V. Jamet

Tangente à une courbe ganohe. — Différentielle de Tare. — Plan oaoulateur. — Rayons de oonrbnre des oonrbes planes et des oonrbes ganobes. — Cercle osoulateur.

1. Étant donnée une courbe gauche, rapportée à trois axes de coordonnées Oxj Oy, 0^, les deux équations qui la représentent peuvent toujours être considérées comme résultant de l'élimination d'un paramétre ^, entre trois équations de la forme

où X, y, z désignent les coordonnées d*un point mobile sur la courbe. Nous supposerons que, t variant d'une manière continue dans un intervalle déterminé, les trois fonctions fi (0» /a W» A (0 ^^^f chacune, une dérivée première, une dérivée seconde, etc. Ces trois fonctions seront alors continues, et le point a;, y, z se déplacera d'une manière continue sur un arc de cette courbe. A chaque valeur de i comprise dans cet intervalle correspondra un point de la courbe, et

It) INTRODUCTION

nous nous proposons, en premier lieu, de former les équations qui défmissent sa tangente en un tel point. Soient t^ la valeur du paramètre t qui répond à ce point, t^ la valeur qui répond à un second point, aussi voisin qu'on veut du premier. Soient

^0 = fi {^o) 2/0 = A (O ^0 = A (^o)-

La droite qui joindra ces deux points sera représentée par les équations :

n (^) - n (<o) A (u) - A (^0) A iu) - A (O

équivalentes à celles-ci :

y — .Vo ^ — -g^o

/ A (^) - A (0 \ / A(M-A(^n )\ / A(^)-AUo) \ \ «1-^0 / \ h- h J \ ^-^0 /

Si maintenant les deux points tendent à se confondre en un seul, les dénominateurs des fractions précédentes tendent vers

et la droite qui joint les deux points considérés tend à se confondre avec une certaine droite représentée par les équations :

a? — ^0 y — Pù ^ — ^0

/; (^0) A M n Uo)

C'est la tangente au point coq^ ^q, jsq.

Donc : En chaque point dune courbe représentée par les équations (1), les paramètres directeurs de la tangente sont

proportionnels à

flv dy dz

dt di dl

2. DéGnissons maintenant la longueur d'un arc de courbe. Une courbe étant rapportée à trois axes de coordonnées rectangulaires, et définie parles équations (4), inscrivons dans cette courbe une ligne brisée A, i, 2, 3, ... B(/î^. i), et démontrons que, si le nombre des côtés de cette ligne croit au-delà de toute limite, la somme de leurs longueurs tend vers une limite, toujours la même quelle que soit la loi d'inscription.

A cet effet, désignons par Ao;, Ay, As-, les différences des coordonnées de deux sommets consécutifs de .

la ligne brisée: ces difîérences pie. 1.

répondent à un même accroissement A^, donné à la variable t\ et la longueur de la corde qui joint ces deux points est égale à

\/Aa?« + Ay* + Aj«. (2)

Mais en vertu des hypothèses faites sur les fonctions

E. s', e" étant infiniment petits avec A^

Donc rinfiniment pelil (2) est égal à

\/[f+l'(t+')ï+fê+F(^+-')]"+fê+f(l^+--)]'--

Le quotient de cet infiniment petit par Tinfiniment petit principal Af tend vers une limite égaie à

et sa partie principale s'obtient en multipliant ce dernier radical par A^ Donc la somme des côtés de la ligne brisée est une somme d'infiniment petits, dont chacun peut être remplacé par un terme de la forme

sans qu'on altère pour cela la limite vers laquelle tend cette somme, quand le nombre de ses termes est déplus en plus grand, si toutefois cette somme a une limite. Or cette limite existe généralement, et est égale à l'intégrale

/\/(fr+(f )'+(!)•*.

calculée entre les valeurs de ^ qui répondent aux extrémités de l'arc AB.

Elle a la même valeur quel que soit le mode de division de l'arc AB en parties infiniment petites.

Elle est donc unique, ce qui démontre entièrement l'énoncé. Cette limite se nomme la longueur de l'arc AB.

