DES PRESSIONS DANS L'INTÉRIEUR D'UN MASSIF DE TERRE

§ 67.— Généralités.

Nous entendoQS ici par terre un corps homogène et incompressible, dont les plus petites particules peuvent recevoir des déplacements relatifs , mais qui opposent à ce déplacement une résistance appelée frottement. A ce frottement peut aussi se joindre la force de cohésion^ qui s'oppose à la séparation des molécules voisines résultant du déplacement relatif.

La loi de répartition de la pression statique, dans Tintérieur d'un massif de terre en équilibre, est encore inconnue entièrement. L'ouvrage d'Ortmann, intitulé la Statique du sable^ et publié en 1847^ a cherché à établir cette loi, mais sans succès, cette théorie étant fondée sur des hypothèses en désaccord avec la nature de la terre.

On s'est contenté, dans l'application, de chercher la pression résultante qu'exerce un massif de terre sur une partie finie des parois qui le limitent. A cet effet , on a considéré la partie du massif qui exerce un effort maximum pour glisser sur sa base et.chasser devant elle la paroi qui résiste à cette poussée. Mais on n'a pas su donner une solution exacte et générale de ce problème, qui n'est pourtant qu'un cas particulier de la statique des terres ; en effet, on a toujours accepté pour point de départ cette hypothèse dénuée de pireuves, que le massif de plus grande poussée a une base plane.

11 serait désirable de posséder un développement rationnel et complet de la statique des terres permettant d'éclaipcir tous lies phénomènes qui s'y rattachent, ainsi qu'on exçlv(ç\eeiwVL>idLt«ï^afiwagsA

2Sr, STAIULITK DKS CONSTHUCTIONS.

les phénomènes d'équilibre des liquides parfaits ; mais il faudrait pour cela connaître la loi de répartition dans tous les points du massif d*une pression exercée en un point de sa surface. Peut-être appartiendra-t-il à la sagacité d'un géomètre de déduire cette loi générale de principes purement théoriques ; ou bien cette loi pourra être découverte empiriquement par des expériences pratiques. En attendiant, on peut, sans le secours d'hypothèses, déduire des principes généraux de la statique les conditions d'équilibre et la répartition des pressions dans un massif de terre, en se restreignant au cas simple que nous allons délinir.

Soit un massif (fig. 122) indéfini dans toutes les directions horizontales, porté inférieurement par un plan horizontal fixe CD et limité Fig. 122. supérieurement à un plan horizon-

tal AB chargé uniformément par une pression extérieure. Les propriétés physiques du système sont les suivantes : ses parties ne sauraient éprouver de changement de volume sensible ; elles sont cependant mobiles les unes par rapport aux autres; ce déplacement relatif donne lieu à la force de frottement parallMe à la face de contact, et à une force dci cohésion parallèle à la face de contact et proportionnelle à l'étendue de cette face; enfin chaque tranche de terre supporte les poids qui sont appliqués verticalement au-dessus d'elle.

Dans un tel système on peut établir immédiatement les deux lois suivantes :

1** La pression qui s'exerce sur un élément e f d'une section horizontale quelconque EF est nécessairement verticale. Les dispositions physiques des molécules en contact ne s'opposeraient pas à ce que cette pression fût oblique, mais la verticalité de la pression résulte de la symétrie complète qui existe dans le massif autour de la verticale de l'élément e /, en sorte qu'il n'y a pas plus de raison pour que la pression se dirige plutôt d'un côté que de l'autre. Comme, en outre, la section EF supporte tout le poids du massif situé audessus, et que, en vertu de la symétrie, tous les éléments de cette tranche doivent être également chargés à surface égale, il s'ensuit que la pression verticale qui s'exerce sur e/ égale le poids du prisra«

LIVHK III. - POUSSÉK DKS TERRES. 287

de terre aefb qui s'élève verticalement au-dessus de ef\ plus la charge supérieure correspondante, appliquée sur ab,

2° Dans une section verticale quelconque ac^ chaque élément superficiel 5'A ne peut supporter qu'une pression horizontale, normale • à l'élément. Car admettons que cette pression n'agisse pas normalement à gh^ mais obliquement suivant Ae, en considérant l'action de la masse située à droite du plan ac; alors, en considérant l'action de la masse située à gauche de ac^ symétrique à la première, on devrait admettre une pression H symétrique de ki; mais les deux forces ki^ li ne sauraient se faire équilibre.

