CHAPITRE TX. — VARIATION DES CONSTANTES ARBITRAIRES. 1 5g

MÉTHODE DE LA VARIATION DES CONSTANTES ARBITRAIRES. - VARIATION DES ÉLÉMENTS CANONIQUES. — ÉLÉMENTS OSCULATEURS. - VARIATION DES ÉLÉMENTS ELLIPTIQUES.

Puisqu'il n'y a pas lieu de songer à intégrer rigoureusement les équations différentielles du mouvement des planètes, même quand ces planètes se réduisent à deux, on a recours à des méthodes d'approximation répondant aux besoins de l'Astronomie, sinon pour toutes les époques, du moins pour un assez grand nombre de siècles; l'une d'elles, la plus fréquemment employée, est la méthode de la variation des constantes arbitraires. Avant de l'exposer, nous allons démontrer un théorème important.

59. Considérons le système canonique suivant de ih équations différentielles

. . dqi <^H dpi <?H

où l'on a

dt âpi dt dqt

H = F(/, qi,q^, . . . , q,,\ Pu Piy ■ ■ -, Ph)-

Supposons que l'on ait suivi, pour intégrer ces équations, la méthode de Jacobi; on aura donc d'abord réussi à trouver une solution S de l'équation

^ A (?S dS dS \

contenant h constantes arbitraires a,, a,, ..., a^, sans compter celle que l'on peut toujours ajouter directement à S; on a vu, dans le n° 6 de l'Introduction,

l6o CHAPITRE IX.

que si l'on désigne par (3,, ^^^ -••■> Pa» ^ nouvelles constantes arbitraires, les intégrales générales des équations (i) seront données par les formules

qui, résolues par rapport aux variables p et r/, fournissent des expressions de cette forme

qi = (^i{t, oci, as, . . ., a,r, (Sj, ^^, . . ., [3/,), Pi='\>i{t, «i, «2, • • -1 «a; Pi, [So, • . ., P/t)-

Les équations (i) doivent être vérifiées identiquement par ces valeurs de pi et qi; ainsi, les relations

dont les seconds membres sont supposés aussi exprimés à l'aide de / et des 2/1 constantes arbitraires a, et [3,, doivent avoir lieu quelles que soient ces quantités oci et p^.

Supposons maintenant que l'on veuille intégrer ce nouveau système canonique de 2 A équations différentielles

dq,d{'a-R) 'dp, (J(H-R) (^> ^- df/., ' -JF- d^—^' (^-1,2, ...,/0,

qui ne diffère du précédent qu'en ce que la fonction H y est remplacée par H — K, R désignant une certaine fonction de t et des 2 A variables /?, et ^,.

Il est naturel de chercher à tirer parti de l'intégration déjà faite des équations (i). On retient, pour résoudre le nouveau problème, les mêmes expressions analytiques (3) des variables pi et qi, mais en y considérant les 2 h quantités a et p, non plus comme des constantes, mais comme de nouvelles variables que l'on déterminera convenablement; cela revient à faire un changement de variables, et la méthode indiquée reçoit le nom ^ç, méthode de la variation des constantes arbitraires. On tirera maintenant des formules (3)

dqj d^ ^ fdqj^ dacj dgi d^j dt ~ dt Zd \dy.j dt â^j dt

dt ~ dt ZêL \àoLj dt d^'j dt

VARIATION DES CONSTANTES ARBITRAIRES. l6l

En substituant dans (5), il viendra

àR^^ (dqt

dpi ^ ^ \d^.J

dx, dqt d^i\ dt d<^j dt ) ~

dpi'

dqt ^^ \<^^j

daj dpi d^j\ dt d^j dt ) '

"^ dqt'

ces équations se simplifient eu égard aux relations (4) qui, ayant lieu identiquement, sont encore vérifiées lorsque les quantités a et (3 sont variables, au lieu d'être constantes. On trouve ainsi

dR -^ fdqt diXj dqt d^j

~ ^t~^ ^ \dô(^j di "*" 'd^j 'dt (6) { J.~^* } (^'=1, 2, ...,h).

dqt ^ \àocj dt d^j dt )

On a là un système de ih équations renfermant au premier degré les ih inconnues ^,-.-,^, —,...,—.

La résolution de ces équations, que nous allons faire par un procédé indirect, fournit pour les inconnues des expressions d'une simplicité remarquable.

