aBti'sin(2X — 2t') j

Dans ces formules (24), ^ prend toutes les valeurs entières, excepté zéro. Il n'y aura qu'à porter dans la formule (28) les valeurs précédentes de î^ + V et g; on devra remplacer A'*' et B'**' respectivement par

La découverte de Neptune a marqué une époque remarquable dans la théorie de la gravitation, à laquelle elle a apporté une confirmation éclatante. Aussi croyons-nous devoir lui consacrer un Chapitre spécial, qui trouve ici sa place naturelle, car cette découverte prend sa source dans les formules du Chapitre précédent.

153. Le i3 mars 1781, W. Herschel rencontrait accidentellement la planète Uranus dont le disque sensible avait attiré son attention.

Quand l'orbite de cette planète fut connue approximativement, on constata qu'avant sa découverte elle avait été observée vingt fois comme étoile fixe de 6^ grandeur, depuis 1690 jusqu'à 1771, par Flamsteed, Bradley, Mayer et Lemonnier. Vers 1820, Bouvard entreprit la théorie de cette planète, en prenant pour point de départ les expressions analytiques que Laplace avait données quelque temps auparavant dans le tome III de la Mécanique céleste, pour les perturbations d'Uranus causées par Jupiter et Saturne.

Bouvard disposait donc de quarante années d'observations régulières modernes (de 1781 à 1820), et de vingt observations anciennes, échelonnées entre 1690 et 1771. Ces dernières étaient évidemment inférieures aux premières en précision ; cependant elles rachetaient cet inconvénient en raison de la grande extension qu'elles donnaient à l'arc observé de l'orbite d'Uranus.

Bouvard construisit ainsi les Tables d'Uranus dont les astronomes se sont servis pendant un quart de siècle; mais il ne put pas les établir d'une façon satisfaisante : il lui fut impossible en effet de représenter à la fois par les mêmes formules les anciennes observations et les modernes. N'arrivant pas à concilier les deux systèmes, Bouvard prit le parti de rejeter entièrement les observations

anciennes, et il fonda ses Tables uniquement sur les quarante années d'observations méridiennes :

« Laissant, dit-il, aux temps à venir le soin de faire connaître si la difficulté de concilier les deux systèmes tient réellement à l'inexactitude des observations anciennes, ou si elle dépend de quelque action étrangère et inaperçue, qui aurait agi sur la planète. «

Il ne fut pas nécessaire d'attendre longtemps pour prononcer; dans l'espace d'un petit nombre d'années, des erreurs sensibles se manifestèrent, dont la valeur augmenta graduellement, si bien que, vers i845, la longitude d'Uranus calculée par les Tables de Bouvard différait d'environ 2' de la longitude observée. Les Tables qui ne représentaient pas les observations anciennes étaient donc également impuissantes à représenter l'ensemble des observations modernes. Il devenait probable que la planète Uranus avait été soumise à quelque action <( étrangère et inaperçue ».

La question de l'irrégularité des mouvements d'Uranus se trouva ainsi mise à l'ordre du jour. Dans le courant de l'été de i845, Arago la signala d'une manière pressante à Le Verrier, qui, dans ses premiers travaux, venait de révéler un talent de premier ordre. C'est vers cette époque que Bessel écrivait à de Humboldt :

« Je pense qu'un moment viendra où la solution du mystère d'Uranus sera peut-être bien fournie par une nouvelle planète, dont les éléments seraient reconnus par son action sur Uranus et vérifiés par celle qu'elle exerce sur Saturne. »

154. Le Verrier se mit à l'œuvre; redoutant quelques inexactitudes dans les calculs de Bouvard, il entreprit d'abord de démontrer d'une manière indiscutable que l'ensemble des observations méridiennes d'Uranus ne pouvait être représenté par une ellipse dont les éléments varieraient en vertu des seules actions perturbatrices de Jupiter et de Saturne.

Les erreurs de la latitude tabulaire d'Uranus pouvaient être annulées à très peu près par des changements dans l'inclinaison de l'orbite et dans la longitude du nœud, assez faibles pour n'avoir aucune influence sur la longitude d'Uranus.

