COMPOSITION DES FORCES AGISSANT SUR UN POINT

X = SX., Y = SY. ;

R2 = XS-I-Y«;

cos a = g ; sin a = g ; tg a = j^

Equations d'équilibre.

Il faut et il suffit, pour Téquilibre, que X et Y soient nulles, ce qui donne

(4) SXi = 0, SYi = 0.

* 3® Les forces concourantes étant quelconques, on considère trois axes rectangulaires dans Tespace, Oa?, Oy, Oz.

Conservant les notations précédentes, on désigne par a, p, y ;

*i» Pi> ïiî *2, ^2, Y2) les angles des forces R, Fi, fa»

avec les trois axes. -11 vient ainsi :

Xi = Fj cos a,, Xg = Fg cos aa,

Yi = Fi cos Pi, Ya = F2 cos Pa,

Zi = Fi cos Yi» Z2 = F2 cos Y2>

(1) X = SXi, Y = SYi, Z = 2Z, ;

(3) cos « = |r-, cos p = ^ » cos Y = s-

Equations générales d'équilibre du point matériel libre : • SXi = 0, SYj = 0, SZi = 0.

28 STATIQUE

Les problèmes suivants se ^amènent à la résolution des triangles. Ils peuvent être résolus, soit par une construction graphique, soit par le calcul. Pour les applications numériques, Tusage de la règle à calcul doit éti*e recommandé, parce qu'il permet de les traiter très rapidement.

1. Trois forces d^intensités données P, Q, R se font équilibre. Trouver les angles qu'elles font entre elles. Discuter.

Application : P = iS^f^, Q = 20^^, R = 26k«r.

2. Deux forces données P et Q font entre elles un angle donné

(pAÙ = û^- Trouver leur résultante R et les angles que fait cette force avec les deux premières. ^

Application : P = âo»*?, Q = 30»^?, a = 65».

3 . Décomposer une force donnée R en deux autres P et Q faisant avec R des angles donnés a et ?.

Application : R = 35^^?, a = 40®, p = 20°.

4. Une force P est appliquée à un point matériel dans une direction connue. Suivant quelle direction faut-il appliquer une deuxième force de grandeur donnée Q pour que leur résultante R soit dirigée suivant une droite donilée faisant un angle a avec P? Discuter.

Application : P = 201»?, Q = 25'«fir, a == 65».

5 . Décomposer une force R en deux autres P et Q faisant entre elles un angle a et dont la somme S soit donnée. Discuter.

Application : R = 35k«r, a = 90% S = 48^».

6. Décomposer une force R en deux autres P et Q faisant entre elles un angle donné a et dont la différence D soit donnée. Discuter.

Application : R = 36»»«r, D = 15^1^, a = i28».

7. Trois forces P, Q, R se font équilibre. On donne Pangle (P7^) = a et le rapport ^ = — Trouver le rapport rj

et les angles (fiT^) et (fiTCî) .

Application : R = Q, (pTS) = ilO<^.

Tous les problèmes de résolution des triangles peuvent être ainsi transformés en problèmes relatifs aux forces concourantes. Nous n'en donnerons pas ici d'autre exemple. Voici quelques applications de la réduction des forces au moyen de deux ou de trois axes.

8. Trois forces Fi, Fj, ¥3 sont situées dans un même plan et appliquées à un même point. La première, horizontale, tire vers la droite ; la deuxième, verticale, tire vers le haut ; la troisième fait avec la première un angle de — 30®, compté comme en trigonométrie. Trouver la résultante et les angles qu'elle fait avec les deux premières forces.

Application : P = Z^«, Q = 2^?, R = 1kg.

9. Quatre forces situées dans un même plan Fi, Fa, F3, l\ agissent sûr un même point; on donne leurs intensités. Leurs positions sont déterminées par les conditions suivantes : Fi est horizontale et tire vers la droite ; puis oh donne les angles F1OF2, FiOFs, F2OF4, comptés comme en trigonométrie. Déterminer la résultante de ces quatre forces.

Application : Fi = F3 = i^^y F2 = 2»^&, F4 = Z^«. fîoK = -1-30^, f\OF^ = + 90% FlOFl = — 90<>.

