CENTRES DE GRAVITE

de cette figure peuvent être groupés deux à deux de façon que les droites qui joignent des points correspondants soient parallèles et coupées en leurs milieux par le plan.

* 52. Théorème. — Si une figure plane a un diamètre, les portions de surface correspondantes sont équivalentes.

Soit le diamètre X ; je dis que les deux triangles correspondants ABC, A'WC sont équivalents. En effet, les cordes AA', BB', ce sont parallèles et coupées par X en leurs milieux a, 6, c.

Dès lors deux trapèzes correspondants quelconques, a&AB, abk'B' par exemple, ont même mesure, car ils ont même hauteur et des bases respectivement égales :

ak = aM, bB = bB' ;

on a donc abkB -hbcBC — acAC ou ABC = a&A'B' -h- ôcB'C — acA'C ou A'B'C.

Deux triangles correspondants étant équivalents, deux polygones correspondants, décomposables en triangles équivalents, le sont aussi, et par des considérations de limites on étendrait le théorème au cas d'aires planes quelconques.

* 53. Théorème. — Si une

figure a unpla?i diamétral, deux volumes correspondants sont équivalents.

Par un raisonnement analogue au précédent, on voit qu'il suffit de démontrer le théorème pour deux tétraèdres correspondants. Soit P le plan diamétral ; ABCD, A'B'C'D' deux tétraèdres correspondants, c'est-àdire que les droites AA', BB', ce, DD' sont parallèles et coupées par le plan P en leurs milieux a, 6, c, d. Deux troncs

>ricï.

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de prisme correspondants quelconques, aôc ABC, abck'B'C par exemple, sont équivalents : les trois pyramides dont ils valent chacun la somme ont en effet des mesures égales chacune à chacune, car ces pyramides ont même base abc et des hauteurs respectivement égales, les perpendiculaires abaissées sur le plan P des points A et A', B et B', C et C. On a donc, en se bornant au cas de figure où le point d tombe à l'intérieur du triangle abc, et où les points D et D' sont extérieurs au tronc de prisme BCAB'C'A',

abdABD -+- bcdBCD 4- cadCAD — a&cABC ou ABGD = abdk'h'D' -h bcdB'C'W + cadC A'D' — abcA'B'C ou A'B'C'D'.

Si la figure était disposée autrement, la démonstration se ferait de même, seulement il faudrait voir quel signe on devrait prendre devant chaque tronc de prisme pour que la somme algébrique fût égale au tétraèdre ABC.

54. Théorème (extension du théorènie 50). — Si une aire plane admet un diamètre, si un volume admet un plan diamétral, le centre de gravité de cette aire ou de ce volume est sur Je diamètre ou dans le plan diamétral.

En effet, Taire plane, par exemple, peut être décomposée en éléments correspondants; deux éléments correspondants étant égaux et par suite de même poids, le point d'application de la résultante de ces poids est au milieu de la droite qui joint les éléments, c'est-à-dire sur le diamètre ; donc le point d'application de la résultante totale, c'est-à-dire le centre de gravité de l'aire plane, est aussi sur ce diamètre.

On démontrerait de même la propriété du plan diamétral.

55. Remarque. — Le centre de gravité d'une ligne plane qui a un diamètre n'est pas forcément sur c^ diamèti« : c'est que les éléments correspondants n'ayant pas en général même longueur, le raisonnement précédent est en défaut. Ainsi on verra plus loin que le centre de gravité de l'aire d'un triangle est sur une médiane qui est un diamètre