Soient donc n, £, e et tu les quatre autres éléments elliptiques adoptés pour Uranus, (^ la longitude calculée avec ces éléments pour l'époque t ; si leurs valeurs exactes sont représentées par n -h An, s -+- As, e -h Ae, cj + Aw, la longitude elliptique, calculée exactement, sera

dv . dv . dv . dv .

t» H- 3- A/n- -r- As + -^ Ae 4- -T— Act; on as de duj

les coefficients -^, ^' 3;' ^— "5ont des fonctions connues de t et de n, e, e, cr.

Soit $ la perturbation en longitude causée par Jupiter et Saturne; désignons par ^0 la longitude déduite des observations pour l'époque /. On devrait avoir

^ ' an d& de dm

autant d'observations, autant d'équations de cette forme, contenant au premier degré les quatre inconnues A«, As, Ae, Acr.

Le Verrier avait repris avec un soin méticuleux le calcul des perturbations de la longitude causées par Jupiter et Saturne, de sorte qu'il était bien certain des valeurs des quantités ^. Il eut un total de 239 équations telles que (i), fournies chacune par une observation méridienne faite entre 1781 et i845.

Il groupa les équations voisines, 10 par 10, à peu près, de façon à n'avoir que 26 équations normales, correspondant à un nombre égal d'observations idéales beaucoup plus précises qu'une observation isolée.

En combinant convenablement ces équations, il obtint des valeurs plausibles des inconnues qui, substituées dans les équations individuelles, donnèrent les résidus suivants, valeurs de^^— ^0 *

Tableau (A).

On voit que la représentation s'est améliorée; au lieu de 2', le plus grand écart n'est que de 20", 5.

Mais les résidus n'en sont pas moins inadmissibles, par leur grandeur et par leur allure systématique, surtout quand on se rappelle que chacun des nombres Vq est la moyenne de dix observations méridiennes très précises.

155. Aussi Le Verrier, plein de confiance dans l'exactitude de la loi de Newton, aborda résolument l'hypothèse d'une planète encore ignorée, et chercha si les perturbations produites par cette planète permettraient d'expliquer les irrégularités du mouvement d'Uranus. Soit P la perturbation correspondante de

la longitude d'Uranus à l'époque t-, dans chacune des équations (i), $ devra être remplacé par (i? + P.

Il y avait lieu d'apporter quelques simplifications au problème.

Tout d'abord, on sait que les orbites de Mars, Jupiter, Saturne et Uranusfont avec le plan de l'écliptique des angles petits, inférieurs à 2**3o'; il était donc naturel d'admettre que la planète inconnue se mouvait à fort peu près dans le plan de l'écliptique, supposition d'autant plus plausible que, comme nous l'avons déjà dit, les latitudes d'Uranus peuvent être représentées presque exactement, en tenant compte seulement des actions de Jupiter et de Saturne.

En second lieu, la planète inconnue ne peut pas être supposée placée entre Saturne et Uranus, car elle produirait dans les mouvements de Saturne des dérangements qui n'auraient pas passé inaperçus. Il faut donc qu'elle soit au delà d'Uranus. Ici, la loi de Bode, malgré son caractère empirique, va jouer un rôle important; elle indique que la nouvelle planète doit être aune distance moyenne du Soleil double de celle d'Uranus. Le Verrier s'est donc ainsi trouvé conduit à poser la question en ces termes :

« Est-il possible que les inégalités d'Uranus soient dues à l'action d'une planète située dans l'écliptique, à une distance moyenne double de celle d'Uranus ? Et, s'il en est ainsi, où est actuellement située cette planète? Quelle est sa masse ? Quels sont les éléments de l'orbite qu'elle parcourt? »

Soient a' , n! , é , i\ x^' les éléments de la planète inconnue; on aura

Les excentricités des orbites de Jupiter, Saturne et Uranus sont voisines de 0,06, donc petites; il est naturel de supposer qu'il en sera de même de e' . Dans ces conditions, on pourra calculer la perturbation P de la longitude d'Uranus par les formules du Chapitre précédent, qui laissent de côté les quantités du second ordre par rapport à e et e' .

Pour l'intervalle de i55 ans, compris entre 1690 et i845, les inégalités séculaires de V données par la formule (/') du n*' 150 sont négligeables, comme on s'en assure aisément.

156. La formule {b') du n" 148 donnera donc pour la perturbation P, en remplaçant [a par l'unité et remarquant qu'on a ici 't' = t, X — /, co = cr,

P= - m' 2 F/sin«(/'— 0

(3) / ^,„'e 2] G/sin [/(/'- /)4-/ — gt]

+ m'e' 2] H,sin [/(/' - /) 4- /— ro'] .