Corollaire. — Le rapport dCun arc infiniment petit à sa

corde a pour limite 1. — Car l'arc et la corde sont alors deux infiniment petits de Tordre de A<, ayant Tun et l'autre la même partie principale, savoir :

puisque dt = A^

Remarque. — Dans la pratique, on prend souvent Tune des coordonnées du point mobile sur la courbe pour variable indépendante, et sa différentielle pour infiniment petit principal. Supposons, par exemple, qu*il s'agisse d'une courbe plane, située dans le plan des xy. La différentielle de Tare est égale à

si

Applications. — a. Si la courbe est une parabole, et qu'on veuille compter son arc à partir de son sommet, on rapportera la courbe à, sa tangente au sommet prise pour axe des x^ et à son axe de symétrie pris pour axe des y. Son

équation sera ^ = r-» et si Ton désigne par S la longueur de

Ip

Tare, on trouvera : ,

s = /V 1 + ^ d* = ^-f^^¥+^ dx;

puis en appliquant au calcul de cette intégrale l'un quelconque des procédés connus :

= 4(pMog " + ^P' + "' + WyM^)

h. On nomme cycloïde, ou roulette, la courbe décrile par un point situé sur une circonférence de grandeur constante qui roule sans glisser sur une droite. Soient [fig, 2j le point de contact de la circonférence et de la droite, au moment du départ, M la position que le point décrivant occupe, lorsque la circonférence vient toucher la droite au point A, co Tangle

Fig. 2.

MCA, C désignant le centre du cercle. Si Ton prend la droite fixe pour axe des a?, le point pour origine, et si les axes de coordonnées sont rectangulaires, si de plus a désigne le rayon du cercle, N et P les projections du point M sur AC et sur Oo?, les coordonnées a?, y du point décrivant s'expriment comme il suit :

a? = OA — OP = a ((0 — sin cd)

y = a (1 — cos cd)

et Tare S, compté à partir du point 0, est égal à

V(l — cosa))^ -\- sin^o) d(û =: 2a 1 sin — rfw

= — 4a (cos I j =z ^a (i — cos ^ j = Sa sin» ^•

Quand la circonférence aura fait un tour entier, w sera égal à 2?:, et la longueur totale d'une boucle sera égale à 8a.

3* Soient, sur une courbe définie par les équations (1), trois points A, B, C, répondant aux trois valeurs i^, t^^ t^ du paramètre t ; soient aussi 0?^, y^, Zq les coordonnées du point A, a?4, y^, z^ les coordonnées du point B, ajj» ^2» ^2 ^^^ coordonnées de^G. Le plan ABC est représenté par une équation de la forme

Pour que ce plan passe par le point B, il faut qu'on ait

u [x^ — a?o) + » (y^ — Po) + «^ (^< — ^0) = o,

ddc dtxi dz ou, en désignant par — > -^î — les valeurs que prennent, au

point <^, les dérivées des fonctions /^ (^), /^ (^), /g (/), il faudra que Ton ait, pour toute valeur de t^ — ^^ différente de zéro, mais suffisamment petite :

e, e', e", étant infiniment petits avec i^ — i^. Pour que ce plan passe par le point B, il faut aussi qu'on ait :

u (a?j — a?o) + ^ (^2 — yo) + «? [^% — -^0) = « ou bien

... dx . dv . dz

+'^{"(f + ^)+'(ï^+^')+Kxf+<)]

Tfi, 7|', Tfj'' élant infiniment petits avec t^ — t^.

Si t^ — t^ lend vers zéro, m, », «? lend vers des limiles qui doivent, en vertu de (3), satisfaire à l'équation

dx . dy . dz

En supposant que u, v, to désignent désormais ces limites, et que le plan auquel elles se rapportent passe encore par le troisième point donné, retranchons (4) et (5) membre à membre : nous trouvons

et nous en concluons que, si t^ — ^o ^^^^ ^^^ zéro, m, t?, to tendent vers des limites satisfaisant non seulement à Téquatîon (5), mais encore à Téquation suivante :

dC

2 + ^:7iï + «':7ïï = «-

dt^

dt'

