même ne se rend pas clairement compte de la véritable nature des forces appliquées à une voûte. Cela ressort, par exemple, de cette proposition

* Cet Examen a ôtû aussi tiré à part. Bachelier, 1852. ^^

2^2 STABILITÉ DES COiNSTRUCTlONS.

énoncée à la page 42 de son Examen, historique ^ que, pour établir une voûte le pluâ économiquement possible, il faut faire en sorte que la vraie courbe des pressions passe par les milieux des joints, ce qui est positivement impossible.

Mon mémoire sur la théorie des voûtes dans le journal de Crdle a aussi eu Thonneur d'être cité avec éloge par M. Poncelet*. Mais

^ Voici en quels termes s^exprime M. Poncelet dans son Examen hislmque déjà cité :

IL Ces nouvelles recherches^ qui ont paru en allemand dans le tome XXIX, 3« cahier du Jtmmal drs eonstrucUons de M. Crclle, concernent plutôt le point de vue théorique et abstrait de la question des voûtes que ses applications pratiques à l'art de l'ingénieur. Il s'agit, en un mot, de généraliser, en les reetifiant et complétant en quelques points, les principes qui ont servi de base aux théories existantes, en considérant que, dans Tétat d'équilibre d'une voûte, la résultante des pressions sur le joint vertical de la clef doit satisfaire à la condition du minimum^ d'après un principe mis en avant par M. Moseley (Pltlofophical Magazine^ octobre 1833j, sous le nom de principe de moindre résistance, et dont M. Scheffler a ensuite étendu et mis dans son jour la véritable signification dans un précédent mémoire inséré au tome XXVIII du journal déjà cité de M. Crelle,

(( Ce principe, dont l'énoncé, assez évident en lui-même, pourrait être généralisé, ne diffère pas, quant au fond, de celui dont Coulomb a offert, dans son mémoire de 1763, de si belles applications aux théories de la résistance des solides, de'la poussée des terres et des voûtes, toute la difficulté étant seulement d'en tirer, sans trop de tâtonnements ou de calculs, des conséquences exactes relatives à la forme et à la position de la ligne des pressions en dehors du cas où elle est supposée devoir passer par certains points donnés à priori, ainsi que l'avaient fait auparavant MM. Moseley et Méry en se plaçant franchement dans les conditions de l'équilibre strict envisagées par Coulomb comme de simples limites à la stabilité des voûtes. Or c est là précisément oe que se propose de faire M. SchefQer, tout en restant dans l'hypothèse de l'incompressibilité parfaite des voussoirs, et sans rien emprunter à 1 expérience non plus qu'aux données antérieurement acquises sur les différents modes de rupture des voûtes. ....

(( Cette détermination toute géométrique (de la courbe des pressions), à nos yeux le point capital du mémoire, exigeant pour ainsi dire un nombre illimité de constructions ou de tâtonnements, rend la méthode à peu près illusoire dans ses applications à la pratique. »

Aux observations que présente M. Schefûer sur cet exposé de M. Poncelet, nous ajouterons une seule remarque. Le savant académicien, qui .est à tant de titres le légitime successeur de Coulomb, attribue à son illustre devancier le principe de la moindre résistance. Nous n'avons pu découvrir aucun mémoire de Coulomb portant la date de 4783 ; si, comme il est probable, il s'agit ici de celui de 1773, nous devons dire qu'il nous a été impossible de trouver trace de

l'éloge porte sur des points accessoires qui méritaient à peine d'être relevés ; le fond du mémoire n'est pas mentionné. Par exemple, M. Poncelet dit (page 26) que ma méthode graphique pour la détermination de la courbe des pressions, laquelle est à ses yeux la partie capitale de mon mémoire, rend presque illusoire l'application pratique de ma théorie, parce qu'elle exige une infinité de constnictions ou de tâtonnements. Je dois croire que le sens Vrai du mémoire lui a échappé à une lecture trop rapide. Les nombreux exemples développés plus haut, même pour les formes et les charges les plus compliquées, montrent clairement que quiconque a une teinture des mathématiques peut appliquer cette théorie sans peine et avec la plus grande rapidité ; qu'ainsi cette méthode est, pratiquement, la plus simple de toutes. Ces exemples établissent, de plus, que cette théorie est appropriée à la solution de tous les problèmes relatifs aux voûtes, et s'applique aux systèmes les plus simples ou les plus compliqués, avec une égale facilité. Pour ce qui concerne les constructions sans fin, que le lecteur n'a sûrement pas remarquées dans les exemples ci-dessus, ni par conséquent jugé nécessaires, un instant de réflexion montre que ce même reproche peut s'appliquer à la détermination de toute grandeur incommensurable, par exemple à l'extraction des racines carrées, qui exige aussi un nombr,e infini d'opérations, si l'on veut une exactitude absolue. Ce réproche n'a donc pas de sens.

