e- cos
On en tire, en effectuant la multiplication,
I -^,=14-"^- •+- 2 «0 «1 e- 4- 2 (i + «0+ ) ^ cos 9 + + 2fl!o + «j + 2 cos 2 9
/ -I- 2(^3 e' cos 9' 4- ia,^e'^- 00829'+ («3+ 2 «g) ee'cos (9 — 9')+ {a^ + ia^,) ee'cos(9 + 9')
i 4-2^7 cos 2^ 4- («74- 2^8) ecos(2^ — 9) + («7 4- 2 «g) e cos (2^4- 9)
' 4- 2a,o e' cos (2^ — 9') 4- 2aii e' cos( 2| 4- 9') 4- («74- «8+ 2^13 ) cos(2| — 2 9).
Les formules (26), (27) et (28) donneront ensuite
:= /i -j ^- -I- 2^0 4- «1 4- 2A(i 4- «0 + ^ cos 9 H- A 4- 2ao+ «^1 -i- 2a.>^ e- COS2 9 4- U',
en faisant
U' — 2^3 e' cos 9' 4- 2 «1 e''^ cos 2 9' 4- («34- 2^3) ee' cos (9 — 9') + («3+ 2 a^) ee' cos (94-9') 4- (2 «7 H -J-- 1 cos 2^4- ( «7 4- 2 «8 — - \ e cos (2^ — 9)
4- ( «7+ 2^9 4- —7— j e cos (2^ 4- 9) 4- (2^10 M ^— ) e' cos (2^ — 9' j
4- (2 ail g- 1 e' cos (2^ 4- 9') + ( a7 4-rt8-^- 2 «12 g— 1 cos (2^ — 29).
doit égaler à n, donc à i , le terme non périodique de ce qui donne
On remarquera que, dans U', on a supposé h = i. D'après la définition de a, on
dç lit
Il = Y — 2 «0 — «1 e-,
dv
dt
= I 4- (i — «0 4- «1 ) 2 e cos 9 -r- ( - — 3ao + «I + 2^2 ) cos 2 9 4- U'.
On en tire, en intégrant,
p =3^ + 6 H 2esin9 + - ^ +«2 ) e-sm2o
+ e' sin9'+ -^e'^ sin 2 9'+ («3+ 2(25) ee'sin(9 — 9' ) + («^ + 2^6) ee'sin (9 + 9')
+ (^a^H g— J sm2^ + (^«7+ 2(28 — — j e sm(2^ — 9)
fa^-h^ao 5f7}^\ . , y , / 2im-\ , . , y
( 3 H j esin(2^ + 9) + ( aïoH j^— j e'sin(2| — 9')
+ [a,, j e' sm(2^ + 9') - - s>n (2^ - 29).
On voit que plusieurs des coefficients sont affectés dans v du diviseur m\ le coefficient de e- sin (2^ — 29) renferme même une partie, — ^g' ^'^ù ^ a complètement disparu, à la suite des deux intégrations faites pour obtenir U = j^if^dt et J \]'dt.
Si l'on remplace enfin les a, par leurs valeurs (23), on trouve
(29) ^ + £+ 5 î 2esin9 + + ,^i2 u J e2si,^2Qj^U//
en faisant
6 me' 51119'— e"- 511129' h ^— ee' sin (9 — 9') — — — ee' 5111(9-1-9')
(3o) \ +— y— sin2^+ — — esin(2^--9) + — g— esin(2^ +
+ ^^^e' sin (2| — 9') — -'^^ e' sin (2^^ 9') + Dme- 5111(2^ — 29).
Les termes indépendants de m se sont détruits dans le coefficient de e2sin(2^ — 29); cela est conforme à un théorème de Laplace {yoir\2i Mécanique céleste, Liv. VII, p. 244). Le coefficient D n'est pas donné parle calcul tel que nous l'avons simplifié; pour l'obtenir, il faudrait, même dans cette première approximation, tenir compte de certains termes contenant les produits deux à deux de quelques-uns des coefficients a^-, il serait facile de faire cette opération complémentaire, mais nous ne nous y arrêterons pas.
