EF X PQ = RF X OP

La somme des moments des côtés de la ligne brisée est donc:

OPxSRF = OPxAB

et le moment de l'arc est égal à :

AB X lim OP = AB X OA.

Donc

et:

te = OA X AB,

AB œz=:OkX —

Donc la dislance 06 du centre de gravité au centre de tare est au rayon comme la corde est à Varc,

GBNTRES DE GRAVITÉ

Flg. 29.

Centre de gravité d'un aro d'hélice. — Soient AB lare d'hélice, ab Tare de la section droite du cylindre [fig. 29) qui partage Tare d'hélice en deux arcs égaux AG, GB, et soient sur l'hélice deux arcs élémentaires mn, mV tels que l'on ait Cm = Cm\ Cn = Cn. Les deux arcs mn^ m'vk ont même longueur, et puisque leurs milieux sont à la même distance du

planaG6, leurs moments par rapport à ce plan sont égaux et de signe contraire. Donc la somme des moments, par rapport à ce plan, de tous les arcs élémentaires dans lesquels on peut partager l'arc d'hélice, est nulle, et le centre de gravité de l'arc d'hélice est dans ce plan. Je dis qu'il coïncide avec le centre de gravité de l'arc de cercle aG5. En efTet, on peut supposer les génératrices du cylindre verticales, et remplacer le poids de chacun des arcs élémentaires par une force égale, appliquée au point où elle vient rencontrer le plan aÇJb, Hais, pour l'arc mn, par exemple, on trouvera le milieu de l'arc de cercle (xv qui en est la projection sur le plan aG6. De plus, les poids des arcs d'hélice seront proportionnels aux longueurs des arcs de cercle correspondants, et l'on sera ramené à composer des forces proportionnelles aux longueurs de ces arcs, parallèles entre elles et appliquées en leurs milieux. Or c'est le centre de ce système de forces parallèles qui est, à proprement parler, le centre de gravité de l'arc de cercle.

Si l'on trace sur une surface cylindrique quelconque une section droite, qu'on prenne sur cette section droite un point

D8S VOLUMES, DBS SUKFAGRS ET DES LIGNES i55

fixe G (fig. 29), et sar chacune des génératrices^ à partir du point \k où elle rencontre la section droite une longueur (aW, variant proportionnellement & l'arc de section droite C{x\ le lieu du point m' sera une courbe qui porte le nom d*hélicé, par extension. On démontre aisément que l'arc Cm' de cette courbe varie proportionnellement à Tare Gfx' de la section droite, et cette remarque suffit pour établir, exactement comme dans le cas du cylindre de révolution, que le centre de gravité dun arc d'hélice coïncide avec le centre de gra^ vite de tare de la section droite dont le plan est équidistant des extrémités de tare dhélice.

6. Les exemples qui précèdent donnent des moyens plus ou moins détournés pour effectuer les quadratures qui conduisent à la solution du problème. Mais les quantités L, 2a;/«^ £y/«/, JaZiSi qui figurent dans les formules (3) doivent, en réalité, être remplacées par des intégrales définies, et Ton doit en général, employer ces formules sous la forme suivante :

ds =: I xdSy

y /li, = fyd,,

Z Çàs = Çzds,

X, T, Z, désignant les coordonnées du centre de gravité ; x^ y, z les coordonnées d'un point courant sur la courbe, s Tare terminé en ce point, ^QCt^^ les valeurs de« qui répondent aux extrémités de Tare dont on cherche le centre de gravité. Considérons, par exemple, la courbe plane appelée chaînette,

définie, en coordonnées rectangulaires, par Téquation

Elle admet, pour ane de symétrie, Taxe des y, et présente deux branches infinies, symétriques par rapport à cet axe, ayant d'ailleurs, comme la parabole, une asymptote rejetée à rinfini. Cherchons le centre de gravité d'un arc terminé en deux points symétriques par rapport à l'axe des y. Ce centre est évidemment sur l'axe Oy à une distance Y de l'origine, déterminée par la deuxième des équations ci-dessus, à condition qu'on y remplace y par le second membre de l'équation (3), et qu'on y fasse

En appelant — a et -f ^ ^^^ abscisses des extrémités de l'arc, on sera conduit à déterminer Y par l'équation :

Y/ \c« + e V c/ajm^/ (ô «+«""« +2/ û?a?.

D'où :

A (e« — ey

7. Donnons maintenant quelques exemples concernant les centres de gravité des surfaces. Nous avons dit que la surface d'un triangle, admettant chacune de ses médianes pour ligne diamétrale, admet aussi pour centre de gravité le point de concours de ses médianes. On en déduit, comme il suit, la