H- 9'^- 299' COS

Les formules (28) et (29) donnent ensuite

9'- §9''^-|??'cos(0-e')]•

R=:/^'2a2 On en conclut

I dR

dt "

na^cp do

I dU

'dt ~''

I — — CCS

Si l'on pose

on trouve aisément

9 sinS =p, 9 cosô = ^, 9'sin0' = /;>', a^' co?,9' = q' ,

I ûfe ,

Pour intégrer ces équations, on pose, en désignant par A et B de nouvelles variables,

[ p= A sin + B ces A^, ( 5' =— A cosA^ H- B sin A^.

Si l'on substitue ces valeurs dans les équations (3o), il vient

. , dk , d\\ - ,

sin ht—, — I- coi ht—, hq' =: o,

dt dt ^ '

, dk . , dB , ,

cos ht— sniA^— 7- — hp—o,

dt dt ^

T. - ITT.

102 CHAPIÏIIE IX.

d'où

^ =: h {c/ sin ht p' cos ht) , — =::z h (q' cos ht —p' sin ht) .

Intégrons par parties et désignons par Ao et deux constantes arbitraires; nous trouverons

A = Ao+ p' &in ht — q'cos ht — J (^m ht^ — cosht'^^ dt,

B = Bo + p' C05 ht -h q' sin ht— J (cosAi^ + sin

Or on peut admettre que, pendant un temps très long, ^ tît ^ restent constants, et poser (Le Verrier, Annales de l'Observatoire, t. II, p. 172)

= — o", o5q — b — (ji sin Q' , dt ^

I ^ =-0", 476 = 0 = cocos 9',

Les formules (32) et ('3i) donnent ainsi

A = Ao H- p' sinht— q'cosht + ^ ( ^ cosA^ + c sin ht), B = Bo + p'cosht + q^ s,mht + ^ (~ ^ sin ht + c cos ht),

p= Ao sin ht + Bq cos ht p' -\- j^,

q z= — Ao cosA^ + Bo sin/i^ + — ^•

On peut poser

Ao =— cpi cos Al, Bo = 9iSin/ii, 9i = hi — ht, /?! = tpi sin^i , ^1 = 9i cos (?i ,

OÙ tp, et désignent des constantes, et il vient ainsi

(34) p=py-i-p'+j^, q = qi + q'—\'

Les accroissements de p et de q, dus au déplacement de l'écliptique, seront, à très peu près,

(35) dp:=p'+y èq = q'-y

THÉORIE DE POISSON. l63

On aura aussi, pour la variation de l'angle J que forme l'orbite de la Lune avec l'écliptique mobile,

Soit s le sinus de la latitude rapportée au plan fixe ; on aura

s = sincjj sin(p — 9) = g sinv — p cost-,

d'où, en négligeant

ds = sin ^> — cos ç dp OU bien, en ayant égard aux relations (33) et (35),

ds = c^'sm{ç — e') — j^cos{i> — e').

Le dernier terme représente l'inégalité cherchée de la latitude, rapportée à

l'écliptique mobile. Le coefficient ^ a pour valeur i",36, ou mieux i",42, si

l'on attribue au moyen mouvement annuel h du nœud sa valeur plus exacte 0,338. L'inégalité devient alors

ès — — i",^2 cos((' — 9') —+ i" ,^1 cosc — o", 17 sin v. On a maintenant, pour l'inégalité correspondante de la longitude,

àv ' de ,

dl lia àa ma'' c^cp

d'où, en remplaçant R par sa valeur ci-dessus,

^ — + - :l-rcp2+a)'2 2 99'cos(0-0')] - S — [9^-99'cos(e-9')]. dt II Q. n on

En introduisant p, q, p' et q' et négligeant p''^ + q'-, il vient

Jt --^--\^'^\ ^'(P'-^^n - l Hpp'-^qcj').

Remplaçons p ai q par leurs valeurs (34), omettons les parties constantes et les termes du second degré en b, c, p' et q' -, nous trouverons

^ =?,{cpy — bq,)— ^-h{p,p' -\-qyq').

