RUE SAINT-ANDRÉ-DES-ARTS

Notions historiques snr les propositions développées dans

oet oQvragre

« L'histoire d'une science, dit M. J. Bertrand, est trop complexe et trop délicate souvent à aborder, pour qu'on puisse d'une manière incidente trancher les questions en quelques lignes. Une indication incomplète est souvent une injustice » {Préface du premier volume du Calcul intégral). Pénétré de cette pensée, nous prions le lecteur de se rappeler que le cadre restreint de cet ouvrage nous oblige à ne donner ici que des renseignements très succincts, et nous demandons instamment à ceux qui, dans cet exposé, apercevraient quelques lacunes, de vouloir bien nous les signaler.

Beaucoup d'excellents ouvrages, mis jusqu'à ce jour

."N entre les mains des élèves, sont divisés en trois sec-

tions, Statique, Cinématique, Dynamique, de telle sorte

que le lecteur, plus désireux de satisfaire aux exigences d'un programme d'examen que de pénétrer l'esprit d'une science, s'imagine assez volontiers que l'une des

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parties entraîne nécessairement l'autre comme conséquence, et que l'invention de la dynamique n'aurait pas pu précéder celle de la statique. En fait, il n'en est rien. La science des mouvements et la science de l'équilibre n'ont été créées, ni l'une ni l'autre, d'une seule pièce, et les diverses parties qui les composent l'une et l'autre ont vu le jour à des époques très différentes. C'est ainsi qu'on doit à Archimède une théorie du levier, qui ne diffère pas, au fond, de la composition des forces parallèles ; mais, contrairement à ce que nous faisons aujourd'hui, le célèbre géomètre syracusain ne fait intervenir en rien la composition des forces concourantes. On lui doit aussi la notion de centre de gravité, complément naturel de la théorie des forces parallèles. Mais il ne paraît pas que jusqu'aux temps modernes la mécanique ait fait des progrès considérables; car Leibniz parle avec une admiration profonde des travaux que nous ont laissés sur ce sujet Pascal et, avant lui, Grégoire de Saint- Vincent (1584-1667).

A côté de ces travaux, dont l'importance est capitale, il nous faut mentionner, à titre moins important toutefois, les recherches du père Guldin, à qui l'on a coutume d'attribuer deux théorèmes célèbres sur les centres de gravité des lignes et des aires planes. D'après M. Mario, il convient de mieux envisager la question. Guldin n'a donné les énoncés de ses théorèmes qu'à titre de conjecture, après les avoir vérifiés sur un grand nombre d'exemples ; et, de fait, la démonstration complète et

rigoureuse de ces théorèmes ne pouvait pas être antérieure à l'invention de la méthode des infiniment petits, dont elle est une simple application.

Pour ne pas nous écarter de Tordre chronologique, nous devons remonter à la découverte du principe de Stévin (1548-1620). On sait qu'un corps pesant, de faibles dimensions, abandonné à lui-même sur un plan incliné, se déplace suivant la ligne de plus grande pente de ce plan, et Ton conçoit que son mouvement soit identique à celui que produirait, suivant cette ligne, un poids moindre que celui du corps. Quel est le rapport de ce poids au poids total ? et, plus généralement, quel est le rapport des forces, ainsi comprises, qui correspondraient à deux plans inclinés de même hauteur? Par une démonstration très originale, rapportée par M. Marie dans son Histoire des sciences mathématiques et physiques^ Stévin fait voir que le rapport de ces deux forces est bien le rapport inverse des longueurs des plans. Il va même plus loin. Une corde étant fixée par ses deux extrémités, et tendue suivant deux brins par un poids attaché en un de ses points, Stévin se demande quelle portion du poids total sera maintenue par chacun des brins du cordon. Assimilant chacun d'eux à la ligne de pente d'un plan incliné, il trouve que les deux forces ainsi déterminées sont celles dont les projections sur la verticale auraient une somme égale au poids total. Mais le langage dont il se sert nous paraît un peu long, à nous qui sommes accoutumés à la représen-

talion graphique des forces. Il n'en est pas moins vrai qu'il a entrevu le principe de la composition des forces concourantes, envisagées indépendamment du mouvement. Mais cette conception, si rigoureuse qu'elle soit, ne pouvait se présenter d'une manière bien nette avant celle qui consiste à déduire la composition des forces de l'effet que chacune d'elles produirait séparément. Pour y parvenir, il fallait avoir préalablement élucidé les idées que renferment et le principe de l'inertie, et le principe de l'indépendance des effets des forces, ou principe des mouvements relatifs. Nous allons tâcher de montrer comment ces idées résultent des travaux de Galilée et d'Huyghens.