Les équations (2) coïncident avec les équations (a) et (6) du n** 8 de l'Introduction; on peut donc appliquer les relations (e), (f), (g), (h) de ce même numéro, ce qui permet d'écrire ainsi les formules (6),

dpt ^ \àpi dt dpt dt

dR y' /dgy doj^ dxj d^j\

dqt -^ \àqi dt dqt dt /

OÙ les dérivées partielles -^^ -^~, ~, -s— supposent que l'on a résolu les

équations (2) par rapport aux quantités a et p.

Supposons maintenant que, dans les formules (3), on attribue aux quantités

a,, . . , a^, [3,, . . , p^ des variations infiniment petites arbitraires §a, Sa^,

Sp,, . ., S|3yi, sans toucher au temps/; il en résultera pour/?,, .. ., p/,, q^, . .. , q/^

des variations correspondantes et faciles à calculer; R, qui est une fonction de /

et de/?,, ...,pf^,q^, ..., ^^, prendra aussi une variation correspondante SR, et

l62 CHAPITRE IX.

l'on aura

d'où, en remplaçant -^ et ^ par leurs valeurs (7),

^« = 22 [(t *^- 1 ^^'^ t - (^ ^/'- lî ^^.) t]

ou encore

mais on a évidemment

Il vient donc

dpi àqt

Or on peut calculer autrement §R, en remplaçant d'abord dans R les quantités^ et q par leurs expressions (3); R devient ainsi une fonction de t et des 2 A quantités a et [3, et l'on aura

Cette expression de SR doit être égale à la précédente, quelles que soient les 2 A variations §ay et 5(3^, qui sont indépendantes les unes des autres. On en conclut

(^^ ^-w; -dt—^; (y-i,2, ...,/o.

Ces équations, dont les seconds membres sont des fonctions supposées connues de t et des quantités a et p, détermineront les nouvelles variables dont les expressions devront être ensuite substituées dans les formules (3) pour obtenir les valeurs cherchées des inconnues /?<, p^, . . . , q^, q^, . . . . Les équations (8 ) ont, comme on le voit, la forme canonique. Si l'on avait intégré les équa-

tiens ([) par une méthode autre que celle de Jacobi, les constantes arbitraires ainsi introduites, devenues variables pour l'intégration des équations (5), auraient dépendu, en général, d'équations plus compliquées que les équations (8), et qu'il aurait fallu former et calculer dans chaque cas, suivant la nature de la fonction E = ¥(t, q^, q^, ■ - ■ , qh'^ Ptf P2^ • • -> Ph)- Le grand avantage que présente la méthode de Jacobi, c'est que l'on peut écrire immédiatement les formules (8).

60. Appliquons les résultats précédents à la détermination des mouvements des planètes. Soient^, y, s;a7,, j,, z^\ ... les coordonnées des planètes P, P,, . . . ; m, mj, . . . leurs masses, celle du Soleil étant prise pour unité; les équations différentielles du mouvement de la planète P sont, comme on l'a vu au n° 18,

d^x X dR

;^+ff^73 — ^'

d- z z dR

où l'on a

m, r'^=ix^-}ry^

\yJ{x-x,y-r{y-y,Y+{z-z,Y - '1 J

En supprimant R, on a les équations différentielles du mouvement elliptique.

(6) Posons

dx , dy , dz

dt ' dt -^ ' dt

T fn

en remarquant que R ne contient que x,y, z, et le temps t qui sera introduit

1 dt^ '^ r^

dt "

-^' dt-^' dt

l64 CHAPITRE IX.

par Xf, y^, Zf, . . , mais ne renferme pas x', y' , z', nous pourrons écrire comme il suit les équations (a) et (b) :

dx <)(H — R) df (J(H-R)

(i/ ~ dx' ' ci'^ ~ """ dy'

dx' <j(H — R) ^j' d(H — R)

idx m dy m

\ dt ~ dx'' dt ~" dy'

\ dt dx dt ÔY

dz'

dz''

dz'

dt ^

On voit que les formules (a) et ([3) coïncident avec les formules (5) et (i) du numéro précédent.