Donc : Si trois points A, B, C, situés sur une courbe y tendent à se confondre en un seul, le plan passant par ces trois points tend à se confondre avec un plan paissant par ce point et dont les paramètres directeurs sont assujettis à vérifier les équations \^)et (6). Ce plan se nomme le plan osculateur de la courbe^ au point Xq^ y^, Zq. Il est représenté par Téquation

y yo

dx dt

dy dt

dz dt

dt^

dt^

dt^

qu'on obtient en éliminant w, r, w entre l'équation du plan et les équations (5) et (6). D'après le calcul qui précède, ce plan est la position limite vers laquelle tend un plan passant par la tangente au point œ^^ y^, Zq et par un point situé sur la courbe, et infiniment voisin du point de contact. Voici encore une propriété qui nous sera utile.

Par la tangente au point â?^, ^q, Zq menons un plan parallèle à la tangente en un point oo^^y^^ z^ infiniment voisin du premier, et cherchons la position limite vers laquelle tend ce plan, quand le point a?^,^^, z^ se rapproche infiniment du premier. Puisque ce plan passe par la tangente, ses paramètres directeurs w, t?, w doivent vérifier Téquation (5) : mais ils doivent aussi vérifier Téquation suivante :

où Ton a désigné par la caractéristique A les accroissements que reçoivent les dérivées de x, y, Zy quand t reçoit Taccroissement infiniment petit A^. Mais, si Ton tient compte de la relation (5) et des relations

où 8, e', e*' sont infiniment petits avec A^, Téquation ci-dessus

devient

et, à la limite :

dt^

dt^

Celle équation étant précisément Téqualion (6), le plan limite ctierché se confond avec le plan osculateur.

Théorème. — En chaque point dune courbe^ la tangente est la caractéristique de son plan osculateur.

Car en égalant à zéro la dérivée, par rapport à t, du premier membre de Téquation (7), on trouve

y — Vu

dx dt

dt

dz dt

d^y dl^

d^z dt^

et cette équation représente un plan qui passe par la tangente.

4* Telles sont, sur le plan osculateur, les propositions qui nous serviront dans le Cours de mécanique. Nous y reviendrons incidemment au cours de cette introduction, et nous allons maintenant étudier la courbure des courbes gaucbes. Observons d'abord qu'en chaque point d'une courbe définie par les équations (1), en coordonnées rectangulaires, l'un des deux segments indéGnis qu'on peut compter sur la tangente

fait avec les axes de coordonnées des angles ayant pour cosi-

nus:

dx dt

dji

dz "dt

ou, en désignant par s Tare compté sur la courbe à partir d*un point fixe et terminé au point considéré

dx dt

dji dt

dz dt

ds ' dl

ds ■ dt

ds

ou encore :

dx

du

dz dis'

Cela posé, imaginons une sphère ayant pour centre l*origine des coordonnées, pour rayon Tunité de longueur, et menons par le centre de cette sphère des parallèles à toutes les tangentes à la courbe donnée. Le lieu de ces droites est un cône qui détache sur la sphère une courbe 2. Soient M un point de la courbe donnée, fx le point qui lui correspond sur la courbe S, c'est-à-dire l'extrémité d*un rayon parallèle à

la tangente en M. A un point M' situé sur la courbe, infiniment voisin de M^ correspond sur ^ un point (x' inGniment voisin de (x. L'arc MM' est un infininent petit équivalent kds; et si Ton appelle o Tare de la courbe S, compté à partir d*un

point fixe et aboutissant en [x, l'arc {X(x' sera équivalent à d(s ;

ds la limite du rapport — se nomme le rayon de courbure de la

courbe donnée, au point M. Proposons-nous d'évaluer ce rayon en fonction des différentielles de a?, y, z, A cet effet, observons que les coordonnées du point (x, mobile sur la courbe S, sont

dûB dy dz

ds ds ds

et que par conséquent :

\![dsd^x — dxd^s]'^ + (dsd^y — di/d^s^ + {dsd^z — dzd^s)^ ~ ds^

Mais, à cause de la relation

dœ^ -)- dy^ -f- dz^ = ds^ et de la suivante

dxdPx -|- dydPy -|- dzd^z = ds<Ps qui en résulte par différentiatîon, on trouve

dfi =

\l{d^xY + (d'^yY + (d:^^? — jd^s]^

ds^ I

ds

On peut transformer cette expression comme il suit. La quantité sous le radical étant égale à

ou bien à :