7. M. Hoffmann a publié récemment un ouvrage {Uber Form tend Stârke gewôlbter Bogen^ 1853) qui rentre dans la catégorie de ceux dont il a été parlé dans le paragraphe précédent, puisqu'il emploie la considération de lignes articulées. Il commence par reproduire les propositions connues sur le mode d'équilibre possible d'une

remploi du principe de là moindre résistance^ bien que l'ordre d'idées où se place Coalomb soit le même qui a servi de base à ce principe. Si Coulomb l'avait possédé) n'auraitil pas levé Tindétermination dont il se débarrasse en se restrei^ant à l'équilibre limite ? Mais il y a plus : M. Poncelet trouve Ténoncc de ce priBcipe a$uz évident. Nous craignons bien que le lecteur français ne le troave encore un peu trop métaphysique, malgré les explications données au oonM&encement de cet ouvrage. Enfin, si, comme Fannonce M. Poncelet, ce principe est susceptible d'être généralisé, cette généralisation serait bien désirable à tous ^ards et devrait tenter les esprits chercheurs. N'oublions pas, en effet, qu'à côté des voûtes droites que nous venons d'étudier se trouve la nombreuse fomiUe des arches biaises, indéfinimeni^ variée. U y a là une voie de recherches à peine abmtiéc jusqu'ici. ^^

24i STABILITE DES CONSTRUCTIONS.

rangée de prismes s'appuyant les uns sur les autres. Ces théorèmes sont sans importance pour la théorie des voûtes : ils établissent en efifet la possibilité d'un groupe de forces sous certaines conditions, et nullement la réalité de Texistence d'un certain groupe de forces , sous les conditions données d'une voûte. Il n'est là question ni de minimum de poussée, ni de joint de rupture, ni d'aucune distinction des formes de voûtes suivant les divers contacts des courbescontours et de celle des pressions, ni d'un caractère indiquant le mode de rupture d'une voûte instable ; en résumé , aucun des points principaux que doit traiter une théorie des voûtes n'est abordé.

Cet ouvrage ne s'occupe pas non plus de l'épaisseur des culées, mais seulement de celle de la voûte. A cet effet, il part tout simplement de la pression supposée répartie uniformément sur les joints, et déterminée par les formules de la résistance des matériaux. Mais il est avéré qu'il n'y a nullement répartition uniforme des pressions sur les joints, et en outre nous avons prouvé au paragraphe 22 que, dans la pratique, il n'y a pas lieu de considérer pour toutes les voûtes une seule et même fraction de la résistance limite, caria pression par mètre carré atteint, dans les grandes arches, de dix à vingt fois la valeur qu'elle a dans les petites \

* Nous ne croyons pas pouvoir passer sous silence le mémoire de M Yvon Villarceau, publié d'abord dans le tome XII du Recueil des savants élran^en, et ensuite à part chez Bachelier, 1834. En outre, la Revue de l'arehiteeture et du travaux publics de M. César Daly a publié en 4859 (17« Yolumes), un mémoire intéressant de M. Denfert-Rochereau, capitaine du génie, sur ce même sujet des voûtes. Voici comment ce dernier apprécie, au commencement de son mémoire, le travail du premier :

a M. Y von Villarceau admet que les matériaux superposés à la voûte peuvent, par certains artifices de construction, presser comme un liquide de densité ^e à la leur, c'est-à-dire exercer sur chaque voussoir des actions normales à Tcxtrados avec une intensité proportionnelle à la hauteur de rhorizontale qui limite le remplissage du pont au dessus de ce voussoir. 11 part ensuite de là pour établir les équations générales de l'équilibre^ de manière que la résultante des efforts appliqués sur chaque voussoir passe par le centre de gravité du voussoir, en étant en chaque point tangente à la courbe des centres de gravité, et, par conséquent, normale aux divers joints tracés suivant le rayon de courbure de cette courbe. Comme la courbe des centres de gravité est toujours très-voisine de celle du milieu des joints, et que Ton peut, par un petit refouillement très-peu important à Tintrados, les faire réellement coïncider, M. Yvon Villarceau obtient évidemment, par la répartition d'efforts