Or, dans le Chapitre VII, on a intégré par la méthode de Jacobi les équations (Z>), ou leurs équivalentes (P); on a introduit ainsi six arbitraires canoniques a,, aa, ag, (3^, ^^, {^g, dont la signification géométrique a été précisée, et sera rappelée dans un moment. Il en est résulté, pour les intégrales générales des équations (j3), des expressions de cette forme

j a? = 9i(^, ai,a2, a3, [3i, (32, Ps), J = ?2> ^ = 93,

^'^^ \ I ^^ \ I f a a a \ , dy , dz

M^ = ;^y ='fi(^>a„a2, «3, [3i,(3,, jSs), /= — =(];2, z' —. ~ ■=: <]^^.

Cela posé, d'après la méthode indiquée, quand il s'agit d'intégrer les équations (a), on conserve pour x, y, z, x' , y' , z' les mômes expressions analytiques (y); mais alors, a,, a^, ol^, [3,, [^a, ^3 seront de nouvelles variables, et nous savons, par le numéro précédent, que nous aurons les six équations canoniques

où l'on doit supposer que R est une fonction de t, cCf, oc.,, a.^, p,, ^j» Ps» obtenue en remplaçant, dans (9), x,y, z par leurs expressions (y).

Ces expressions n'ont pas été développées dans le Chapitre VII; mais elles sont une conséquence des formules (d) du n° 32 et (g) du n° 41, formules que

dui

dixz

da^

dt "~

dt ~

doci'

da,'

àocs^

ÉLÉMENTS OSCULATEURS. l65

nous allons écrire de nouveau, pour plus de clarté : Iç

k = y'f/ji, /i rr: — , u — 6 sin Uzzz nt ~\- z — m,

(d) , r =a{i-ecosu), tang — — = i/ -^— ^ tang - ,

X rr=ir [cos9cos(p — 9 ) — sin 9 sin ( p — 0) costp], 7 = r [sin0cos(t' — 9) -i- cos9sin(p — Q) cos©], z = /■ sin((-'— 9) sincp;

o(.i^=- ksja{\ — e^)coscp, ot.t^=ik^a{i — e^),

[3.= — yj.-^'' (^2=^' [33 = ^-^.

Il suffit, en effet, d'éliminer les quantités a, e, ... entre (d) et (g) pour obtenir la première série des formules (y), la seule que nous utiliserons; on trouverait celles de la seconde série en différentiant les expressions de x, y, z sans faire varier les éléments.

Pour l'intégration des équations (a), on devra considérer les éléments a, p, ... ou a, e, ... comme variables, et l'on obtiendra les équations différentielles correspondant aux variables a, e, ... en remplaçant dans (S) les éléments canoniques par leurs expressions (g) en fonction des éléments employés par les astronomes. Ce calcul sera fait plus loin. En somme, les éléments canoniques n'auront servi que d'intermédiaires permettant d'écrire immédiatement les équations (§).

Ce qu'il faut retenir, c'est que les expressions de se, y, z, x' ,y\ z' sont de la forme

j jr =$i(^, a, e, . . .), y — ^>,{t, a,e, . . .), z = (t^{t, a, e, . . .),

qu'il s'agisse des équations (|3) ou des équations (a); seulement, les quantités a, e, ... sont constantes dans le premier cas, variables dans le second.

61. Supposons que l'on connaisse les expressions, fonctions du temps, que l'on doit mettre dans les formules (lo) à la place de a, e, . .. pour représenter le mouvement de la planète P ; soient «„, e^, ... leurs valeurs à une époque déterminée et d'ailleurs quelconque t^. Remplaçons dans (lo) a, e, ... par a^,

dy dy

" dt'

dt dt '

dt "

" dt

l66 CHAPITRE IX.

<?„, . . . , et désignons par x, y, z ce que deviennent a^, y, ^ ; il viendra

j \ = <5>i{t,ao,eo, . . .), y =*ifi{t,ao,eo, . . .), z =(l)s{t, a^, e^,, . . .) ,

on aura visiblement, pour i = ^0,

Les formules (11) représentent le mouvement elliptique d'une planète fictive de masse m, qui aurait à l'époque t^ même position et même vitesse que la planète P, et qui ultérieurement, dans chacune de ses positions, serait soumise

seulement à l'attraction du Soleil, — ^-^ -•

Les éléments «o> ^o» • • • sont appelés les éléments oscillateurs de l'époque ?o ; ce sont donc les éléments de l'orbite elliptique invariable que décrirait la planète P, si, à partir de l'instant ^0» elle cessait d'être attirée par les autres planètes P,, P2» On pourra les calculer par les formules du n" 38, connaissant

les valeurs, pour l'époque ^0» des coordonnées x^^, jo, Zç^, et des composantes

(777) ' (^) ' (777) ^^ ^^ vitesse. Si donc le mouvement de la planète était connu, rien ne serait plus facile que de calculer les divers systèmes d'éléments osculateurs qui correspondent aux époques /o» ^