{dœ*+d]/^+dz^)\{€Px)^+{(Py)^+{(Pz]^] ~ jdxd^x+dycPy+dzd^z)^

ds*

son numérateur peut être transformé en une somme de trois carrés, savoir :

(dyd^z — dzd^y)^ + {dzd^x — dœd?zy + {dxd^y — dyâ?x)^,

et l'on trouve, pour l'expression de rf<r :

^^[dyd^z—dzd^y)^ + [dzd^x—dxd^zY -^[dxd^y—dyd^a^

ds^

Donc enfin le rayon de courbure R est donné par la formule

1 \l{dyd:^z—dzd:^yY-^[dzd:^x—dxd'^z]^^dxd^y—dydPxY R"" ds^ ' ^^^

Si la courbe est plane, on pourra supposer z constamment nul, et Tégalité ci-dessus va devenir

1^ dxd^y — dyd^x

{dx^ + dyy

Si la variable indépendante est a?, de manière que dx soit Tinfiniment petit principal, d^x = o, et l'on trouve :•

i dx d^y dx^

En désignant par y* et y" les dérivées de y par rapport à a?, on transforme celte égalité comme il suit :

5. Revenons maintenant aux courbes gauches et étudions la surface enveloppe du plan normal à une telle courbe. Soient a?, y, z les coordonnées (fonctions de i) d'un point mobile sur la courbe : le plan normal sera représenté en coordonnées rectangulaires par l'équation

(X — 0?) cto + (Y — y) t/y -h (Z — z) dz = o. (10)

Il touche sa surface enveloppe suivant une droite contenue dans le plan qui a pour équation

(X— a7)e/*a?+(Y— y)t;2y+(Z--^)<;^^— (é^x24^y2^c?^a)rr:o. (11)

Si nous prenons la tangente pour axe des a?, le plan osculateur pour plan des œy^ et le point où le plan étudié est normal pour origine des coordonnées, nous aurons en ce point dz =z o, dy = o, et pour que Téquation (7) se réduise à Z = 0, il faut aussi que d^z = o. Si Ton tient compte de ces hypothèses, les équations (10) et (11) vont se réduire à

X = o, Xd^x + Yd^y = dcc^ (12)

et l'on voit que Tintersection des deux plans qu'elles représentent coupe le plan des œy en un point situé sur Taxe des y (normale principale), point dont la distance Y à Torigine est donnée par la formule :

1 d^y Y "" dx^'

En comparant celle-ci à la formule (A), transforme'e en tenant compte des hypothèses actuelles, on est conduit à cette conséquence:

Donc : La caractéristique du plan normal rencontre la normale principale en un point dont la distance au pied de cette normale est précisément le rayon de courbure.

On voit de plus, par les équations (12), que celte caractéristique est perpendiculaire au plan osculateur. Gela devait être, puisque rinteroection des plans normaux en deux points infiniment voisins est nécessairement perpendiculaire au plan mené par l'une des tangentes, parallèlement à Tautre.

Le point où la caractéristique du plan normal coupe le plan osculateur en M, à une courbe (G), se nomme le centre de courbure de cette courbe au point M. Si la courbe est plane, c'est, d'après la théorie précédente, le point où la normale touche son enveloppe. Cette courbe, enveloppe des normales à une courbe plane, a reçu le nom de développée de la courbe. Nous ne croyons pas qu'il y ait lieu de nous étendre plus longuement sur ses propriétés générales, qu'on trouvera dans tous les ouvrages classiques de calcul infinitésimal.

Nous indiquerons seulement un exemple. Revenons aux équations de la cycloïde :

œ-=a[<ù — sino)), y = a (1 — coso)).

La normale à cette courbe, au point a?, y, a pour équation :

(X — 0?) (1 — cos w) + (Y — y) sin u) = o.

Elle coupe Taxe des œ en un point dont la distance X, à Torigine, est donnée parTéquation

X (1 — coso>) = a? (1 — C08 0)) + y sino),

et, à cause des équations de la courbe :

X =: ait).

