Détermination d'un point dans un plan. — Soient, en di
rection et sens, deux droites Oa?, Oy, se coupant au point 0, et un point M de leur plan.
Par le point M, je mène Ma
parallèle à O.v coupant Ox en
M a, Mo parallèle à Ox coupant
7 Oy en ô. La position du point M
est déterminée par les quantités
X = Oa, . y = Ob,
qu'on appelle les coordonnées du ■ point M ; x est Vabscisse^ y Vordonnéej Ox et Oy sont les axes, de coordonnées.
'mi'\
6 ÎIOTIONS jm GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE
Remarques. — !<' ^es deux axés et les deux pan|})èles forment un parallélogramme, qui devient un rectangle lorsque ces axes sont rectangulaires.
2* Connaissant x et y, on porte Oa = a?, Ub = y ; par les points a et & on mène des parallèles aux axes ; leur point d'interàection M est le point cherché.
3® On peut remplacer 0^, par exemple, par son-éfiil ÔM, en comptant ce segment positivement dans le sens Oy, et obtenir le point M en portant Oà == a?, puis, sur une droite parallèle à Oy et de même sens menée par le point a, aM = y.
Exercice, — Trouver les points dont les coordonnées exprimées en millimètres sont données par le tableau strtvant :
Ml
Ma
8. Détermination d'un point dans Tespace. — Soit, en direction et sens, trois axes quelconques formant un tiûèdre Oa?, Oj,
0^ ; par le point M menons un second trièdre, Mc^/*, dont les faces parallèles à celles du premier coupent respectivement en a, ô, <r les trois axes Ooî, Oy, Oj.
La position du point M est déterminée par les quantités
X = Oa, y = 06, if = Oc,
appelées coordonnées du point M ; Oa?, Oy, Oz sont les axes coordonnés. Les trois faces du trièdre sont les plans coor-^ donnés.
Remarques. — 1® Les deux trièdres et M déterminent un parallélépipède (Oa&c, Mc?e/), qui devient rectangle lorsque les trois axes sont rectangulaires.
2° Pour obtenir la position du poini M ayant pour coordonnées
X, y, z, on porte sur les axes Oa = o?, 1)5 = y, Oc =z z ; par les points a, b, c on mène trois plans respectivement parallèles auif plans coordonnés, et le somtnet M du trièdfe ainsi formé est le point^ cherché.
S*» On peut remplacer Oc, par exemple, par fM, ce segment étant compté positivement dans le sens Oz, Pour obtenir le point M, on peut donc porter
Oa = a?.
fM = sr.
Exercice. — Trouver les points dont les coordonnées sont données dans le tableau suivant, en millimètres :
Ma
9. Détermination d'une direction dans l'espace. — Soit, en direction et sens, une droite OD passant par l'origine ; sur cette
droite, prenons un segment
ÔM = H- I ; ÔD est déterminée en direction et sens «par les trois coordonnées a, 6, c du point M, qu'on appelle coefficients angulaires de la direction OD. Si on se donnait d'une façon quelconque a, b, c, OM ne serait pas en général égal à -h 1 ; ces valeurs n'étant pas entièrement arbitraires, il doit exister entre elles une relation.
10. Cas des axes rectangulaires. — Dans ce cas, a, 6, c sont les cosinus des angles a, p, y que fait OD avec les trois axes. Pour trouver la relation qui existe entre eux, représentons le parallélépipède des coordonnées du point M, (Oabc, ^def).
Traçons les droites 0/", cM ; on a dans les rectangles O/'Mc, et Oafh, respectivement,
Oc = cos,Y,
d'où Ton déduit, en ajoutant membre à membre,
en remplaçant les segments j^ar leurs valeurs,
OM = J , T)a =z cos a, 06 = cos P,
il vient
cos^ a 4- cos^ p 4- cos^ y = 1.
Telle est la relation cherchée.
Si maintenant on considère un segment AP, de longueur R, faisant avec les trois axes des angles a, p, y, ses projections sur les trois axes auront pour valeurs •
(1) X = R cos a, d'où l'on déduit
Y = R cos p, Z = R cos Y,
cos a == ^»
cos P = w»
cos Y = ij ,
Les formules (2) permettent de calculer R,' a, p, y quand on connaît X, Y, Z.
Remarque. — Diaprés les formules (â), si deux segments ont des projections égales sur trois axes rectangulaires, ils sont égaux, parallèles et de même sens. Il est facile de s'en rendre compte aussi géométriquement et de voir que la propriété subsiste, *«
même quand les axe/ne sont plus rectangulaires. • J
STATIQUE
NOTIONS PRÉIIMINAIRES
il. Définitions relatives aux corps solides. — i^ On appelle corps,solide un corps assez rigide pour qu'on puisse négliger les déformations dues aux efforts qu'il supporte.
2' On appelle point matériel une partie de corps solide assez petite pour qu'on puisse en négliger les dimensions.
12. Définitions relatives aux forces. — La notion dé force est donnée par l'action d'un ressort, d'un poids, d'un aimant sur le fer, etc.
On y distingue trois éléments :
1° Le point d'application^ par exemple le point où un ressort agit sur un corps ;
2°*La direction et le sens dans lequel elle tend" à faire mouvoir le point d'applicatioir;
3° XuHntensité^ que nous allons apprendre à mesurer.
13. Mesure des forces, — 1^ Deux forces sont égales lorsqu'appliquées séparément à un même point matériel, dans la même direction et le même sens, elles font équilibre^ chacune à une même troisième.
2* Une force est 1^ somme de plusieurs autres^ lorsqu'elle agit comme toutes ces autres appliquées à la fois au même point, dans la même direction et le même sens, c'est-k-dire
(1) La défiDittoB précise du mot équilibre est donnée au n<> 16.
12 STATIQUE
quand la première et Tensemble des autres peuvent être équilibrées séparément par une mêmeTorce.
3** Une force A est dite multiple d'une autre B*si A est la somme de plusieurs forces égales à B ; B est sous-multiple de A.
4® Le rapport d'une force -A à une autre B est le nombre qui exprime combien A contient de partiel alîquotes de B dans le cas où ces forces contiennent chacune un nombre exact de fois une troisième force appelée commune mesure,
La notion du rapport de deux forces s'étend au cas où les forces n'ont pas de commune mesure comme poui^to«tes les grandeurs.
5' On appelle mesure d'une force le rapport de cette force à celle qui est prise pour unité.
On prend en général pour unité le kilogramme ^^\
14. Gomparalsen des forces aux poids à l'aide du dynamomètre. — Le dynamomètre est un ressort dont on mesure la flexion produite : 1® par des poids à l'aide desquels on gradue l'instrument ; 2* par des forces quelconques, par exemple la traction d'un cheval.
On voit à quel poids correspond la force à mesurer. Le poids et la force faisant équilibre à une même tension du ressort sont des forces égales, et la valeur de la première en kilogrammes est la mesure de la seconde.
15 . Représentation géométrique d'une force. — On représente une force par une flèche dont la longueur a même
mesure que la force, partant du point
^^^^ ^JK^ d'application, dans la même direction
et le même sens.
(l) Le système métrique adopte le gramme. Pour des raisons que nous ne
pouvons pas exposer ici, le congrès des électriciens, en 1882, a adopté la
, gramme • . , , .
dyne = ' ou(> uo » soit un peu plus d un milligramme. La mégaaffne vaut