On en tire en intégrant

^ . 5 bpy -\- cq^ I , ,

l64 CHAPITRE IX. — THÉORIE DE POISSON.

on vérifie aisément ce résultat en différentiant et ayant égard aux relations

dt - dt - ^^P'^

dt ' dt '

Si l'on introduit de nouveau 9,, 0,, (p' et Ô', il vient

â<'= ^^a)9,cos(0i— 0') + -9icp'sin(0i- 0');

en remplaçant ^^ par cp = 1^, on trouve enfin

àçzzz ^(p<p' sin(0— 0') + 5y|cos(0 — 0').

Le coefficient de cos(6 — G') est égal à o",3i, quand on attribue à h la valeur o,'^5, qui résulte de la première approximation.

Ces deux théories sont fondées sur les mêmes principes; la première est contenue dans divers fascicules parus en t833, i836, 1837 et 1840 sous le titre : On the Theory of the Moon, and on the Perturbations of the Planets. La seconde remplit en entier le Tome IV de la Théorie analytique du système du Monde, paru en 1846.

Les deux auteurs ont cherché à obtenir directement les perturbations de la longitude, de la latitude et de l'inverse du rayon vecteur de la Lune, développées en sinus et cosinus d'arguments variant proportionnellement au temps; ils ont introduit, dès le début, comme Poisson l'avait conseillé, la longitude moyenne de la Lune au lieu de la longitude vraie. Lubbock s'en est tenu aux premières approximations; le travail de M. de Pontécoulant est beaucoup plus étendu, et c'est celui dont nous donnerons une idée assez complète dans les pages suivantes.

78. En supposant égal à l'unité le produit de la constante f de l'attraction universelle par la somme des masses de la Terre et de la Lune, et désignant par X, 7, z les coordonnées rectangulaires de la Lune, par R la fonction perturbatrice, on a, comme on sait, les équations différentielles

' dt'- dx' dt'^7''~d^' "dr- 7' — 'ôz'

Multiplions ces équations, d'abord par x, y, z, ensuite par idx, idy et idz\ nous trouverons

j dxl+df^^d^ I /d^ dl\, , \

l66 CHAPITRE X.

Prenons pour plan des xy le plan de l'écliptique supposé fixe; soit la longitude de la Lune comptée dans ce plan, s la tangente de sa latitude au-dessus de ce plan. On aura

y/ 1 H- 5- \Ji + s^ \/' I + 5

on en tire aisément

^ dr ^ dx ~^ dy ^ dz

dx^- + dy^'

-1- dz-

dr'-

dv''-

ds"

di-

I 4- s" dC'

Y dt^'

dP-x

^y-dë--^

d^z ^'dë

--(x dt \

dx dy

dL ^ dt

^dz\ dt)'

dx^'-V

dY^+ dz"' dt'

d'^r ~''~dë

/■^ dv'^

- ds"

1 + 5^ df^

s^'f de"

de sorte que les équations (2) donneront

dt'' 1 + s' df {i + s')- df r a J

6/2 /• ds^ i , ^ .

on a posé, pour abréger,

^,13 àJ{, âR, ôR,

et — ^ désigne la constante qui accompagne l'intégrale 2 J' r/'R, dont le sens est précisé par la formule

r rfàR dx dR dy ÔR dz\ .

J J \àx dt dy dt âz dt J

En ajoutant les équations (4), on trouve

I d'r^ I I dR

c'est une équation fondamentale dans la théorie actuelle : elle se trouve déjà dans la Mécanique céleste de Laplace.

Multiplions maintenant les deux premières équations (i) par —y et H- a?;

nous obtiendrons

d ( dy dx\ dV\ d\\ d\\

dt \^ di dt) ^ dy dx dv '

d'où, en ayant égard aux formules (3) et désignant par h une constante arbitraire,

Enfin la relation

/• (m rs dV, ds y/i ( ^ âz I H- s- âr

permet d'écrire comme il suit la troisième des équations (i) :

„ d' rs \ I rs y/i + .9^ âll s dR

dr- \^TT7^ j ~^ H ? ds ^TT72 °'

Les équations (A), (B), (C) vont maintenant nous servir de point de départ. Soient r' et ç' le rayon vecteur et la longitude du Soleil; on aura, comme on l'a vu à propos de la théorie de Laplace,

1 H- -j-^ 3 ( I — .— 5M cos((' — p') + 5 ( I — -^M cos(3(^ — S^»')

où m' désigne le produit de la constante f par la masse du Soleil.

