MOMENTS DES FORCES CONCOURANTES

même point, on peut remplacer chacune d'elles par une force égale et de mômedireclion appliquée en ce point, et Tensemble de ces forces par une force unique, qu'on appellera la résultante des forces données. Le moment de celte résultante, par rapport à un axe quelconque, sera encore égal à la somme des moments des forces données. Car, en remplaçant une quelconque de ces dernières par une autre force appliquée en un point de sa direction, on n'a changé ni son intensité, ni la plus courte distance de sa ligne d*action à Taxe, ni l'angle que fait cette, ligne avec l'axe. On n'a donc changé aucun des facteurs du produit FZsinY, qui exprime le moment de celte force par rapport à l'axe. 11 s'ensuit que, si les pro* jeclions de ces forces sur les trois axes sont égales, respectivement, à X^, Y^, Z^, Xg, Ya, Za ... et si les points d'application des forces données ont pour coordonnées ^^, ^4, -s'^, 072,^2) ^2 "- ^^^ moments de la résultante par rapport aux trois axes seront égaux à :

ces trois sommes s'étendant à toutes les forces données.

2. Le théorème des moments des forces concourantes, situées dans un même plan, par rapport à un point de ce plan, subsiste quand on substitue aux forces concourantes des forces parallèles situées dans le même plan. En d'autres termes, si plusieurs forces parallèles sont situées dans un même plan, la somme de leurs moments par rapport à un point de ce plan est égale au moment de leur résultante.

En effet, si l'on prend ce plan pour plan des xy, ce point pour origine des coordonnées ; si Ton dirige Taxe des x per-

pendiculairement aux forces données, Taxe des y parallèlement à ces forces ; si Ton considère comme positives celles qui sont dirigées dans le sens des y positifs, les autres comme négatives, on voit que, parmi ces forces, celles dont le moment par rapport au plan des zy est positif ont, par rapport au point 0, des moments de même signe. Ce signe est opposé au signe du moment, par rapport au point 0, des forces qui, par rapport au plan des yz^ ont des moments négatifs. On peut donc supposer que le moment de chacune de ces forces^ par rapport au point 0, est identique au signe de son moment par rapport au plan des yz. D'ailleurs les moments d'une même force, soit par rapport au point 0, soit par rapport au plan des yz^ ont la même valeur numérique : ils sont donc égaux en grandeur et en signe, et il en est de même du moment de la résultante.

On peut donc, dans Ténoncé du théorème des moments par rapport au plan des yz, remplacer les moments par rapport à ce plan par les moments par rapport au point 0, et Ton arrive ainsi à la proposition qu'il s'agissait d^établir.

3* Il est bien entendu que le théorème n*a plus de sens si les forces considérées sont deux forces égales, parallèles et de sens contraire. Mais on constate que la somme des momenU des deux forces d'un couple^ par rapport à un point de leur plan, est la même quel que soit ce point ; elle est égale au produit d'une des forces du couple par la distance des droites parallèles suivant lesquelles elles agissent. Cette distance se nomme le bras de levier du couple, et Ton nomme moment d'un couple la somme constante dont nous venons de parler, savoir : le produit d'une des forces du couple par son bras de