3^8 CHAPITRE XXIIT.

Les valeurs des coefficients F,, G,, H, seront calculées par les formules (c') du n*' 148; elles dépendent de

l — iV = Il l —

quantité connue, et de aA''^ a" -^ et a^ -^^• Or on a, avec les notations du Chapitre XVII,

aK^'^ — aW^,

da

doK.

cJyb^ dcn?-

a étant supposé connu, on pourra calculer ces quantités. On tiendra compte de la seconde partie Ro., — Ri de la fonction perturbatrice en remplaçant aè*'^

— T— respectivement par

et a'

aU'^ -oc\

db^ dy.

Donc, dans la formule (3), les coefficients F,-, G, et H,- peuvent être supposés connus. En faisant ce calcul, on trouve que F,- est petit par rapport à F< quand la valeur absolue de i surpasse 3; on voit aussi que les seules valeurs à conserver pour G^ et H, sont G, , G2, Gg et H, , Ha, H3.

On remplacera /par nt -\- £, /' par n!t + £', et l'on fera

e' sin Gj' := A', e'cosc7'= A'; ,= - (F, — F i)sin[(/i'— /i)^ + £'— e]

-h - (F2— F 2) Sin[(2/i'— 2«) ^H- 2£'— 2£]

(4) . \ + 1 (F3-F 3)sin[(3/i'— 3/0^-h3£'— 3e]

+ eGiSin(/i'i + z' — gt)

+ eG2sin[(2n'— n)« + 2£'— £ — gt]

+ eG3sin[(3/i'— 2/i)<4-3£'— 2£ — gt],

H = — HiCOs(/i'« + £')

(5) l — H2COS[(2/i'— rt)^ + 2s'— £]

— H3COs[(3n'— 2/0^ + 3e'— 2 e],

K= HiSin(/i'^ + E')

(6) { H-H2siii[(2/«'— n)^ + 2e'— e]

H- H3 sin [( 3 /i' — 2 « ) ^ + 3 e' — 2 e] .

La formule (3) pourra s'écrire ainsi (7) P = Lm'H-Hm'A'+Km'/r';

e, n et i sont connus; il en est de même de

£' est inconnu; c'est la longitude moyenne de la planète au i*''' janvier 1800. Les formules (4), (5) et (6) montrent que L, H et K sont de la forme

Xi cos s' + JI02 ces 2 e' -i- X3 cos 3 s' H-aPoi sine'+afija sin2£' + ill>3 sinSe',

OÙ X,, Jifl2, <^3, ^'>i, ^î^a» '^i'3 peuvent être considérés comme connus. Si l'on porte la valeur (7) de P dans l'équation (i), on trouvera

(a) -V- An -H -s- As + ^j- Ae H- ^r- Aro + Hm7z'+ Km'k'+ Lm' -+- ç -{- ^ — ('o=o- ^ an os de ouy

On aura autant d'équations de cette forme qu'il y a d'observations; Le Verrier, par des moyennes, a réduit ces équations à dix-huit, qui correspondent aux époques suivantes : 1690,98; 1712,25; i']i5,2.3; 1747,7; 1754,7; 1761,7; 1768,7; 1775,7; 1782,7; 1789,7; 1796,7; 1803,7; 1810,7; 1817,7; 1824,7; i83i,7; i838,7; 1845,7 (').

157. Le problème dépend donc de dix-huit équations à huit inconnues, A/i, As, Ae, Acî, m'h\ m' k' , m' et t'; les sept premières figurent linéairement dans les équations de condition («); la huitième entre dans ces équations sous forme

transcendante par (i\ 2 s', 3i').

* cos V ' ' /

Si les observations étaient rigoureusement exactes, il suffirait de prendre sept des équations (a), d'en tirer, par des éliminations successives, les valeurs des sept inconnues A/i, . .. , m' qui n'y entrent qu'au premier degré, et de porter ces valeurs dans l'une des autres relations (a), qui deviendrait ainsi une équation transcendante ne contenant plus que l'inconnue i\

Mais les observations anciennes sont peu précises; les différences ç' + ^ — ç^o sont en somme assez petites, et il arrive qu'après avoir éliminé six des inconnues il reste pour la septième m' une équation de la forme

(8) Dm'-N = o,

( ' ) Ces époques sont équidistanles, sauf les trois premières, et il est possible de profiter de cette circonstance pour abréger les calculs.

