Considérons, d'une manière plus générale, l'équation

^^-^ -\- .T Çi COS 2 i7 = o,

OÙ le signe ^ sera supposé contenir un nombre limité de termes. On en déduit, en différentiant p fois, et faisant ensuite ^ = o,

jo \~di^)r ^ V ^^--^ A

p(p-i)(/>-2)(/>-3) , ^ 1.2.3.4 "'V^/^^-Vo

OÙ l'on a fait

En donnant à /?, dans la relation précédente, les valeurs o, 2, 4, puis I, 3, 5, . . on obtiendra

dt' Jo \ dt* A

où les quantités 1 et [7. sont des fonctions de ^2, • • • ; après quoi , la série de Maclaurin donnera

(6) x = .Xof{t)-hx',(^{t),

OÙ l'on a posé

Ces séries, qui sont convergentes dans toute l'étendue du plan, ne contiennent, comme on voit, la première, que des puissances paires; la seconde, que des puissances impaires de t. On a, d'ailleurs,

/(o) = i, 9(o)=ro; /'(o) = o, cp'(o)=ri;

^0 et x'^ étant arbitraires, la formule (6) donne l'intégrale générale de l'équation différentielle, de sorte qu'on aura aussi

On en conclut

F(Tr) =^o/(7r) + 9(7t), F(— 7:) = ^Co/(7t) — 9(7t), F(o) z=zœ^,

d'oii

La formule (5) donnera donc (7) ' F(7r)4-F(-7r)

On peut ainsi calculer v en partant d'une intégrale quelconque F(;) satisfaisant ou non à la condition (3);/(7r) est la valeur que prend, pour x = iz, celle des solutions de {a) qui est une fonction paire de t et se réduit à l'unité pour t = o. On trouve aisément

/( 0 = I - ( 4- 2 ^0 + [( -I- 2 ry 0^ 4- 8 ] — il- - . . . .

En remarquant que le second membre doit se réduire à cosy/ lorsque = o, on en conclut, pour /(ir), une expression de la forme

OÙ les coefficients a, , y.^, . . . sont des fonctions connues de q. Dans les applications courantes de l'équation {a) à l'Astronomie, q n'est pas égal à un nombre entier, et q^ est petit; la valeur absolue de /(u) est donc inférieure à l'unité. L'équation (7) donne

donc V est une expression imaginaire de module i, et l'on peut faire, en désignant par h une quantité réelle.

Les équations (3) et (7) deviennent

(10) cos/i7T=/(7î) =z cosgn + ocig^-i- oc^cj^ +

Si l'on pose

on en conclut, en ayant égard à l'équation (9),

Donc &(t) est une fonction périodique de t, à période tz, et l'on a, en série convergente,

après quoi, la formule (11) donne

F( est aussi une solution de l'équation différentielle; en ajoutant et retranchant, on a les deux solutions

^ Y]; cos(A + 2ï)^ et 2 Y),- sin(/i + 2i)^.

Multiplions-les par cos^ et — sin^^, désignant une constante arbitraire, et nous aurons enfin cette solution

Remarque. — Les raisonnements précédents s'appliquent, sans modification, à l'équation

H- cos2< + 2^2 cos/i^ H- cos6i 4- . . .) = o,

que nous rencontrerons bientôt dans les belles recherches de M. Hill sur la Lune : il n'en est plus de même pour ce qui suit.

3. Détermination de A. Méthode de M. Lindstedt. — Substituons, dans l'équation {a), l'expression {b), dont nous avons démontré à la fois l'existence et la convergence; nous trouverons

ou bien, en changeant i en i — i et en « + i dans les deux derniers termes,

2] — (A + 20']y]/ + '7i(y)<+i + y)/-i)| COS((^ + i0) = O.

b CHAPITRE I.

Cette équation sera vérifiée identiquement, si nous astreignons les y], à vérifier les échelles générales de relation

(X2) [{h+ 2iy— q^]f]i =qi{-f],+i +Tn,i),

(l3) [(A — 2iy— 7']^-/= ^1 + ^-'-l)-

Faisons

M,- et M j seront petits à cause du facteur ç^,, et tendront vers zéro quand «croîtra indéfiniment, à cause du diviseur La relation (12) donnera

d'où ^