Etude de l'équation

ce

(«) +.r(^2^2^lCOS20 = O.

Cette équation est un cas très particulier des équations différentielles linéaires à coefficients périodiques, considérées d'une manière générale par M. É. Picard et M. Floquet. Pour établir ses propriétés d'une manière simple, nous adopterons d'abord l'exposition de M. Callandreau {Astron. Nachr., n'» 2547).

Soit une solution de l'équation; on aura aussi les suivantes

^{t^Tz), ^{t-v-iTi), ^{t-\~?,Ti),

cela tient à ce que le coefficient de x est une fonction périodique de /, à période Tî. On sait qu'avec deux solutions différentes, ^{t) et + tt), de l'équation linéaire {a) dépourvue de second membre, on peut former toutes les autres, T. - III. '

et en particulier ^(^ + 2Tr). On aura, en désignant par Ao et A( deux constantes convenablement choisies,

(0 ^(^4-27r):r::Ao^(0 + Aid;(^ ^71).

Si ^(t) et ^(t + tt) n'étaient pas deux solutions différentes, on devrait avoir, en désignant par Bq une constante,

(2) ^{t + r.) = 'Bodj{t).

Cela posé, je dis que l'équation différentielle {a) admet une intégrale F(/) telle que l'on ait

(3) F(^ + 7r) =vF(0,

en représentant par v une constante différente de l'unité.

En effet, supposons d'abord réalisée l'hypothèse qui conduit à la relation (2) : la condition (3) sera vérifiée, si l'on prend

Ce cas exceptionnel écarté, nous allons montrer que l'on peut prendre

(4) r(0^^(^ + 7r) + vi^(0,

où v^ désigne une constante. En substituant cette valeur de F(/) dans l'équation (3), il vient, en effet,

a> ( ^ + 2 71 ) + ( V 1 — V ) d; ( ; + 71 ) = vv 1 4; ( 0 ,

ou bien, en ayant égard à la formule (i),

(Ai4- Vi — v) tj>(« + 7r) 4- (Ao — vvi) =0.

Cette équation deviendra une identité, si l'on détermine v et v^ par les conditions

d'où

A^j-\/ÂJT4Ao - A,H- v/AJ +4Ao 2 ' ^

La fonction F(^), déterminée par la formule (4), vérifiera bien la condition (3). Cette condition donne, d'ailleurs,

F(7i)iz--vF(o), F(-7r)= ^F(o),

INTRODUCTTON. ^

d'où l'on tire

(5) fW)