UE
mais, en réduisant l'exponentielle à l'unité, cela revient à négliger dans U les quantités du quatrième ordre, ce que nous avons déjà fait. La formule (4) donne d'ailleurs
( - /n-+ - /hM — - m ■-+ — 111^ cos If
OU bien
(F) p f i + (I ^ cosXi^] .
Nous sommes donc ramenés à intégrer les équations (E) et (B). 60. Intégration de l'équation (B). — Elle est de la forme
(5) + .-[(72+2acos(X(' + (3)]=. o,
où (/, X, a et P désignent des constantes.
On a vu dans le Chapitre I que l'intégrale générale de cette équation peut se mettre sous la forme
(6) Z = ^-niCOS{w Ù'), W
[i. est déterminé par une équation transcendante en fonction de q, a et [j.; les rapports — s'expriment au moyen des mêmes quantités, de sorte que l'expression de z renferme les deux constantes arbitraires y]o et ^. Le résultat précédent est tout à fait rigoureux. Lorsque le rapport - est petit, on peut développer les résultats suivant les puissances de a en séries très convergentes. Voici la valeur de z, en ne négligeant que
I J = Y]o COSWP 4- ^ U— — cos(w + + S) + ^-^^^ — cos(w — lç — &)\ l A l/.-h 2q ' k — iq ' J
3 3 cf-—i-\ m}, = 2(1 — m), a = -
Quant à la valeur de \x, elle est, aux quantités près du sixième ordre, Pour appliquer ces résultats à l'équation (B), il suffit de faire On en conclut
"K — iq = — im + \ m -\- . . ^ , [^q-=— ^in(^\ + ) m ■+- . . .
Les diviseurs 2^ et — lyq- sont petits et, par suite, importants à con-
124 CHAPITRE YIII.
sidérer; les formules (7) et (8) pourront être réduites à
z = cosw -t- ^
cos(w 4- At^) H- — cos —
et elles donneront
^ 1= -/lo COSMf -1- ~ m^rio COS((^H- li') — ^ m ( 1 — ^ m) Y]oCOS(Mr^— 10 o \ 4 /
Nous ne conserverons que les termes du second ordre; dans ces conditions, la formule (C) donnera s = z; enfin, pour nous conformer aux notations usitées, nous ferons
F- = êr, ^ = — 7 — 90% -00 = k,
et nous trouverons
(G) s = k sin(^<' — y) + ^ mk sin [( 2 — ^ — 2 m) c + y],
On voit que la méthode d'intégration nous a conduits d'une manière simple et nécessaire à la forme ks'm(g{^ — y) qui sert de base aux approximations devant faire connaître s; la valeur elliptique s = ks\n(v — y) ne pourrait pas remplir ce but. Quand on compare la valeur (H) de g à celle que fournit une théorie plus complète, celle de Delaunay par exemple, on voit que les termes en et sont exacts et que la formule (H) donne la valeur de ^ — i à
^ près environ.
61. Intégration de l'équation (E). — Nous nous proposons d'abord d'obtenir dans p seulement les termes du premier et du second ordre, comme nous l'avons fait pour ^. Si nous faisons d'abord abstraction du second membre U, nous rentrerons dans le type (5) en posant
les formules (7) et (8) nous donneront l'intégrale générale de l'équation sans second membre. On a vu dans le Chapitre I comment on peut tenir compte
du second membre; nous ferons
IJ. — C, w — cç — CT, r]o = e, et nous aurons, au degré d'approximation dont nous nous contentons,
e cos(c(' — trr) H- ^ ,^ r e cos ï(l -h c) ç — gtI
(10) j + __^__ecos[(A-c)(^ + sT]
+ — 'VA/I — ^- H ^-)cosV/:
Le diviseur \ — iq contient m en facteur, et, par suite, est petit, tandis que iq est voisin de 4. Le coefficient . sera donc du troisième ordre et
t\ -\- iq
pourra être négligé; on trouve d'ailleurs
(2 — lin) lin \\ —
La formule (10) donne ainsi
p = ecos(c(^ — cj) + me cos \{\ — c)v + t^'\
Il faut maintenant remplacer, dans l'expression (3) de U, ^ par sa valeur (G); d'où l'on tire aisément
^^2 cos(2g-(^-2y) + C0S[(A-2^)(^ + 2y]- |m/f2cos>.(^;
il vient ainsi (i3) Uc
U=:Uo+U, + U,,
^^'+ ^A:^ cos(2^r — 2y) — Zin''Q,o%\v,
- nx'-e' cos(m(' — vs') — mk'^ cos [(A — 2 «■) c 4- 2-/)]
Il est inutile d'écrire l'expression de Ua; nous nous bornerons à dire que les coefficients A/ de ses divers termes sont du troisième ordre et que les facteurs Xi de ç dans leurs arguments sont voisins de 2. Tenons compte d'abord de Uq-, nous aurons donc à prendre successivement
Ai'-=— 3m-, Vi = >.<', l,-—l-=:.2.