En outre, il est clair qu'à une même profondeur «/, au-dessous de AB, la pression horizontale appliquée à l'unité de surface dans une direction quelconque autour du point i a nécessairement la même valeur.

§ 68. — Valeur de la poussée des terres d'après les considérations précédentes.

Nous allons déduire de nos deux principes ci-dessus la valeur de la poussée qui s'exerce dans l'intérieur d'un massif de terre sur une portion déterminée d'une section verti- '''^- *^^-

cale, ainsi que sur une surface d'inclinaison quelconque.

Nous conservons le massif déjà décrit : soit GDFE (fig. 123) un tronc de prisme à axe vertical et à section rectangulaire infiniment petite; sa base supérieure CD est sur la face supérieure du massif, sa base inférieure est déterminée par un plan sécant EF d'inclinaison quelconque. Soient :

A la section CD infiniment petite de ce prisme,

h 5a hauteur verticale moyenne GH,

CL Tangle GHF de l'axe vertical GH avec la base inférieure EF,

p la pression atmosphérique sur l'unité de surface de AB,

%o le poids de l'unité de volume du massif,

P la pression résultante qu'exerce le massif ambiant contre la base oblique EF,

plsi même pression, rapportée à Tunité de la surface EF,

rp Fangle de cette pression avec la normale à la surface EF,

N, S les composantes de la force P, respectivement normale et parallèle à EF,

w, s les mêmes composantes^ rapportées à Tunité de surface de EF,

Q la force horizontale qui s*exerce contre la projection verticale El de la base EF, à raison de la pression du massif ambiant,

q la même force, rapportée à Tunité de surface de El,

y Tangle du frottement de deux portions du massif se touchant par des faces planes, sans tenir compte delà cohésion^

k la grandeur de la force de cohésion rapportée à l'unité de surface de contact^ force parallèle à la surface de contact et qui doit être détruite ainsi que le frottement avant que le glissement puisse s'opérer sur cette face,

K la grandeur de la force de cohésion pour l'étendue entière de la face EP,

W le poids du prisme de terre (jH tout entier, y compris la pression atmosphérique qui s'exerce verticalement sur la surface supérieure CD.

Nous avons vil que la pression du massif ardbiant sur toutes les parties des parois verticales dû prisme CEFD est dirigée horizontalement, que la pression sur chaque élément horizontal est verticale: il s'ensuit que, pour chaque tranche horizontale telle que cdfi , les pressions qui s'exercent contre les parois verticales se font équilibre. Il en est ainsi de toutes les tranches, depuis la face supérieure jusqu'au plan horizontal IF qui passe par le point le plus haut de la base inférieure. Laissant donc de côté tout ce groupe de forces horizontales qui se détruisent, ôri voit que dans le prisme triangulaire lEF, les trois forces W, Q et P doivent se faire équilibre.

SI Ton connaissait la direction de la force P, qui représente l'actien du massif ambiant sur EF, les conditions d'équilibre de trois forces concourantes donneraient facilement la grandeur de cette force et aussi celle de la poussée Q. Plus la direction de P s'approchera delà verticale, plus la poussée horizontale Q sera faible ; puisque P pourra, d'autant plus complètement, faire équilibre au poids W sans Taide d'une force perpendiculaire. D'ailleurs cela résulte du principe de la moindre résistance, d'après lequel la composante horizontale de P, qui est égale et contraire à Q, doit être un minimum. En effet,