38o CHAPITRE XXIII.

dans laquelle les quantités D et N sont très fortement affectées par les erreurs des observations, d'autant plus que les coefficients qui figurent dans D et N sont très petits par rapport à ceux qui entraient dans les équations primitives, de sorte que le moindre changement apporté dans les données fait varier m' dans des proportions extraordinaires.

Le Verrier avait obtenu cette équation (8) et, en écrivant que m! doit être essentiellement positif, il espérait limiter les intervalles dans lesquels il fallait chercher la vraie valeur de t' . Il avait posé

e' tang-=^,

ce qui lui avait permis d'exprimer N et D algébriquement en x\ il était arrivé à

N< et D, étant des polynômes en x de degrés 4 et lo.

Mettant à profit le théorème de Sturm, Le Verrier avait vu que les racines de l'équation N< = o étaient toutes imaginaires, tandis que l'équation D, = o avait quatre racines réelles. Il était ainsi amené à conclure que t' devait être compris entre 96*^40' et iBg^SS', ou entre 263°8' et 358*^4i'- Or, quand il attribuait à s' des valeurs comprises entre ces limites, et qu'il les substituait dans l'ensemble des équations (a), il n'obtenait jamais une représentation satisfaisante; de sorte que la vraie valeur de € transportée dans l'équation (8) devait conduire pour m' à une s ^^VlX' négative.

« J'avouerai sans peine, dit-il, que c'est ce qui m'est d'abord arrivé: longtemps j'ai été arrêté dans mes recherches par cette difficulté. Aussi croirai-je faire une chose utile en insistant encore sur cette partie de la question; elle est très propre à montrer par ses détails combien sont délicats certains points des recherches numériques; combien il est souvent plus pénible d'arriver à une connaissance rigoureuse de la vérité en raisonnant sur des nombres entachés des erreurs d'observations, qu'en discutant des symboles algébriques susceptibles de représenter les données de la question avec une exactitude absolue, et de se prêter à toutes les restrictions. »

Il fallait donc opérer autrement, en ayant égard à toutes les observations. Voici la méthode employée :

Le Verrier considère les quatre équations {h) du type (a) qui correspondent aux années lyiS, 1775, 1810 et i845 ; il représente par p Qi q les erreurs commises dans les anciennes observations de 1715 et 177^; il suppose nulles les erreurs en 1810 et i845, puisque dans chaque cas on a une moyenne d'un assez grand nombre de bonnes observations méridiennes. Les premiers membres des deux premières équations {b) devront donc être augmentés de/) et ^ respective-

\to%

ment. On tirera des qu^re équations (b) les valeurs des quatre inconnues A/i, At, Ae, Acy pour les substituer dans les autres relations (a); cela donnera des équations (c) dont l/s premiers membres seront des fonctions linéaires de/?, q m' h', m'k' et m'. Lor Verrier fait les moyennes des équations (c) qui répondent, d'une part, aux aivnées 1817, 1824, i83i et i838; d'autre part, auxannées 1782, 1 789, 1 796 et i^M , et il en tire les valeurs des inconnues m' h' et m'k'.

Il connaît donc les six premières inconnues en fonction des deux dernières, £' et m\ et des erreurs yo et ^ de 1716 et de 1775. On peut voir qu'on a utilisé des observations de sept en sept ans, à partir de 1773 jusqu'en i845; de sorte que toutes les observations comprises dans cet intervalle de soixante-dix ans seront représentées presque exactement quelles que soient les valeurs de e', m', p et q. Mais on n'en peut pas dire autant des observations de 1690 et 1747; c'est en essayant de représenter ces observations qu'on pourra déterminer £'.

On substituera donc les valeurs des six premières inconnues dans les équations (c) qui répondent à 1690 et 1747» et l'on aura des résidus de la forme

A-hBm'-^Cp + Bq.

Le Verrier a effectué tous les calculs qui viennent d'être indiqués pour quarante valeurs équidistantes de e', entre 0° et Sôo''. Voici les résidus (9) pour quelques-unes des valeurs de e' :

Tableau (B).

Erreur de la théorie

Erreur de la théorie

en 1690.

en 1747.