C'est surtout la dynamique du point matériel qui prit naissance avec Galilée. Ayant à cœur de détruire les idées fausses qui régnaient encore, de son temps, sur le mouvement des corps pesants, il s'était attaché à montrer qu'ils tombent tous, comme nous disons aujourd'hui, avec la même accélération. Pour lui, le mouvement naturel est celui dont les éléments varient de la môme manière dans le même temps: celui, en un mot, que nous nommons uniformément varié. Dans un tel mouvement, la vitesse d'un point partant du repos doit dépendre uniquement de la distance que le point a parcourue verticalement, même quand il s'agit d'un point pesant tombant sur un plan incliné. Il est curieux de voir comment il présente ce postulatum, dans les Discorsi e Dimostrazioni qu'il a laissés sous forme de dia-

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logue(1638). C'est aussi là qu'apparaît, sous un énoncé

que l'usage de l'algèbre nous fait paraître un peu long,

le théorème équivalent à notre formule e= - gt'.

Nous avons dit que Galilée avait été le véritable fondateur de la dynamique du point matériel. C'est en effet dans son Traité du mouvement des projectiles qu'apparaît le principe de l'inertie. Il s'agit, pour lui, d'un corps sphérique pesant, de très faibles dimensions, se mouvant sous l'action d'une impulsion initiale, sur un plan horizontal. Dans ces conditions, la vitesse du mouvement sera invariable tant que le mobile, entièrement dépourvu de rugosité, s'appuiera sur un plan horizontal parfaitement poli. Mais, si l'on se représente ce plan horizontal comme la surface d'une table, quand le mobile viendra au bord, le mouvement parabolique commencera, et Galilée décrit toutes les circonstances de ce mouvement en admettant, dans le cas particulier, le principe de l'indépendance des effets des forces. Mais il faut, pour procéder ainsi, connaître la vitesse horizontale dont le mobile est animé au début du mouvement curviligne. Galilée y supplée en introduisant dans son raisonnement la hauteur dont le mobile aurait dû tomber librement pour acquérir cette vitesse. On voit par là que Galilée passait déjà bien près du théorème des forces vives. Nous verrons Huyghens passer plus près encore, reconnaître môme qu'il est vrai dans certains cas particuliers, et n'avoir pas l'idée de lui donner I9,

forme générale et complète sous laquelle nous le connaissons aujourd'hui.

Huyghens, après avoir fait preuve d'un génie inventif et puissant, en résolvant, très jeune encore, les problèmes de Pascal sur la cycloïde, publia, en 1657, sa description de l'horloge à pendule, dédiée aux Etats de Hollande ; puis, après avoir travaillé longuement à perfectionner son invention, il fit paraître, en mars 1673, son Horologimn oscillatorimn, dédié à Louis XIV. La deuxième partie de cet ouvrage renferme l'exposé des découvertes concernant le mouvement du point matériel. Le principe de l'indépendance des effets des forces, appliqué à la recherche du mouvement d'un point pesant animé préalablement d'un mouvement uniforme suivant une droite oblique ou perpendiculaire à l'horizon, y est énoncé en ces termes : « Horum motuiim utrtimque seorsim considerari posse, nei^ue altermn ab altero impediri, » — « Chacun de ces mouvements peut être considéré à part, et l'un n'est pas empêché par l'autre. » — Quant au mouvement d'un corps pesant, que Galilée regardait comme naturellement pourvu d'une accélération constante, Huyghens démontre qu'il est uniformément accéléré, parce que la pesanteur exerce sur le corps une action dont l'intensité et la direction sont constantes. La proposition d'après laquelle les espaces parcourus par un corps pesant abandonné à lui-môme sont proportionnels aux carrés des temps y est reproduite d'après Galilée, et Huyghens en déduit, entre

autres conséquences importantes, que les espaces parcourus sont proportionnels aux carrés des vitesses. Puis il démontre qu'un point pesant assujetti h descendre et à monter alternativement sur deux plans inclinés, aura toujours la même vitesse à la même hauteur; le principe de Galilée sur Tégalité des vitesses acquises après la chute sur deux plans inclinés de mAme hauteur y est également démontré dans des termes qui ne laissent aucun doute sur l'idée que Fauteur se faisait du principe des forces vives, bien qu'il ne Tait énoncé nulle part ; et Ton s'en aperçoit bien mieux encore à la lecture des propositions qui suivent.