79. Quand on fait abstraction de R, les formules (A), (B), (G) deviennent

/ I d'^ /■- I I dç 'i -h s- '

\ 2 dt^ r a dt r^

d^ f rs \ I rs

dr-y^.^s'^j r^ ^■

On déduit de ces équations les développements de r, v et s, que nous reproduisons en négligeant les troisièmes puissances de l'excentricité et de l'inclinaison,

/■ g2 Q-i - = I H e cos 9 cos 2 0)+...,

' p = /i^ H- £ H- 2 e smtp + 7 sin2cp — sin 2 y] + . . . ,

\ s = y sin y) + e y sin (9 — -n) -\- ey sin ( 9 + yj ) + . . . .

y est la tangente de l'inclinaison de l'orbite sur le plan des xy, (p l'anomalie moyenne et -q la distance moyenne de la Lune au nœud ascendant de son orbite; on aurait donc, en employant les notations bien connues,

tp — + £ c7, n ^ /it £ — Q,

où m et Q désigneraient des constantes. Mais, en raison des variations rapides du nœud et du périgée, les formules précédentes ne donneraient qu'une approximation insuffisante. Aussi l'on pose

I cp = Cnt H- £ — C7 =: + £ — [cï + (l — C ) /it] ,

I r}=gnt + £- Q =nt + £-[Q-^{i~ff) nt],

OÙ C et ^'représentent des constantes qui seront déterminées ultérieurement.

On voit que cela revient à considérer une ellipse mobile tournant uniformément dans son plan, tandis que ce dernier se meut uniformément aussi autour de l'axe de l'écliptique; (\ — c)nt et (i — /z/ sont les moyens mouvements du nœud et du périgée. Les formules (8) et (9) cessent de vérifier les équations (7); mais nous avons le droit de les prendre comme point de départ de nos approximations. Dans ce qui suit, a, n, e, y, £, m, Q seront des constantes absolues, même dans l'orbite troublée de la Lune; nous prendrons pour n la valeur qui se déduit directement de l'observation, de sorte que n sera la valeur angulaire moyenne dans l'orbite troublée, a se déduira de ji par la relation TÎ^a^ = \ : c'est la définition même de a.

On aura, pour le Soleil, des formules analogues à (8), qui seront supposées représenter exactement son mouvement,

— : — I H — e' cos 9' cos 29' + ...,

, = mnt 4- £' + 2 e' sin 9' H- 7 e'^ sin 2 9' -r . . . , (lo) { ^ 4 ^

9' =. n' t -\- s,' — w' — mnt + e' — m',

La quantité m, rapport des moyens mouvements du Soleil et de la Lune, est constante.

80. Si l'on porte les expressions (8) et (10) de r, ç, s, r' et ç^' dans l'expression (6) de R, ou plutôt dans sa première partie, à laquelle nous nous bornerons,

(II) R = i n'^r'- (~y[i-3s'-^3{i-s^)cosi2ç — 2ç')],

on obtient sans trop de peine le développement suivant de R, dans lequel nous avons supposé a ~ i et, par suite, n — \ et m = n! ,

■K — —, e cos 9 ^ e- cos 2 9 h r- e' cos 9' + 2-— e'- cos 2 cd'

/ / M 3 m- ,^ Sm^ ^ ■ ^— ee' cos(9 — 9') — ee' cos (9 + 9') h ^cos2^

e cos ( 2 ^ — 9 ) H e cos ( 2 4 + 9 ) H g— é cos (2^ — 9')

g— e cos (2^ + <P ) H g— cos(2| — 29) + . . . .

