II. — Pl

IL — Po.

6 OJ — [\ (i)'

4 OJ

On a laissé de côté tous les coefficients qui, chez Hansen, sont inférieurs à o", I. On voit que les différences Hansen — Damoiseau sont généralement faibles; il n'y en a que quatre qui laissent beaucoup à désirer, étant égales à — 3", 85, — 3",o5, — 2^,95, -h 2",4i (' )• En somme, la théorie de Damoiseau a fait faire un progrès énorme aux Tables lunaires et n'a pas exigé, après tout, des calculs par trop longs et compliqués. Sa méthode est, comme nous l'avons dit, celle de la Mécanique céleste; il est bon de citer à ce sujet ces quelques mots de Laplace (-) : « Cette méthode me paraît devoir donner les approximations les plus convergentes. En effet, les forces perturbatrices se présentent sous cette forme (forme procédant suivant les sinus et cosinus des multiples de la longitude vraie) ou du moins elles y sont facilement réductibles; pour les réduire à une autre forme, par exemple à des séries de sinus et de cosinus d'angles croissant proportionnellement au temps, il faudrait, à cause des inégalités considérables du mouvement lunaire provenant soit de sa partie elliptique, soit des perturbations, porter fort loin les approximations, ce qui compliquerait l'analyse et rendrait les approximations moins convergentes. »

57. Théorie de Plana. — Elle est développée dans trois énormes volumes in-folio. C'est encore la longitude vraie qui est prise pour variable indépendante; les équations différentielles sont celles de Laplace. Tous les calculs sont analytiques, et les coefficients ^i>^'", ail,''", g'''*, que Laplace et Damoiseau calculaient numériquement, sont développés suivant les puissances de m. Plana ne détermine pas tout d'un coup les expressions de 11, s et de nt en fonction de v; il divise le travail en plusieurs parties, détermine d'abord u et s, comme nous l'avons fait plus haut, en négligeant le troisième ordre, en conclut nt, puis u' et Il revient aux équations différentielles, qu'il intègre par la méthode des coefficients indéterminés, en ne négligeant plus que le quatrième ordre dans u et s\ il détermine ensuite nt, et ainsi de suite. C'est moins simple et plus difficile à suivre que chez Damoiseau; au fond, c'est la même chose, sauf la diffé-

(1) Elles se réduisent à — 3", i5, — 1",64, — 3", 33, -4- o",o8 pour les Tables de Damoiseau. L'écart de 3", 3 disparaît si l'on prend pour l'équation parallactique le coefficient primitif de Hansen {—11%", o) que M. Newcomb a porté à — i25",43 par une réduction spéciale.

(2) Siu^ le perfectionnement de la Théorie et des Tables lunaires {Additions à la Connaissance des Temps pour i823).

rence signalée plus haut. La réduction des coefficients en séries procédant suivant les puissances de m a ses avantages et ses inconvénients. Plana l'avait bien compris, car il dit dans la Préface de son grand Ouvrage :

« Les théories de la Lune publiées jusqu'ici n'offrent pas une expression littérale et explicite des trois coordonnées; elles portent toutes le caractère d'une solution qu'on pourrait appeler mixte, en réfléchissant qu'on y procède par des opérations algébriques entrelacées avec des opérations arithmétiques où les quantités numériques absolues se trouvent enveloppées avec les valeurs spéciales des constantes arbitraires.... Un moyen que nous avons employé pour soustraire notre théorie à l'influence de ces erreurs faciles à commettre dans une recherche aussi compliquée fut celui de développer sans cesse les diviseurs qui naissent de l'intégration et d'arrêter les produits des différentes fonctions là où les termes subséquents seraient d'un ordre supérieur à celui que l'on considère. Alors on peut effectivement sommer un fort grand nombre de termes de la même espèce et, par là, diminuer la complication. Mais il est possible que l'application trop réitérée d'un tel principe ait en lui-même l'inconvénient de diminuer la convergence des séries. Sur cela, nous n'avons rien à opposer. Nous accorderons sans peine qu'il est possible de présenter les coefficients des inégalités lunaires par des fonctions des éléments sous une forme

différente de la nôtre, qui aurait l'avantage de les rendre plus convergents

Jl faut avouer qu'il est très difficile de réaliser avec succès une belle conception dans la théorie de la Lune. La complication inhérente aux formes qui conservent les signes d'opérations non exécutées deviendrait bientôt un obstacle insurmontable pour une solution littérale telle que nous la voulions La forme que

nous avons adoptée permet du moins d'atteindre lentement cette limite. »

Laplace dit de son côté (^Additions à la Connaissance des Temps pour 1823) :

«... Les auteurs de la seconde pièce (Plana et Carlini) ont réduit leurs expressions en séries ordonnées par rapport aux puissances ascendantes du rapport du mouvement du Soleil à celui de la Lune, rapport moindre qu'un douzième. L'Analyse ne présente pas ces expressions sous cette forme ; elle conduit à des équations dans lesquelles les quantités cherchées sont entremêlées et affectées de divers diviseurs. Pour les réduire à la forme de séries, il faut éliminer ces quantités et réduire en séries les diviseurs des divers termes de leurs expressions. On conçoit que cela doit conduire à des séries peu convergentes, et qu'il faut beaucoup prolonger pour obtenir le même degré de précision que donne la méthode employée dans la Mécanique céleste. »