Soient {fig- 18) PqG l'orbite de la planète, Pq sa position et P(,Ao = ¥„ sa vitesse à l'époque /o> P sa position au temps t-, soient P^C l'orbite elliptique de la planète fictive considérée plus haut, P' sa position au temps/; supposons que l'intervalle t — t^ soit une quantité infiniment petite du premier ordre. On pourra calculera?,/, z, coordonnées du point P, et x, y, z, coordonnées de P', par la formule de Taylor :

dx-^ dt J

\dt')o 1.2

dx^

dt y

/d'x\ (t-toY

\dt'J, 1.2

on aura, à cause de (12),

et, en ayant égard aux formules (a) et (b),

on aura des formules semblables pour les différences y — y, z — z; si l'on remarque que les quantités (y-) ' (-j-) ' (^) contiennent dans chacune de

leurs parties l'un des petits facteurs numériques m<, ma, . . , on voit que la distance des points P et P' sera infiniment petite du second ordre, à cause du facteur (t — toY, et qu'elle sera plus petite encore à cause de la présence des facteurs m, ou m^, . .. , dans le coefficient de (t — t^y. On pourra, pour un intervalle de temps suffisamment petit, remplacer le mouvement de la planète de Po en P par celui de la planète fictive, sur l'arc d'ellipse PqP'. C'est donc le problème des deux corps, dont la solution est bien connue, qui sert en quelque sorte d'élément infinitésimal pour aborder le problème du mouvement d'un nombre quelconque de corps.

Définitions. — Le mouvement de la planète P sur son orbite PqC est appelé le mouvement troublé; on peut dire que ce mouvement, qui serait elliptique si les autres planètes n'existaient pas, est troublé par la force dont les composantes

sont ^5 -^j -j^j que l'on nomme force perturbatrice ;\2l fonction Rest elle-même

nommée fonction perturbatrice. Les différences ^c — x, j — y, z — z sont appelées les perturbations des coordonnées; les différences a — a^, e — e^, ... sont elles-mêmes les perturbations des éléments. Enfin, la partie de la Mécanique céleste qui a pour but le calcul des perturbations reçoit le nom de Théorie des perturbations.

Remarque. - Soit C = y^(x,y, ^'^ ~dt^ ~^t^ cff) ^"^ intégrale première des équations différentielles du mouvement elliptique; G sera donc une certaine fonction des éléments elliptiques; on aura la même relation dans le mouvement troublé, pourvu que l'on remplace dans G les éléments par leurs valeurs variables à l'époque t. Gela est évident si l'on se reporte aux formules (ii) qui représentent le mouvement elliptique ou le mouvement troublé, suivant que l'on y suppose les éléments constants ou variables.

62. Il nous reste à conclure des formules (S) celles qui donnent les dérivées des éléments elliptiques a, e, cp, G, cr, £.

l68 CHAPITRE IX.

Pour y arriver, nous résoudrons les équations (g) par rapporta ces éléments, ce qui nous donnera

coso = — )

Nous aurons d'abord

~di ~

de «3

di~'k''

dy.^ ~~dt

sincp

d<^ °'^ 'dt " ""' ~dt dt (x\

dB^d^ dt dt

dxs c?(32 d^^

dt dt dt

dz û?(32 <^[33 I

Wfc M[J2 , "K3 , ^ ( o or ^2 "-"t^l " a i' 9 a ^

:77 — -:7r + ^77- + TTi ( ~ 2 ai ) -j- -rjPil 2a,j

,4 diXi

dt dt

dt '

d'où, en tenant compte des formules (§) et {g).

da di

2a^ ôR

de a\J\ — e^ ~di

(icp

^^ ~ AVa(i-e2) sincp \^°^^ ^^l^s <?[32/

t/cor

rf^

~ doL,

dt dt "

± àR Sa ôR

J doc, k^ ^' "^^ â^,

On tirera ensuite des formules (i3)