Nous avons posé, pour abréger,

— l' = Ht + z — a' t — t' — { \ — m) t -\- s. — t' ,

et nous avons fait y = o, pour simplifier notre exposition. Tous les termes du troisième ordre ont été écrits et même plusieurs du quatrième; on en verra la raison plus loin.

De Pontécoulant désigne par y la valeur de ^ déduite des formules (8)

— = 1 + e cos 9 + e- cos 2 9 H- ... , et par y la valeur exacte dans l'orbite troublée : il pose

Il introduit ainsi ~ et ~ , et non pas A■^ et r, parce que l'une des inconnues finales

est la parallaxe de la Lune, qui est représentée, à un facteur constant près,

par j' Il admet ensuite que §4" peut se développer en une série de cosinus

portant sur les arguments 9, 29, 9', qui figurent dans le développe-

ment (i 2) de R,

( ^— = «^0+ «^1^ COS9 + «2 e- COS29 + «3 e' COS9' + «4 e'- COS29' (,3) ; + ee' cos (9 r- 9') H- ee' cos(9 H- 9') H- «7 cos2|

I + «8 e cos(2^ — 9) -I- rt-g e cos(2^ H- 9) + e' cos(24 — 9')

> + «11 e' cos (2^ H- 9') + <7i2 e- cos(2^ — 29) . . .

Uq, a^, 2» • • • sont des coefficients indéterminés dont il faut calculer les va-

leurs, ce à quoi l'on arrivera au moyen de l'équation (A); mais quelques expli- T. - III.

l-yo CHAPITRE X.

cations préliminaires sont nécessaires. On a d'où, par la formule du binôme,

L'équation {h) devient ensuite

2 1 dt^ df'

Posons

remarquons que l'expression (i i) de R donne

dR R

rappelons-nous que nous avons supposé <2 = i, et l'équation (i4) deviendra

r, ^ i i I d^r\ (i^P C-nry tj

(.6) + rfF + V'"'"^''' = °'

on a d'ailleurs

1 — —\ — e cos 9 -i- e- cos 29+..., 1 '1

(17) / /-j =- I -i- - e^— 2e COS9 — - e- C0S2cp +. . . ,

I = c-(2ecos9 + 2e- COS29) 4-. . . ;

le facteur c- provient de ce que ^ = [formule (9)]. 81. On a ensuite

dKz=: -^dx + . . .-\- -z—j dx' + . . . , ox ox'

dK^dR -\~ '^,dr'^^^,dv' -, or av'

or, d'après (i i),

Il viendra donc d'où

ou bien, en tirant dr' et dv' des formules (lo),

I 2 J^rf'R + 2R = R + 6/?z J R ^e' sin 9' H- ^ e'^ sin2 9'^ f/^ I -\- J ~ i^i + 2e' coscp' H- ^ e'^ 00829'^ g?^.

Nous chercherons dans seulement les termes en m-. Il faudrait donc, semble-t-il, prendre dans les deux derniers termes de la formule précédente R=o

et ^ = o, car, autrement, le résultat du calcul contiendrait m? en facteur.

Mais il faut remarquer que certains termes s'abaissent d'un ordre par l'intégration; ainsi, en bornant le développement (12) à

on aura

R ( e' smcp'+ - e'2 811129'! — — e' 8m 9'+ — ^ e'^ sm 29',

d'où, en multipliant par dt, intégrant et remarquant que le coefficient de t dans cp' est égal à m,

J R (e' sin9'H- ^e'^sin29'^ dt — — ^e' COS9'— e'^ CO829'.

Il faut maintenant calculer Or l'expression (11) de R ne contient que V — v' , et l'on a

— p' — ^ + 2esin9 — 2e' sin9'+ ^ sin29 — ^ e'^ sin 29' + . . . . On en conclut

et, en se reportant à l'expression (12) de R, on voit que, pour avoir un abaissement dans l'intégration, il faut prendre seulement

-^=— -^'n-e^sm{2^ — 29).

On aura ensuite

/dJi ( 5 ^ 1 5 r

1 5 nx^

En portant les résultats précédents dans la formule (18), il viendra

I 2^^/' -h 2R = 4R - e' COS9'

--^e'-cos29' — -cos(2^-29).

