I -+- e cos w I + e' cos w

ce qui donnera

1 Jli. n ||ecoSi>' S/J* (i+ecosii')'

On aura ensuite

— = ^ (i -4- e cost-i(^)% dt i ^ P

d'où, en désignant par/?„ la valeur moyenne de p et posant

(9) /'^/^oli + O. — 1 = ;^,'

ii'pl

^ est une petite quantité dont on a négligé le cube dans le développement de

(i + ^)~% m = - diffère très peu du rapport du moyen mouvement du

Soleil à celui de la Lune.

On fera aussi

et V sera une petite quantité environ).

Substituons les valeurs de DlL, ^ et/?, dans (V), et nous trouverons, en négligeant l dans les termes qui contiennent v en facteur et en remplaçant ^-3 par I + 3e'^ dans certains termes et par i dans d'autres,

-+- -V (iH- e' cosw')* (1 + e coswp')-* (simn + 5 sin3-n) H- • • • , d'où, en développant, négligeant l\ t\ e'' et remplaçant les produits de sinus

PREMIÈRE THÉORIE DE LA LUNE, d'eULER.

et de cosinus par des sommes,

^ ^ =—3 + ^e'-h^e"J sin2T) + 3esin(2fl — ip) + 3esin(2r, +

— 2— sin(2Y] — iv') — ^ sin(2Yj + w')

— Sin(2Y] — 2 — ^ Sm(2Y) + 2(V)

— sin(2Y] — 2w') — sin(2r) + 2(V)

+ Sin(2YJ + — (t/) + 2— Sin(2Y) — w H- (V')

+ 2 — sm(2yî — w — w') -+- ^ — sm(2Y) -\- w -h w')

-^sinar) + — sin (2y) — h |esin(2r] + (v)

^ I sin(2Y] — (p') ^|e'sin(2y) + (p')

y siny) — —7- sinSn .

36. Euler se propose ensuite de déterminer d'abord les inégalités de la Lune qui sont indépendantes de l'inclinaison de son orbite, de l'excentricité e' du Soleil et du facteur v (celles qui contiennent en facteur v, ... sont désignées sous le nom d'inégalités parallac tiques). Il faut donc faire, dans ce qui précède,

Les formules se simplifient et deviennent 3 . sin2y)

2 I H- e cos w

2 I H- e cosrv

df) dp

d(i) d(ji '

di o / , ^xf sin2Yj

3sin2Y) r + 3cos2Y) . "1

d^ ï . , j I r 3 sin2Y) sini^^ i + 3cos2y] 1

^ 4-6 008(^)4 ÎC0S(P .

"«^ 2 L(' + ^^os'^) i4-ecosw' J T. - III.

n[\ CHAPITRE V.

En développant suivant les puissances de e et de \, on pourra écrire

/ dl

m^Ay sin(2-r]-+

1 de

m B,,y sin ( 2 i y] -

-+- iw) ,

f dm

m ^ C,-,yC0s(2r^ -

j dv l d(ji

f dw

\ doi

«^p» dm d(x> d(û

Dans les formules (A), les quantités A^, B/,y et C/,y sont des polynômes entiers en e et ^ ; l'indice i est égal à o ou à i . Les coefficients D, sont de la même nature que Ay, B^^^ et C/^y.

Euler intègre les équations précédentes par des approximations successives, en employant la méthode des coefficients indéterminés. Il suppose d'abord

4 = 0 et e=const.

Les formules (A) et (B) donnent, dans cette hypothèse.

dv d(x>

I + ao H- (Xi cosw

(L) / = Uq-^ oc, cosw

dw dcx)

(3o+ (3i COStv M-'Pa ces (2 Y) — w) + (Sj C0S(2in + «0 + . . . ,

dl

(D) = /?i ^ A)°' sin ( 2 -f- yt^) ,

OÙ les coefficients a,, (3,, Ay*", B^^' sont des fonctions connues de g et de m. Pour l'approximation suivante, Euler suppose

(E) l — X ces 2 Y] + \iîj C0S(2 Y) — «') + G C0S(2Y) 4- (P) H- . . . .

En différentiant par rapport à co et remplaçant ^ ^ parleurs valeurs (C),

on trouve une expression que l'on peut développer suivant les cosinus des multiples des arguments y] et wp; elle devra être identique à (D). On trouvera, en les

PREMIÈRE THÉORIE DE LA LUNE, d'eULER. 'j5

identifiant, des relations qui détermineront les coefficients lii,, e en fonction de g et de m.

Si l'on pose de même

ie = ^ + A cos ( 2 Y] — pp) H- B cos ( 2 -0 + ) + C cos w + D C0S2Tn H- E C0S(2yi — 2(P) + F C0S(2Y) + aUP-) + G C0S2W + H cos4r) + J cos(4yî — 2 + K cos(4yî + 2w) +. . . ,

et que l'on différentie, on trouvera, en remplaçant ^ et ^ par leurs valeurs (C), une expression de qui devra être identique à (D'); on en déduira les expressions des coefficients A, B, ... en fonction de g et de m. Euler se borne ensuite à

d'où