Mais le but que s'était proposé Huyghens était, nous l'avons déjà dit, de perfectionner le mécanisme de son horloge à pendule. Dans son premier ouvrage il avait indiqué la possibilité de régulariser les mouvements d'horlogerie en mettant à profit l'isochronisme des petites oscillations du pendule, phénomène qui avait aussi frappé Galilée, si l'on en croit la tradition qui le représente contemplant les oscillations du lustre de la cathédrale de Pise. Mais personne, avant Huyghens, n'avait eu l'idée de restituer au régulateur la force vive perdue par l'effet des résistances passives, en l'empruntant au moteur lui-môme, par Tintermédiaire de l'échappement. Tout le monde connaît la portée pratique de cette idée, universellement appliquée depuis lors. Mais Huyghens s'était posé ce problème : Quelle trajectoire doit-on imposer à un point matériel pesant pour qu'il

arrive au point le plus bas de sa course, dans le même temps, quelle que soit, sur cette trajectoire, sa position initiale ? La solution de ce problème est contenue implicitement dans l'étude des propriétés de la cycloïde, dont l'exposition fait, en grande partie, l'objet des recherches d'Huyghens. Cette propriété mécanique, combinée avec les propriétés géométriques des développées, découvertes également par Huyghens, lui permit d'effectuer la réalisation d'un pendule simple, parfaitement isochrone. Plus tard seulement, après avoir appris de Leibniz la méthode des infiniment petits, Jean Bernouilli eut le bonheur de constater que la brachistochrone, dont nous parlerons au cours de cet ouvrage, ne différait pas de la tautochrone d'Huyghens. La méthode que nous rapporterons à ce sujet n'exige d'autres connaissances que celles qui figurent dans nos programmes actuels de mathématiques spéciales, puisque la notion d'intégrale définie y est mentionnée explicitement. Nous vérifierons aussi la propriété de la courbe d'Huyghens, d'ôtre tautochrone ; mais la proposition réciproque la courbe plane^ tautochrone^ cCun point pesant^ est une cycloïde exige, pour être présentée conformément à l'état actuel de l'analyse mathématique, l'emploi d'une différentiation sous le signe d'intégration : c'est pourquoi elle ne figure pas dans le texte de cet ouvrage.

Revenons maintenant à la date de 1687. On a dit, en faisant allusion à l'apparition du livre des Principes

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mathématiques de la philosophie naturelle de Newton, que c'était une date mémorable dans l'histoire de la science. Nous n'avons pas à nous étendre davantage sur la révolution produite, en astronomie, par la publication de cet ouvrage. Nous voulons seulement faire ressortir l'influence qu'il exerça sur l'étude du mouvement d'un point matériel. Là se trouve, en effet, énoncé pour la première fois, le théorème des forces centrales, proposition qui, traitée par l'analyse, devait, plus tard, devenir le principe des aires. Mais la démonstration de Newton est purement géométrique. M. Marie, qui a longuement rapporté l'histoire du débat entre Leibniz et Newton, au sujet de l'invention du calcul infinitésimal, attribue le choix que Newton aurait fait d'une telle démonstration à son désir de cacher le plus longtemps possible sa méthode de calcul. — Sans vouloir contester cette opinion, nous dirons cependant qu'il était bien naturel de vouloir appuyer ses démonstrations uniquement sur des faits connus de tous : car la théorie des fluxions, d'une part, et, d'autre part, la méthode infinitésimale de Leibniz, étaient alors des nouveautés. Quoi qu'il en soit, le théorème des forces centrales étant établi, Newton n'avait plus de peine à en déduire toutes les circonstances du mouvement d'un point attiré vers un centre fixe, et notamment « dans les coniques excentriques », c'est-à-dire dans le cas où la trajectoire est une conique, dont le centre d'attraction occupe un foyer. On sait de quelle importance était

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ce problème, depuis que Kepler avait fait connaître les lois du mouvement des planètes.