Si donc on pose

(20) \ ^ / " + ^ = const. 4- Rie COS9 4- Rje- COS29 + R3e'cos9'

( +R4 e'^ cos2 9'h- . . . + 005(2^ — 29) + ... .

on trouvera sans peine, en ayant égard aux formules (12) et (19),

R,=-2ms R.=-'^^ R3=^^ R.=^' R«=-3..s

liii — — j JK

82. L'expression (rS) de P peut être bornée, dans la première approximation, à

= — ('1 — 0 = (3ecos9 — 3e2) + e COS9 + «36' 0039'+ C0S2^

Si donc on pose

^^^^^^ I P = Po+Piecos9 + P2e2cos29 4-P3e'cos9'

î + P^e'^ cos29'+. . . + P,2e2cos(2| — 29) -f-

on trouvera

Pi = 3^0,

Pu— o,

on a négligé e-a^ et devant

On peut maintenant, dans l'équation (i6), égaler à zéro les coefficients de

ecoscp, e-cos2cp, e- cos('2^ — 29),

en tenant compte des formules (20) et (21) et ayant égard aux expressions (17) de — — I et de ' ^

On trouvera ainsi

(c — m)'- — i] (c + m)^— 1] 4(i — m)-— i] (2 — c — imy- — i] (2 H- c — 2/?l)^ — i] ( 2 — 3 m)^ — ^ i] (2 — niy — i] (2 — 2 c ^ — 2 ) — I ]

•R3 ^'n^Ps,

^Ri 4-4/«^P4,

:R7 +4(r-m)^P,, Rg + (2 — c — 2m)2Pg, Rg H- (2 -t- c — 2m)2Py, R10+ (2 — 3m)2Pio, : R11-+- (2 — m)2Pii, R12 + (2 — 2c — imy P12.

Remplaçons dans les formules précédentes les R,- et les P, par leurs valeurs (21) et (23) et réduisons les coefficients de et P, à leurs valeurs principales, au moyen de l'expression approchée

qui sera obtenue dans un moment; nous verrons que les coefficients de «5, a^, et rtg contiennent m en facteur. Nous trouverons finalement

(i «i) (c^— i) 3c^ao — 2m% «,(4c^ — i) M- — I

bc-a,

(2.5) { «7 — m-, fl-g = ~8 ~76~' ^^"^ ~2~

ct^x^^ — ■ — J

Nous avons ainsi calculé les parties principales des perturbations de

83. Passons maintenant au calcul des perturbations de La formule (B) donne, pour ^ = o,

en posant

On tire de la formule (12)

— sm24+ — -esm(2^ — 9) esiii(24 + 9)

^ e' sin(2^ — 9') -h — e'siu(2^ + (p') — É'-sm(2^ — 29).

Il en résulte

I r3m2 y. qrn^ , ^ , m^ / e , \

U ~ ~r —7— cos 2 ^ — — e cos ( 2 4 — 9 ) H e cos ( 2 ^ + 9 )

+ ^e'C0S(2^-9')- C0S(2^4-9') - i|^e2cOS(2^-29)]

d'où, en remplaçant ^ par

iH H 2 e cosqj H COS29,

U = cos 2 ^ '-7— e cos ( 2 ^ — 9 ) H "~ e cos ( 2 1 + 9)

(27) < H g— e'cos(2^ — 9') g- e' cos(2^ + 9 )

1 ô— e- cos(2£ — 29).

On remarquera que le coefficient de cos (2^ — 29) a déjà perdu un facteur m.

THÉORIES DE MM. LUBBOCK ET UE PONTÉCOULANT. IjS

On a ensuite

d'où il résulte

= I H H 2ecOSC0 H C0S2cp

+ (7- ee' cos(9 — 9') + ee' cos(cp -1- 9') + a^ cos2|

+ «36 cos(2| — cp) H- «9 e cos (2^ -+- 9)

+ «10 e' cos (2^ — 9') + e' cos (2^ -H 9')