Donc la normale au point M n'est autre que la droite MA

{fig- 2).

Cela posé, considérons une autre cycloïde {fig, 2) engendrée par le mouvement d'un cercle égal au premier, roulant sur une droite OV, parallèle à Oa?, et dont la distance à la droite Oœ soit égale au diamètre de ce cercle.

Supposons l'origine de la nouvelle cycloïde en un point 0', dont la distance à Oy sera égale à ita.

Prolongeons la droite MA. jusqu'à sa rencontre M' avec la position qu'occupe ce nouveau cercle, quand il vient toucher

Ox au point A. Alors le point M' appartient à la nouvelle cycloïde, car Tare A'M' du second cercle est égal à l'arc MB du premier, par conséquent à a (w — (o), c'est-à-dire à A'0\ D'après ce qui précède, la normale en M' à la nouvelle cycloïde sera M'A', et la tangente sera M'AM.

Donc cette cycloïde sera l'enveloppe des normales à la première.

Donc : La développée dune cycloïde est une autre cycloïde égale à la première.

Ceci nous montre en même temps que le rayon de courbure de la cycloïde donnée est MM', ou 2MA.

6. Il nous reste à montrer qu'en chaque point d'une courbe, plane ou gauche, le rayon de courbure est la limite vers laquelle tend le rayon d'un cercle tangent en ce point à la courbe» et rencontrant celle-ci en un second point, voisin du premier. Prenons pour axe des œ^ des y et des z la tangente en ce point, la normale située dans le plan osculateur (ou normale principale) et la perpendiculaire au plan osculateur, qu'on nomme aussi la binormale. Considérons les coordonnées y %i z d'un point, mobile sur la courbe, comme des fonctions de cc^ développables par la série de Maclaurin ; soit 2a la valeur que prend, pour a? ^ o, la dérivée seconde de la fonction y ; les développements de y et de ^ se présenteront sous les formes suivantes :

y z= ax^ -}- hx^ 4" ^^^ 4" = a?2 (a -[- e)

z = ^ix^J^^œ'-^^afi + = ^3((x + e')

dy dz d^z Car il a déjà été établi qu'à l'origine ^> ^ et ^^ sont

nulles.

Représentons le cercle considéré par Téquation de son plan, et Téquation de la sphère dont il est un grand cercle, savoir

[jlY — XZ =

X» + Y2 + Z* — 2XY — 2aZ = o

et cherchons les limites de a et de [jl, pour x = o, en tenant compte des relations

)a — |jLy =

co^ + y^ + z^— 2>y — 2[x^ = o

équivalentes à celles-ci :

X [JL x"^ -\- y^ -[- z"^ ou

Si, dans ces formules, on met à la place de y et de ^ leurs

valeurs tirées des formules (13), on trouve pour X et jx des

expressions dont les limites sont, respectivement, — et o,

quand x tend vers zéro. Mais, pour a? = o, et dans les hypothèses actuelles, le rayon de courbure, donné par la formule

(A), se réduit à -^j ou r-j ce qui démontre Ténoncé.

Le même calcul s'applique entièrement aux courbes planes, avec l'hypothèse Z = o. Mais la démonstration n'est applicable que si le point dont il s'agit n'est pas un point singulier de la courbe : car les formules (i3)ne sont applicables qu'aux points ordinaires.

7. Envisagé comme nous venons de le faire, le cercle de courbure se nomme aussi le cercle osculateur. Tout cercle est, en chaque point de sa circonférence, son propre cercle o:>culateur ; c'est donc une courbe dont le rayon de courbure est constant : je dis que c*est la seule courbe plane qui jouisse de cette propriété. En effet, soit y la fonction de x définie par Téquation cartésienne d*une courbe dont le rayon de courbure est constamment égal à R, et soient aussi y et y* ses deux premières dérivées par rapport à l'ordonnée x. Par définition

en chaque point de la courbe. On en déduit successivement :

b désignant une constante. Puis :

, VR^ - (y ^ h:^ y z=± 2 —

(y — b) dy

VR- — [y — b)^ = a±Lx,

a désignant une nouvelle constante ; et cette dernière équation est Téquation générale des cercles de rayon R.

MéCANlQUI. 3