Voici, en outre, ce que dit Poisson dans son Mémoire sur le mouvement de la Lune autour de la Terre :

« ... Dans \di Mécanique céleste, les coefficients des inégalités lunaires sont

liés, en partie, les uns aux autres, par des équations linéaires dont l'illustre auteur a seulement donné la résolution numérique. M. Damoiseau a suivi le même procédé, en poussant les approximations beaucoup au delà du terme auquel Laplace s'était arrêté. M. Plana, au contraire, exprime explicitement chaque coefficient en série ordonnée suivant les différents ordres des quantités que l'on considère dans le mouvement de la Lune, en sorte qu'il ne reste plus qu'à substituer dans ces séries les valeurs des éléments elliptiques de la Lune et du Soleil pour en déduire la valeur numérique de chaque coefficient. Cette seconde solution est plus laborieuse que la première, mais elle a l'avantage d'être plus complète, en la considérant comme une solution analytique et générale du problème, puisqu'elle suppose seulement les constantes arbitraires assez petites pour la convergence des séries. Peut-être, sans ôter à cette solution son caractère particulier, aurait-on pu la rendre plus simple et les séries plus convergentes, en évitant de développer, comme le fait M. Plana, les dénominateurs de leurs différents termes résultant des intégrations successives. »

Nous avons beaucoup insisté sur ce point, parce qu'il est capital dans la théorie de la Lune; nous y reviendrons encore en parlant des travaux de MM. Delaunay, Hill et Adams. Le Tableau des pages 112 à ii5 contient les différences Hansen — Plana; on a marqué d'un astérisque celles que de Pontécoulant déclare avoir reconnues fautives en revoyant les calculs de Plana. On voit que, en somme, la théorie de Plana n'est pas de beaucoup supérieure à celle de Damoiseau. Il y a d'ailleurs quelques différences susceptibles d'être expliquées par les valeurs différentes adoptées pour les constantes numériques, notamment pour la parallaxe du Soleil.

En admettant que les nombres de Hansen soient rigoureusement exacts, on trouve dans Plana dix-sept coefficients erronés de plus de o", 8, tandis qu'il n'y en a que neuf chez Damoiseau; de même, le premier astronome a treize erreurs comprises entre o",5 et o",8, tandis que le second n'en a que sept. L'avantage paraît donc être du côté de Damoiseau, et c'est encore plus remarquable quand on compare son unique Volume aux trois gros in-folio de Plana.

ii8

58. Nous allons rendre compte d'un Mémoire intéressant de M. Gyldén, intitulé : Die intermédiare Bahn des Mondes (Acta mathematica, 7 : 2), en y apportant quelques simplifications et des compléments utiles, comme nous l'avons montré dans un travail inséré au tome II des Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse. Nous n'avons pas cru devoir introduire, avec M. Gyldén, les fonctions elliptiques, qui ne nous ont pas paru indispensables. Ce sujet peut être rattaché très directement à la théorie de Laplace, et c'est pour cette raison que nous allons le traiter immédiatement, bien que, dans l'ordre historique, il dût venir plus tard.

M. Gyldén part des équations différentielles (4) et (5) du Chapitre précédent et il y prend les termes les plus importants, de manière cependant à pouvoir intégrer rigoureusement et à obtenir une solution approchée, mais bien plus précise que celle du mouvement elliptique, quelque chose à' intermédiaire entre ce dernier et le mouvement réel. Dans ce but, il conserve les termes en

^ et ^ dès la première approximation. On peut négliger le dernier terme de

l'équation (5), celui qui contient une intégrale, et remplacer, dans les autres,

ç et y^Y' respectivement par -5 mv, ? ce qui donne

( A ) —, nv^ sin (•2V — imv) — \- s\ iH — - h — ces (2ç — 2 mv) = o.

^ ' dv- 2 ' d^> \ 2 2 'J

On est ainsi conduit, pour déterminer une valeur très approchée de s, à une équation différentielle linéaire du second ordre, dont les coefficients sont des

fonctions périodiques de la variable indépendante, la période étant 7-37^' Or

ces équations ont été l'objet de beaux travaux de M. Emile Picard (*) (dans le cas le plus général où les coefficients sont des fonctions doublement périodiques) et de M. Floquet (-), de sorte que nous pouvons bénéficier de ces progrès récents de l'Analyse. Il y a lieu de ramener l'équation (A) à la forme canonique adoptée par M. Gyldén et par M. Lindstedt; on pose

SUdf

OÙ E désigne la base des logarithmes népériens et H une fonction inconnue de V que l'on détermine par la condition que l'équation différentielle relative

à z ne contienne pas de second terme en On trouve, en faisant X — 2(1 — m),

+ fi + - - m^cosAr + H^- -mmsinlv -+^~\ z=:o■

on pose

d'où

H = 7 sinA r,

/3 3 H cW =—7 cosÀp — — 5 + m) cosX<^ — 42 — 2 m 8

on a conservé dans cette équation tous les termes en et négligé les termes en m'' .

