D£S VOLUMES, DES SURFACES ET DES LIGNES
contraction du centre de gravité de la surface d*un quadrilatère. Traçons la diagonale BD {fig, 30) qui divise ]e quadrilatère en deux triangles ABD, BGD ; soient g^ g' leurs centres de gravité. On trouvera le centre de gravité du quadrilatère en composant deux forces parallèles et de même sens, appliquées en g^ g\ et proportionnelles aux aires de ces triangles. Mais, si Ton trace la diagonale AC, clic coupe BD en un point K,
AK tel que le rapport ttt; soit égal au rapport des hauteurs issues
de B et de C dans les triangles ABD, BGD. Ce rapport est donc égal au rapport des aires de ces triangles. Si donc on prend sur AG un point H, symétrique de K par rapport au milieu de AG, on aura :
surf. ABD CH surf. BGD ~ ah'
et si Ton joint le point M, milieu de BD, au point H, la droite gg' sera rencontrée par MH en un point G remplissant la condition :
G^ AH surf. BGD .
G^ "" GH "" surf. ABD '
Ce point G sera donc le centre de gravité du quadrilatère. Ainsi, le centre de gravité de la surface d'un quadrilatère est sur la droite qui joint le milieu d'une diagonale au point symétrique de leur point de rencontre, par rapport au milieu
deTautre diagonale. En intervertissant les rôles des deux diagonales on obtient une deuxième droite, dont le point de rencontre avec la première donnera le centre de gravité.
Plus généralement, on trouvera le centre de gravité de Taire d'un polygone en le décomposant en triangles, et composant des forces parallèles, et proportionnelles) aux aires de ces triangles, appliquées à leurs centres de gravité.
8* Dans le cas du trapèze, le théorème des moments fournit une construction géométrique du centre de gravité. En effet, soient ABCD le trapèze donné \fig, 31) ; M, N les milieux des côtés parallèles. La droite MN est évidemment une ligne dia-
métrale de sa surface, et son centre de gravité G se trouve sur cette ligne. Soient a; et y les distances de ce point à deux plans, perpendiculaires au plan de figure, menés par AB et DG ; ce sont aussi les distances du point 6 aux côtés parallèles du trapèze, et le moment de sa surface par rapport au premier de ces deux plans est égal à
en désignant par a, h les bases du trapèze, par h sa hauteur. Mais il est égal, aussi, à la somme des moments des aires des deux triangles ABC, DAG, savoir :