ôR m ôR dR

d^2 ~ àe ~*" drn^ de'

d^i dcT de

d(Xi 2(x^^ âa ' k'*e de

k^- ÔR a\ ÔR 3(3, ,.{àR

-iO^dR a \ — e^ dR Sa ^R k^ "d^'^ k' e de k^ ^^ '^' ds ''

doCi

2 a, a, dR

I dR

ksja{i — e2)sin9 ^9

I «9 dR

e k'* de sinç a| ^9

I J i — e^ dR I

coscp

k\/a e de k\Ja \Ji — e- sino^ à^

En portant ces valeurs des dérivées partielles -rg-j et réduisant, il vient

dans les formules (i4)

\ da dt ~

dB __ ~dt ~

1 dR

' na de

I dR

na^\Ji — e- sin9 ^9

^•'"^2 dR s/^-e^dR

dï

na^six — e'' C? '^«'e de

\ ^^ dt

dt "

v/i e^ ÔR 1 5 r \/i e^ dR

na-e drs ^ na'-e de

I dR "^2 (dR dR\

«aVi — e^sincp Cf waVi — e' \Cst de/

-î /îR «^""b „ ^D , /. „2 -90

■ -\ : \-d\ — eP- * ^

na da na^Ji — e^à(9 na^e de

On a remis, pour abréger l'écriture, n au lieu de T. - I.

Ces formules (A) sont la base fondamentale des théories des mouvements des planètes; elles contiennent en germe toutes les propriétés de ces mouvements.

63. Nous allons présenter à leur sujet quelques observations.

On peut partager les éléments en deux groupes, 0, trr, £ d'une part, a, e, (p de l'autre; les trois éléments du premier groupe expriment des longitudes; leurs dérivées par rapport au temps ne contiennent, comme le montrent les formules (A), que les dérivées partielles de R prises par rapport à un ou plusieurs

des éléments du second groupe; la réciproque a lieu pour-^> -j'^^ ^

dt dt dt

Le coefficient de -5— dans l'expression de -.- peut s'écrire

na'

donc, si e est une petite quantité du premier ordre, et c'est le cas général, le coefficient en question sera une petite quantité du même ordre, malgré le diviseur e qu'il paraissait contenir tout d'abord.

Mais ce petit diviseur e existe bien réellement dans les formules qui donnent

^ 6t^; dans certains cas il en peut résulter des inconvénients sérieux; on les

évite en posant

(i5) h^=zesinm, l=^ecos,m,

et remplaçant les variables e et cr par h et /; on trouve d'abord

' dh . de dm

--77= smrrr -7- -hecosM -rr , dt dt dt

dl de . dm

-j- =-- coscT -^ — esmcj-;-) dt dt dt

dR . dR dR

de dh dl

dR dR . dR

dm dh dt

après quoi, en tenant compte des expressions {h) de -^ et --; et réduisant, on

dt "

na^ dl '

dt ~

na^ dh

trouve

[dh \/i—h^ — F-dR \/\—lf- — l' h dK ^^^"^2 dR

ydt^ na^' dl na^ j^Jj^/iî^p as na^Ji—h^—l' ào '

dl s/T^^^IiT^dR sji-^h^-l^ l dK ^^"^ 2 m

dt ^ no" dit na- j+y/i/i2/2 de na^^\ — h^—l^ à(?

On verra plus loin que l'on substitue à la fonction R un développement dont les divers termes sont ordonnés par rapport aux puissances des excentricités et des inclinaisons des orbites; on apercevra dès lors aisément que, si l'on consent à négliger de petites quantités d'un ordre supérieur de deux unités à celui des quantités conservées, l'excentricité étant regardée comme du premier ordre, on peut alors réduire les équations (i6) aux suivantes, qui sont très simples :

De même, les valeurs de ^ ^t de -^ peuvent être sujettes à des difficultés

si 9 est petit, ce qui arrive le plus souvent; on les évitera en faisant, par une transformation analogue à la précédente,

(18) /? = tangcp sin©, ^r =tang9 cos^,

et remplaçant 9 et Q par les nouvelles variables petq.

On trouvera

dp . dô s\n9 d<s)

-7- = tangcp CCS 5 -7- + — ^ -y

dt ^^ dt 008^9 dt

dq • . ^ dQ cos Q do

-r — — tang© smy-7 — \- —z / >

dt "^ dt 008^9 dt

dR ^ . (?R , . . <?R

-^ =lang9 cos9 ^ - tang9 sinô ^;

()R sin^ dR cos 6 dR (?9 cos^9 dp cos^9 ^q

I dp^ I m p /dR ^\

1 ^' na^Ji e* cos'® ^9 •, / 7 ,9 \à^ de J'

I «a V i e uu» 9 ï 2 . / , ^2 pos m r.os^ I ^ /

ina^sli — e'cos9COS^- ' ^2

dq I . ^R 7 /(?R <?R

V* V.V/0 Y /- ina/'Sj V — e^cos9COS*-

I'j2 CHAPITRE IX. — VARIATION DES ELEMENTS ELLIPTIQUES.