59. Equation différentielle simplifiée pour u. — Dans l'équation (4), on pose

(1) Voir lo Cours cl Analyse de M. C. Jordan, t. III, p. 274.

(2) Annales de V École Normale; i883.

il vient ainsi

-y^^ -H p + I — y- + -5-+ -m^\ [i + 3 cos(2r — 2<^' ]

3 „(i + p'f dp . .

■ m^- -y-sin(2(-' — 2P')

— 3 I + p H- -i-Ç / !--7- sm(2i' — 2<'')(i(' = o.

Le terme constant i — est du second ordre, comme on le voit par la formule (21) du Chapitre précédent; ^ devant désigner la partie non périodique de u, on peut faire abstraction du terme constant en question. On développe suivant les puissances de p et de p' et l'on remplace m- (^i -\- p 4- par m^

car ^ -h p est du second ordre. Il vient ainsi

d^p 3,3,., ,.dù

-T-T + P + -S' m- 'àmiiv — -i-

dv^ ^11 dç

(0 { + ^m2(n- 3p'— 3p) [t + 3 cos(2r — 2P')]

— 3??i^J^ (i + 3p'— 4p + lop^) sin(2(' — 2ç') dv — o.

Il semble qu'on aurait dû omettre, comme étant du quatrième ordre, le

terme — dom^J' sin(2Ç' — n'')dv, on verra cependant plus loin qu'il donne

une inégalité du troisième ordre qui doit être conservée. La formule (19) du Chapitre précédent donne ensuite

(.-'= mç + 2e' sin (/nr — m') -+■... ,

d'où

sin (2(^ — 2P') == sinlv — 2e' sm{lv mç — w') 2e' sm{lv — mv -i- w'), cos{2v — 2ç') = coslv — 2e'cos(Ar -^- mç — rn') + 2e'cos(ÀP — nn> + gj').

Si l'on porte ces valeurs dans l'équation (i) et qu'on remplace en même temps p' par e'cos(/72P — cr'), on trouve

- irnlv ^ -i- p( 1 — - m^— - ni^ cos>i<A + - 5^ + - m^-\- - in^ cosX<' dv^ 2 dv ^ \ 2 2 ) 2 2 2

— 3/?i-e'cos [(A + m) v — m'] h- "inx^e' cos [(A — m) c + ro']

H- - mP- e' zç>'A{mv — w') (1 + 3 cosAt^ — ^m^J" sinAp c/p + ^ni^'e' J sin [(> + m) v — is'

— Gm^e'J' sin [{1 — m) ç ^' ] dv — g e' sinAc cos(m(' — ro') c/c -i~\2m^J p sinAr — 3of7i^J' p^ sinA(' t/c

OU bien, en effectuant les intégrations que l'on peut faire immédiatement et réduisant,

d^P 5 ^ . . dp [ 3 0

+ ^ H- - "î'^ + (?>m^-^ cosAc +-m^e'cos(/;ii' — cj')

— ^ m^e' cos [(>. m)v — -G^') -h — m'-e' cos [(>. — m) v + cj']

M. Andoyer {Bulletin astronomique, t. IV, p. 177) a proposé de différentier cette équation pour faire disparaître l'intégrale J ^ûnXvdv. On serait conduit ainsi, sauf le petit terme correctif ~ ?>om'^ Jf- s\n\v dv, à une équation différentielle linéaire du troisième ordre, à coefficients périodiques. La forme de l'intégrale générale est connue, d'après le Mémoire déjà cité de M. Floquet. On pourrait ensuite déterminer les constantes par la méthode des coefficients indéterminés, sauf à vérifier aussi l'équation (2). Mais il est plus simple d'avoir recours au procédé suivant, employé d'abord par Lagrange {Œuvres, t. I, p. 644-^^45) et généralisé par M. Gyldén :

On peut écrire

j^psinAc dv ^-J^-l^mlvdv 4- ^(^^ + sin Ap ^r. Or on trouve, en intégrant deux fois par parties,

J sinlç dv -= ^èinlv — Ip co&lv — l-j^ psinli dv, et il en résulte

fp sin A . d. - ^ I sin - ^ P cos A r - ^ + p) sin A . d..

Dans le dernier terme, on peut remplacer ^^^^ par ^, et finalement l'équation (2) devient

en posant, pour abréger,

[]——'^s-— - m"- — (s m- -h cosA(^

— - m-e' cos (jnv — gt') + - f7i'-e' cos [(A + m) <' — cr'] — — m'-e' ces [(X — w) p + gt

On est donc ainsi conduit, pour déterminer p, à une équation différentielle linéaire du second ordre, à coefficients périodiques, avec second membre; on devra, bien entendu, remplacer, dans U, s par sa valeur résultant de l'intégration de l'équation (B).

Pour ramener l'équation (D) à la forme canonique adoptée, nous ferons

( 4 ) p = Zt, ,

ce qui nous donnera, avec la même approximation.

On aurait dû mettre dans le second membre, au lieu de U,

— ( - m-— \ fsinXi'dt'