<|Q'i! suppose, une forme de iroûte dont la stabilité n'exige ni Tintervention des frottements, ni la cohésion du mortier, et qui exerce en chaque point des matériaux une égale pression. De plus, cette Yoûte, douée d'une grande roideur, ne deyra présenter, pour des matériaux très-peu élastiques comme les pierres, qa^un très-faible abaissement quand on décintrera. Elle aura partout une même épaisseur qui sera calculée sur Ténergie de résistance qu'on peut développer dans les matériaux sans altérer leur élasticité.

« On doit reconnaître, au point de Yue de Part, une grande supériorité à la solution de M. Yvon Villarceau sur celle de M. Garvallo. La marche suivie par M. Yvon Villarceau conduit, en effet, à des voûtes dont la forme, indépendante de la matière employée, caractérise Thomogénéité de résistance. La résistance propre de la matière est très-nettement définie par l'épaisseur de la voûte. Nous rencontrons donc là deux conditions d'une solution à la fois artistique et économique, forme propre et manifestation d'un module capable de servir d'échelle de comparaison. ,

« L'appel à des considérations hypothétiques sur les réactions moléculaires des corps et le défaut de tout caractère architectonique forment le côté faible de la solution de M. Garvallo. Biais nous sommes pour M. Garvallo contre M. Yvon Villarceau, en ce que le premier admet que l'extrados est soumis à des actions verticales, tandis que le second admet que cet extrados est soumis en chaque point à des actions normales aux éléments de sa surface, v

Après quoi, M. Denfert-Rochereau prouve fort bien que la pression s'exerce en réalité verticalement et non normalement sur l'extrados.

Inutile maintenant de faire observer combien les prétentions mises en avant par M. Yvon Villarceau sont inadmissibles : cette courbe des pressions, passant par le centre de gravité des voussoirs, normale aux joints, cette répartition uniforme des pressions dans chaque joint sont pui'ement imaginaires et ne peuvent se réaliser dans aucun cas. Telle est la solution obtenue à la suite d'énormes calculs, exigeant un mémoire explicatif de plus de 300 pages pour ne traiter que le cas le plus simple. U semble que le désir d'utiliser les intégrales elliptiques dans la science des constructions a seul dû conduire les commissaires de l'Académie des sciences à récompenser ce travail, si inutile pour le progrès de la théorie et, à plus forte raison, pour la pratique.

M Denfert-Rochereau a plus finement analysé les conditions du problème. Il a reconnu que ses devanciers se donnaient d'avance un trop grand nombre de conditions. Au lieu de quatre, il s'est restreint à trois :

!• Que la courbe moyenne soit une courbe des pressions possible, ce qui lui donne une chaînette ;

2^ Que la pression par unité superficielle soit la même dans tous les joints, ce qui conduit à donner aux joints des longueurs proportionnelles à l'intensité des pressions ;

3® Que cette pression constante égale un nombre déterminé de kilogrammes par centimètre carré.

Gela fait, il vérifie à posteriori que la pression fait avec la normale à chaque joint un petit angle ; tandis que M. Villarceau ajoutait à toutes les conditions précédentes celle de la normalité.

Le mémoire de M. Denfert-Rochereau a donc une valeur théorique et pratique bien supérieure à celle des précédents.

Si Ton ne considère pas sa méthode comme donnant la courbe iréritable des pressions^ mais bien comme un procédé donnant aux voûtes une grande stabilité, nous croyons qu'on peut regarder son but comme atteint. Dans tous les cas, son très-ingénieux mémoire sera lu avec intérêt par ceux qui s'occupent de ces questions. Ce mémoire n'a pas été Tobjet d'un rapport à l'Institut, à qui il avait été soumis ; il a été retiré après deux ou trois ans par son auteur, las d'attendre un trop lent rapport.