10. Trois forces rectangulaires, d'intensités données, Fi, Fa, F3, sont appliquées au même point. Déterminer la résultante et ses projections sur les trois faces du trièdre qu'elles forment. Trouver les angles de la résultante et de ses trois projections avec les trois forces données.

Application : Fi = Fa = l^ff, F3 = 3^?.

11 . Six forces Fj, Fa, F3, F4, F5, Fe sont appliquées à un même point 0. Les trois premières déterminent un trièdre trirectangle Oity^. Elles ont pour intensité 20^1?. Les trois autres sont respectivement dans les angles œOy, yOz^ zOx et font avec les arêtes Oa?, Oy, Oz respectivement les angles a^OF* = 30», t/OFs = 45«, aOFe = 60«. Elles ont pour valeurs F4 = 25^8^, F5 = 30kg, Fe = 35kg. Calculer la résultante de ces six forces et les angles qu'elle fait avec les trois axes*

STATIQUE

Les problèmes suivants demandent queIqu*invention. Les solutions des questions 14, 15, 16, 17 et 18 pourront être regardées plus loin comme des conséquences du théorème de Leibniz (n» 40).

12. Trouver la position d'équilibre d*un point matériel attiré par les sommets d'un triangle, les forces attractives ayant trois intensités données.

13. On donne un cercle 0. Dans ce cercle, une corde fixe AB et une corde AC, mobile autour du point A. Trouver le lieu géométrique de Textrémité de la résultante des forces représentées par AB et A€. Pour quel point C cette résultante est-elle maximum ou minimum ?

14. On joint un point M aux trois sommets d'un triangle ABC. Montrer que la résultante des forces représentées par MA, MB, MC passe par le centre de gravité G du triangle et a pour valeur 3MG.

15. Quel lieu décrit l'extrémité de cette résultante^ si le point M parcourt : 1« le cercle circonscrit au triangle ; 2° le cercle des neuf points (cercle passant par les milieux des trois côtés du triangle ABC) ? Pour quelles positions du point M, dans ces deux cas, la résultante est-elle maximum ou minimum ?

16. Dans un cercle dont le diamètre AOA' est horizontal, on fait mouvoir une couple de cordes verticales et équidistantes du centre, BG et B'C. Trouver la résultante des quatre forces représentées par AB, AC, AB', AC et montrer qu'elle est constante.

17. On considère un hexagone régulier ABCDEF et les forces représentées par AB, AC, AD, AE, AF, Trouver la résultante de ces cinq forces.

18. On considère un triangle rectangle OAB dont l'hypoténuse AB est partagée en n parties égales, AMi = MiMj = MiMs. . . = Mn-iB. Déterminer la résultante des forces représentées par OA, OMi, OM2, .. ., OMn i, OB.

Voici maintenant quelques questions qui se rattachent à la théorie et la complètent.

19. Il est évident a priori que la résultante de plusieurs forces est indépendante de Tordre dans lequel on les compose. Démon-

trer que ce fait est conséquence de la règle du parallélogramme des forces.

20. Trois forces perpendiculaires sur les milieux des trois côtés d*un triangle solide, proportionnelles à ces côtés et dirigées toutes les trois vers l'intérieur, ou toutes les trois vers l'extérieur se font équilibre. Démontrer et généraliser ce théorème.

21. Si les projections d'une force sur trois droites parallèles aux trois ^ôtes d'un trièdre sont nulles, cette force est nulle. Que peut-on conclure, quand les trois droites, au lieu d'être parallèles aux arêtes d'un trièdre, sont parallèles à un même plan ?

22. Si les projections d'une force sur deux plans qui se coupent sont nulles, cette force est nulle. Que peut-on conclure, quand les deux plans, au lieu de se couper, sont parallèles ?

23. Si l'on projette sur un plan plusieurs forces concourantes, et l^ur résultante, la projection de celle-ci est la résultante des projections des forces données.

24. Si un système de forces concourantes est en équilibre et si, sans changer leurs directions, on les réduit toutes dans le même rapport, le nouveau système est en équilibre. L'équilibre subsiste encore si, après cette réduction, on fait tourner toutes ces forces d'un même mouvement d'ensemble autour d'un axe passant par leur point d'application.

25. Étant donné deux forces concourantes OFj, OF2 et une sécante A1A2 qui détermine sur elles des rapports donnés, posi-