Si l'on consent encore à négliger des quantités d'un ordre supérieur de deux unités à celui des quantités conservées, l'inclinaison cp étant considérée comme du premier ordre, on peut se borner à

dp 1

dq I

dR.

<^t ~ na^sjT

e2 aq

dt na} {V-

e2 dp'

si e est petit en même temps que 9, on pourra même prendre plus simplement

dp I <?R dq I dR

^ ' dt ^ nd^ dq^ dt na^ dp '

on voit l'analogie de ces formules avec les formules (17).

(HmU. -, -^ L>^!,Ut{

64. Les formules (h) du n° 62 permettent de résoudre toutes les questions relatives au mouvement des planètes; nous les avons obtenues par la voie qui nous a paru la plus directe. Mais nous croyons ne pouvoir nous dispenser de reproduire l'analyse employée pour arriver aux mêmes formules par Lagrange, qui doit être considéré à juste titre comme le créateur de la méthode de la variation des constantes arbitraires.

Dans le Chapitre précédent, nous avons mis les équations différentielles du mouvement de la planète P sous la forme

dx ()(H — R) du,' d(H — R)

dt dx' ~ "' dt dx ~ ^'

, dy ^(H — R) dy' ()(H — R)

dz (?(H -R) dz' <?(H — R)

dt dz' ' dt dz

Lagrange considère d'une manière plus générale les ih équations

12 est une fonction donnée quelconque de t, ^, j, ..., oc', y\ ...; il en est de même des quantités X, Y, . . . , X', Y', ... ; le nombre h des groupes de deux équations associées peut être quelconque.

dQ.

dx'

dy dt

dy'

d^ dy

rro,

Concevons qu'on ait réussi à intégrer rigoureusement Je système suivant, que l'on déduit du précédent en y supposant nulles les quantités X, Y, ....

dt df"''' dt~^dy~'^'

On aura donc obtenu des expressions de ^, j, ..., x\y ... fonctions de t et de 2 A constantes arbitraires a, b, c, ...,f, g, vérifiant identiquement les équations (b), quelles que soient ces constantes arbitraires; écrivons ces expressions

(i) œ=^(l}i{t,a, b, ..., §^), œ' = Wi{t,a, b, ..., g), ....

On va, pour représenter les intégrales des équations (a), conserver les mêmes expressions analytiques (i) de oo, œ' , ...; seulement on regardera a, b, ..., g non plus comme des constantes, mais comme de nouvelles variables. On aura, dans cette hypotbèse,

da.

ôt

^ db

dx'

da,

dx'

~ dt

dï

Portons ces expressions dans les équations {a) et remarquons que l'on a

{ dx d^ dx' d^

(2) Tt d^'~'^' Tt '^dx~°'

puisque les formules (i) substituées dans les équations (b) doivent donner des

résultats nuls, quelles que soient les quantités a, b, . . ., constantes ou variables ;

il viendra

dx da dx db dx de da dt db dt de dt

àfda^didb^dydc^ .Y':

da dt db dt de dt

dx da dx dh dx' de ^

-V— -; — 1- ^TT — ; — 1 — ^ ;-+,..+ A = o,

da dt do dt de dt

dy' da dy' db dy' de ^^

îi j ■-. ] ■/- j ____( Y =: O

da dt db dt de dt ' ' ' '

VARIATION DES CONSTANTES. — MÉTHODE DE LAGRANGE. r ^5

Ces ih équations contiennent au premier degré les ih inconnues -;n^ zr> ' ^ zffl

Lagrangc les combine en les multipliant respectivement par — .— , .-;

+ .— ; + -,->•••; -77 disparaît, et il vient aa ôa dt ^

db f dx dx' dx dx' dy dy' à y dy'

dt \da db Ob da da db ôb da

de f dx dx' \ Y ^"^ Y^-^ Y'^"^' V'^'^'

dt \da de ' ' ' ) da da ' ' ' da da

Posons

da da da da

,e, .. , ^ dx dx' dx dx' dy dy' dy dv'

aa db db da da db db da

introduisons des quantités analogues R^, ..., R^; [«, c], ..., [«,^]; [^, «], [Z», c], ..., qui seront fournies par des formules se déduisant immédiatement de (4) et (5), et l'équation (3) nous donnera la première des relations cidessous