84. Calcul de «o, «i et c. — En faisant s o dans la deuxième équa-
tion (4), il vient
dv- i cl- r I I
dt^ ^ r ~dl^ 7^ ~ r IF- '
Nous allons égaler dans les deux membres les parties non périodiques en y négligeant e. Nous pourrons écrire d'abord
di>'- 1 d^r f I Y 2R
dt^- 7- dt^ '^\7,'^'''"^--')'~~^'
La partie non périodique de y contient e en facteur; ^ contient le terme i-y — — ; il viendra donc
d'où
De Pontécoulant, afin de pouvoir comparer plus Facilement ses résultats à ceux de ses prédécesseurs, a déterminé la constante a,, qui reste arbitraire,
par la condition que la valeur de ^ soit, dans ses deux premiers termes, de la forme
^ = E [i -h e ces (et' — H)],
e étant le même que ci-dessus. Or on a
- = h 0 — = I -I- «0+ (i + «1 ) e coscp + . . . ,
cp = cpo + c^, (' = i H- £ 4- (c — 2ao + 2 ai ) e sili 9 + . . . .
Il en résulte
y = 1 + «0+ (l + É?COS(c^' — n H-. . .)•
On doit donc avoir, au degré d'approximation réalisé jusqu'ici,
T. - III. 2.3
l'y 8 CHAPITRE X.
après quoi les équations ('-^4) donnent aisément
3 m'- . im^
Voici donc la conclusion de cette première approximation :
I Dl'
+ — - I e cos 9 + I n Tj— e- cos 2 cp
e' cos 9 — e'- cos 2 1
-\ g— ee cos ( 9 — cp' ) g— ee' cos ( 9 + 9 )
1 5 Ttx 3 3 //z
+ cos 2 1 H g— e cos (2^ — 9)4 -g— e cos ( 2 1 — 9 )
4- - — e' cos ( 2 — 9' ) e' cos ( 2 ^ + 9' ) — — — cos ( 2 £ — 29),
p = ^ H- £ -h (24 ^ 1 e sin 9 4- ( j 4 Y6~ ) ^ ?
— 3/?«e' sin© — ~— e - 51029'
-■1 Y~ ee sin(9 — 9 ) — — — ee sin (9 4- 9 )
wni^ . i5/?i ■ , - s 17 m- . , -r 4 g — sm2^ 4 ^ e sm (2; — 9)4- ~^ — e sm(24 4- 9)
-\- e sio (24 — 9') — -^rg- e sin (2^ 4- 9 ) + Vime"- s]n(2£ — 29) ;
3 iii'-
(û — ont 'h £ — w; c = 1 — — [-....
85. Pour procéder aux approximations ultérieures, il faut d'abord augmenter
R de R,
. „ dU. dR. , (?R . I âR.
Oi R =: — ô/'i H- — - = — r" -—0 h V-
or dv àr /'i dv
On remplacera ^y^^ par leurs valeurs précédentes et l'on développera
les expressions — 2Rr, et -^^ ov suivant les cosinus des arguments cp, 2ç,
... et de nouvelles combinaisons. On en déduira ensuite les nouvelles valeurs des quantités R,. De même, il faudra prendre les deux premiers termes de la valeur (i5) de P,
et il faudra développer cette expression suivant les cosinus des mêmes arguments. En s'adressant à l'équation (i6),,on formera les nouvelles équations propres à déterminer les coefficients a^, et de même les coefficients du développement de — ^ — £, et ainsi de suite.