La formule (12) nous donnera ainsi
I n = — - m^— j k'^-h e cos{cç — gt) -h cosl^ ~ j k^ cos(2^p — 2 y) l 2 4 4
(I) / + me cos [(X — c) p + m],
Telle est l'expression de p, en ne négligeant que des inégalités du troisième ordre.
Nous allons maintenant procéder au calcul de la valeur (11) de c; on tire successivement des relations (9)
c = — y mM 2 4- m H- 8 (i — m) 4- 2 + "g"^^'"*" ' ' / J
3 , / 43 224 a = — -r ro 4- -— - m H m- 4- .
= —T- I 4- ^ 4 ni^ 4-
q". Ç}} — fj^qi-) 32 \ 60 36oo
{17) c — 1 — jm- —m" '—TT ni" j~ m"
PERFECTIONNEMENTS RÉCENTS APPORTÉS A LA MÉTHODE DE LAPLACE. ll'J
Delaunay a trouvé
/ ox 3 , 225 , 4o7' , 205 4q3
On voit donc que les coefficients de m- et dans (17) sont exacts, et l'on pouvait répondre a priori que cela devait arriver; mais, en comparant les coefficients de et dans (17) et (18), on remarque que, si ces coefficients ne sont pas les mêmes, ils ne diffèrent pas beaucoup : ainsi l'erreur relative du
coefficient de m" est — et celle du coefficient de est — • Si donc on calcule
la valeur numérique de c en partant des formules (9) et (17), on devra obtenir une grande approximation. Prenons en efl'et, avec Laplace, m — 0,074 8oi3, et nous trouverons sans peine
A ~i, 8508974, log^ = 1 , 998 1698, loga- = 3, 346 9278,
=. — o, oo4 i326,
La valeur exacte de i c est 0,008 4^2; on a donc le moyen mouvement du périgée à de sa valeur environ. Si l'on ne conservait dans la formule (17) que les termes en m- et en m\ qui sont seuls exacts, on n'aurait i -— c qu'à
^ près. On ne saurait avoir les valeurs complètes des termes et parce que,
dans l'équation (E), la portion 1 — -^m? du coefficient de p demande à être
complétée par des termes en m\ , . . . , et de même pour le reste de l'équation. Toutefois, la comparaison des deux valeurs de c montre que les termes ainsi négligés sont relativement peu importants, de sorte que l'équation (E) réalise, sous une forme simple, une approximation déjà assez grande.
L'une des grosses difficultés de la théorie de la Lune provient, comme nous l'avons déjà dit, du peu de convergence des séries développées suivant les puissances de m; cet inconvénient se manifeste bien dans l'expression (i8) de c: on voit, en eff'et, que les coefficients vont en augmentant dans une jiroportion notable. Ces grands coefficients apparaissent déjà quand on passe de la formule (i5) à la formule (16) ; ils proviennent du développement de la frac-
3 8 4- 4 ^2 ' lequel est peu convergent. Il semble qu'il y ait lieu d'éviter
ce développement ou de l'améliorer, comme l'ont proposé MM. Hill et Adams,
en posant m -= ^ • On trouve en effet, dans cette hypothèse, au lieu de (i8), la série
c — I — - mj ~^ml ^ m* — m; — . . . ,
qui converge plus rapidement.
62. Expression de t en fonction de v. — Nous nous proposons d'obtenir t en conservant toutes les inégalités du second ordre. On verra dans un moment que, pour atteindre ce but, il est nécessaire d'obtenir u non seulement avec les inégalités du second ordre, mais encore avec celles du troisième ordre dans l'argument desquelles le coefficient de v est petit. Or, dans l'expression (i4) de U,, nous avons déjà deux termes périodiques du troisième ordre de la forme voulue, puisque les coefficients de v sont m et X — ig = ~ im — ^rn- — . . . ,
quantités du premier ordre. Il nous reste à mettre en évidence les parties analogues de U^, qui seront fournies par les intégrales
Jp^sinlvdç et (^^~ -\- s'inlç dv.
Nous remplacerons p par son expression (I) et nous ne garderons dans
et ^ + p que les termes du second ordre dans lesquels le coefficient de v diffère
très peu de 2, de sorte que la multiplication par sinXç^ amène des termes où le coefficient de sera très petit. Nous trouverons ainsi que nous pourrons nous borner à
— - cos(2 ce — 2m), d^ 0 3
+pz:r — — (i — 4^-2)cOS(2^^^ — 2y) — ^^2C0S(2^('— 2y),
sinlv dv = ^ e-J' sin [(>. — 2c) c -i- 2m]dv = cos [ ( >. — 2c) c -1- 251] , f dç=^k'j^sin [(>; - 2g) V + 2y ] dv — cos [(A - 2g) v + 2y].
L'expression (i4) de U, devient ainsi, après réduction,
Ui = e' cos{mç — nr' ) + -y- me'^ cos [(X — 2c ) p + 257]