Outre la publication des Principes de Newton , un autre ouvrage, d'apparence plus modeste, d'une grande portée néanmoins, parut en 1687. C'est le Projet cCune nouvelle mécanique, de Varignon. Stévin avait entrevu le problème de la composition des forces concourantes. Galilée et Huyghens avaient considérablement élucidé les principes de l'inertie et de l'indépendance des effets des forces. Varignon eut le très grand mérite d'en déduire la solution nette et précise du problème, par une heureuse combinaison de la notion d'équilibre avec les principes que nous venons de mentionner. Cette manière de procéder n'est peut-être pas la plus ingénieuse, mais c'est à coup sûr la plus naturelle. Car ce n'est que par un certain effort d'abstraction que l'on parvient à concevoir la force propre à faire équilibre à deux forces agissant sur un môme point matériel, et la possibilité de déterminer cette force indépendamment du mouvement que les composantes pourraient produire. On peut donc dire que, par le caractère môme de sa méthode, Varignon aurait fait faire à la statique un grand pas, alors môme qu'il n'y eût pas introduit le théorème célèbre auquel son nom est demeuré attaché. Si nous ne nous étions promis de rester dans certaines limites, nous montrerions comment Varignon, par les vérifications qu'il a faites du principe des vitesses virtuelles dans le cas des machines simples, en équilibre.

raÉFAGE il

nous paraît avoir ouvert la voie à Lagrange, dont la mécanique analytique repose sur ce principe, considéré comme un fait expérimental.

Dès ce moment, la période des tâtonnements et des incertitudes est passée. Leibniz, dans un Mémoire de 1693, généralise le problème de la composition des forces, en étudiant l'action exercée sur un point matériel par une infinité de forces infiniment petites agissant en sens divers ; et il ne reste plus désormais qu'à perfectionner les méthodes d'investigation. Or deux instruments de recherche également puissants ont été mis, dès le xvn^ siècle, à la disposition des savants : ce sont, d'une part, la géométrie analytique, érigée par Descartes en corps de doctrine, et, d'autre part, la méthode des infiniment petits, découverte par Leibniz. Jean Bemouilli, ami et disciple de Leibniz, applique les méthodes du maître à la solution d'un grand nombre de questions particulières, parmi lesquelles nous citerons le problème de la brachistochrone, le problème de la chaînette, le problème de la voile, et tant d'autres, qui occupent une place si importante dans l'enseignement actuel. Grâce aux traditions qui se perpétuent dans cette illustre famille, le nombre va croissant des propositions regardées jusque-là comme inabordables, et dont les difficultés disparaissent tour à tour, jusqu*au moment où le besoin se fait sentir de réunir en faisceau toutes ces théories éparses, en les rattachant à un petit nombre de principes généraux. C'est cette lacune que

viennent combler le Traité de mécanique d'Euler (1741) et, deux ans plus tard, le Traité de dynamique de Dalembert. Avec ces auteurs, la mécanique devient de plus en plus analytique, et notre but n'est pas de suivre les progrès réalisés, dans cet ordre d'idées, par Lagrange, Hamilton, Poisson et Jacobi.

Mais, puisque nous sommes amené à parler des recherches de Poisson, nous nous bornerons à une partie très restreinte de ses travaux, celle qui, par la nature du problème posé, se rapproche le plus des éléments de la statique; j'entends par là la démonstration qu'il a donnée du théorème du parallélogramme des forces. En admettant comme évident ce fait, que la résultante de deux forces égales agissant sur un même point matériel est dirigée suivant la bissectrice dn leur angle. Poisson se propose de calculer Tintensité de cette résultante. A cet effet, il la considère comme une fonction continue de Tangle que font entre elles les deux composantes, et pourvue d'une dérivée. Aujourd'hui que Ton connaît des fonctions continues dépourvues de dérivée, cette démonstration n'est plus inattaquable; et, si l'on veut considérer la statique comme une science à part, indopendante de la dynamique, mieux vaut encore adopter les excellentes démonstrations qu'on trouve dans les traités de Duhamel et de Poinsot. Elles présentent, nous l'avons déjà dit, quelque chose d'artificiel ; mais elles ont le mérite de ramener aux éléments une question d'ordre purement élémentaire.

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De plus, le traité de Poinsot, paru en 1804, renferme, exposée pour la première fois, la théorie des couples. L'ensemble de deux forces parallèles, égales et de sens contraire, appliquées en deux points d'un corps solide, ne saurait produire le môme effet qu'une force unique, appliquée en un point de ce corps. On parvient à établir cette vérité par des raisons de symétrie ; de sorte que le couple apparaît comme une cause de mouvement, différente de la force et devant être traitée à part.

Conformément au programme en vue duquel ce livre est écrit, nous avons cherché à donner une idée de la méthode employée par Poinsot pour représenter un couple, et réduire à Taction d'un couple unique l'action de plusieurs couples agissant simultanément sur un môme corps. Puissions-nous avoir fait comprendre à nos jeunes lecteurs l'intérôt que méritent et cette partie de la science et celles sur lesquelles leur attention sera désormais appelée.