L'auteur n'a pas donné le détail de ses calculs; il a transcrit immédiatement la valeur de la fonction R fournie par une série d'approximations, en négligeant e, é et Y dans les coefficients de
coso, ecos^, e^cos29, e'cos^',
la partie non périodique de R a été calculée jusqu'au terme en m} inclusivement; pour les coefficients suivants, on va moins loin, en raison des facteurs e', ... qui s'introduisent. Il a montré ensuite en détail comment il faut
faire la nouvelle approximation pour obtenir des valeurs plus exactes de l~ et
de Iv, Cette façon de procéder dans l'exposition est rapide, mais peu claire; j'ai préféré effectuer complètement la première approximation. Il faut reconnaître que la méthode est bonne en elle-même et infiniment plus rapide que si l'on employait la méthode de la variation des constantes arbitraires. Le nombre des
coefficients différentiels " ' obligé de cal-
culer est ainsi bien réduit; la besogne n'en reste pas moins considérable, et il aurait fallu plus d'un autre volume pareil au Tome IV de la Théorie analytique du Système du Monde pour les développer in extenso. Dans le Chapitre III, de Pontécoulant détermine par la même méthode les termes dépendant du carré
l8o CHAPITRE X. — THÉORIES DE MM. LUBBOCK ET DE PONTÉCOULANT.
et des puissances supérieures des excentricités et de l'inclinaison, servant à compléter les expressions des coefficients des inégalités développées dans les Chapitres précédents. Dans la suite de son Ouvrage, il emploie aussi la méthode de la variation des constantes arbitraires, notamment pour le calcul plus exact des quantités c et g et de l'accélération séculaire.
On a pu voir dans le Chapitre VII (colonne H. — Po.) comment la théorie de Pontécoulant représente les observations.
86. Principe de la méthode. — Les difficultés que présente la théorie de la Lune tiennent surtout à ce que les résultats fournis par les approximations successives ne convergent que très lentement. Dans le cas des planètes, les inégalités qui sont du second ordre relativement à la fonction perturbatrice sont généralement faibles, et l'on peut presque toujours négliger celles du troisième ordre. Pour la Lune, il n'en est pas ainsi : certaines perturbations sont encore sensibles, bien qu'elles soient du cinquième ordre. On conçoit la complication qu'entraînerait l'enchaînement ainsi prolongé des approximations successives.
Dans la nouvelle méthode, il arrive que, si l'on réduit la fonction perturbatrice R à sa partie non périodique et à un seul terme périodique 5, les équations dont dépendent les dérivées des éléments peuvent être intégrées rigoureusement. On peut donc calculer les intégrales correspondantes avec toute la précision désirable. Il y a lieu de se demander s'il n'est pas possible de tirer parti de cette circonstance et de ramener le problème à un autre du même genre, dans lequel la fonction perturbatrice ne contiendrait plus le terme s. Si, en effet, après avoir effectué les intégrations dont on vient de parler, on regarde comme de nouvelles variables les constantes arbitraires introduites par l'intégration, il arrive que ces nouvelles variables dépendent d'équations de même forme que les premières. On est donc ramené à une question pareille, mais dans laquelle on a extrait un terme de la fonction perturbatrice. Une nouvelle opération fera disparaître un second terme périodique G', et ainsi de suite. Quand on aura ainsi tenu compte avec une grande rigueur des termes les plus influents, on pourra se contenter, pour les autres, de la première approximation. Le plus grand avantage de la méthode consiste peut-être dans la division du travail en une série d'opérations distinctes, qui sont toutes de même nature.
87. Équations différentielles du mouvement. — Nous laissons de côté l'action des planètes et l'influence de l'aplatissement de la Terre dont nous tiendrons compte plus tard ; nous n'aurons donc à considérer que trois points matériels S, T, L, les centres de gravité du Soleil, de la Terre et de la Lune, où seront concentrées les masses M, et m, de ces trois astres. Soit G le centre de gravité de T et de L; on sait (t. I, p. 63) que le point S décrira à fort peu près une ellipse képlérienne, non pas autour de T, mais autour de G comme foyer. C'est là l'origine d'une légère complication dans les équations diff'érentielles. Menons par le point T trois axes rectangulaires de directions invariables et par G trois axes parallèles aux précédents; désignons par x,y, z, x\,y\, z\ les coordonnées géocentriques de la Lune et du Soleil, par x\ y', z' les coordonnées du Soleil rapportées à l'origine G; posons
TL = /, TS=:/i, GS = r', SL = A, jUL = f(/?2o + Wi ), m'— fM,
/«o -t- rrii
Nous aurons, pour déterminer oo, y, z, les équations diff^érentielles
ll¥ ^