\ db de r n ^^ T»

\ da de n -idff -r,

65. Les quantités [a, è], [a, c], ..., [è, c], ..., introduites par Lagrange, jouissent de propriétés importantes.

En premier lieu, on a

cela résulte de la définition même par la formule (5). En second lieu, on a

cela résulte encore immédiatement de la formule (5), qui montre que [a, b\ change de signe quand on échange entre elles les lettres a et b.

Enfin la propriété la plus importante consiste en ce que [a, h\ ne contient

pas le temps explicitement; il faut entendre par là que, si dans le second membre de la formule (5) on remplace œ, ijc\ ..., y, y' , ... par leurs valeurs (i), lesquelles sont fonctions de z et de a, b, ..., g, une fois les calculs effectués, t disparaît.

Pour démontrer cette proposition, il nous suffira de prouver que l'on a

On trouve en effet, en partant de la formule (5;,

d[a, b'\ d^x dx' dx d^x' â-x dx' dx d'^x'

dt da dt db da âb dt db dt da db da dt

d f dx dx' dx' dx

da \ dt db dt db

dx d^x' dx' d^x

dt dadb dt dadb

dx d^x' dx' d^x

da db dt da db dt

OU bien

d[a, b] d f dx dx' dx' dx \ d (dx dx' dx' dx

dt " 'da \di ~db ~ ~dt 'db ^ " ' ) ~ 'db\di ~da~~dt ~da^'

OU encore, en ayant égard aux formules (2),

dia,b^ d fdO. dx dO^ d^ \ A/^^^ ^^

dt da\dx db dx' db "') db\dx da dx' da

ce qui peut s'écrire, en remarquant que û ne contient 6 ou « que para?, x' , ...,

d\a,b\d^ d^ d d^ d'^ d'Q. dt da db db da dbda dadb

Dans chaque cas particulier, ù ayant une valeur déterminée et les fonctions (^^, Wi, ... qui figurent dans les équations (i) étant supposées connues, on déterminera les quantités [a, è], ... par un calcul algébrique, en partant des formules (5) et(i); on aura ainsi à en calculer un nombre égal à

^ ^=L h iili — i) •

on remplacera ensuite dans les équations (6) les symboles [a, b\ par leurs valeurs

VARIATION DES CONSTANTES. — MÉTHODE DE LAGRANGE. lyj

ainsi déterminées et l'on aura, en résolvant ces 2/1 équations du premier degré, les valeurs de ~, -r-, •••) ~ exprimées à l'aide de R^, R^. ..., R^ et de a,

h or

On voit que tout ce calcul, qui peut être très long, est évité quand on suppose les équations (b) intégrées par la méthode de Hamilton-Jacobi.

La propriété qui vient d'être démontrée permet souvent d'abréger les calculs, en assignant une valeur particulière convenablement choisie au temps t qui finalement doit disparaître.

Supposons, par exemple, que l'on fasse t = o, etsoient^o» Je • • • » ^'o^y'o^

les valeurs correspondantes de 00, y, . . ., x', y', ... ; on aura

•- ' -' da db db da ^ da db db da ^""

Admettons, ce que l'on peut toujours faire, que a, b, ... désignent précisément les quantités ^o?7o» • • •» ^o» ^0» • • • ; il viendra

r.r„ x' '\-^ ^ — ^ ^ + ^ ^ ~ ^ ^ + ^' "' "-^ ôxq d^Q dx'^ ôxq doûQ ôx'q dx'^ dxg " ' ' '

Or toutes les dérivées qui figurent au second membre de cette formule sont nulles à l'exception de deux, -~ et -~^ qui sont égales à + i ; on aura donc

QXq OXq

on trouvera tout aussi facilement

[^o,7o]=o, [^o,y'^] = o, ..., [>o,7o]=+i, •••, de sorte que les formules (6) deviendront

(7) [ dv^ , p ^7o __R

dt -^"^■'" dt " ^»'

Les valeurs initiales des variables x^y, ...,x',y', ... constituent donc un système très simple d'éléments, au point de vue de la méthode de la variation des constantes arbitraires; cependant on n'emploie pas ces éléments en Astro- T. - I. 23

nomie parce qu'ils entrent d'une manière trop compliquée dans les expressions (i).

Remarque. — Quand on donnera ainsi à t une valeur particulière t^, si cette valeur dépend d'une ou de plusieurs des quantités a, b, . . . , \\ faudra avoir soin de ne faire t=^t^ qu'après avoir calculé les dérivées partielles de x, x' , . . ., par rapport à celles des quantités a, b, . .. qui figurent dans t^. Supposons, en effet, que l'on ait tf z= f(a); il est évident que la dérivée par rapport à a de œ = (pf(t, a, b, ...), dans laquelle on fera ensuite t=/(a), ne sera pas la même que celle de l'expression $^ [/(ci), a, b, . . .].

66. Appliquons la théorie précédente à la détermination des mouvements des planètes.

Nous devrons faire

dans ce cas, les premières des formules (a) donneront

, da; , dy , dz

dt -^ dt dt

Les intégrales générales des équations (è) du mouvement elliptique ont été données au n^ 32; nous les rappellerons bientôt.

Commençons par un calcul préparatoire; traçons la sphère de rayon i, ayant pour centre le centre 0 du Soleil ; elle est percée aux points^, j, z par les parties positives des axes de coordonnées, et le plan de l'orbite de la planète la coupe suivant le grand cercle NH. Soit \ le point de cette sphère où vient aboutir le rayon mené du Soleil au périhélie; prenons, dans le sens du mouvement de la planète, l'arc \r\ = 90^, et soit X^ le pôle boréal du grand cercle ^yj. Les axes 0^, Oy], O'C forment un système d'axes rectangulaires que nous allons considérer, à côté de l'ancien système Oa?, 0/, 0^. Désignons par a, (3, y; a', P', y'; a", P", y" les neuf cosinus des angles que font les axes du premier

système avec ceux du second, ce qui sera clairement indiqué par le Tableau ci-dessous :

Posons, comme nous l'avons fait antérieurement,

x'^ — B, HNj = (p et N^

nous aurons

Cela posé, la Trigonométrie sphérique nous donnera aisément, par une application répétée de la formule fondamentale.

!' a. — cos B cos w — sin 0 sin w cos cp (3 = sin 9 cos w + cos 9 sin w cos 9 •/ = sinciosin9

a' =: — cos 9 sin co — sin Q cos w cos 9 (3' = — sinôsinco -t-cos0coswcos9 y' z= cos w sin 9

sin9sin9 COS0 sin 9 cos 9

On a d'ailleurs les relations bien connues

aa' + [3;3' + yy' = o, aa" + (3;3" + ^i" = o, a'a"+(3'[3" + y'y"=::o;

Il nous faut calculer les dérivées partielles de nos neuf cosinus par rapport à 0, o et w; on trouve aisément, en partant des formules (8), les valeurs suivantes :

d9 - ^' ( ày

lOO

-^ = a sino),

doc'

= a"cosw,

f^=^"sin.,

= (3"cosw,

ày

ày'

= y" costo;

doc' dcù

= -oc,

doi

dy'

Soient ^, v], o les coordonnées de la planète par rapport aux nouveaux axes; on aura

(i4) ■ a; =ocl + oc'n, / = [3^ + [3'r], z = y^ -^ y' r] ;

d'où

(i5) x'=oc^'+oc'-n', /==(3^'+P'y)', z'=yE,'-\-y'n',

en faisant

., d^ , dn

' ~"dt' '^ ~~di

Les formules du n" 31 deviennent, en y remplaçant — n^z par x, k —

(l6) /in::—, k^=^\Jîp., W — esill M =: «f + / ;

(17) ^ = a(C0SM — e), ri:=zasji — e- s>\n.u\

on en tire

du n

ûfi I — e cos u

1 — e cos a I — e cos f<

Les formules (i4), (i5), (16), (17), (18) et (8) donnent, comme on voit, les

VARIATION DES CONSTANTES. — MÉTHODE DE LAGRANGE. l8l

expressions de cc,y, z; x' , f, z' , en fonction de t et des six éléments

67. Il nous faut maintenant calculer les quinze quantités [a, h\ par la formule (5) en prenant successivement pour a et b deux quelconques des éléments (19) :

[5, co], [9,9], [«,9];

[9, a], [9,e], [0, x]; [w, a], [co, e], [w, x]; [9, a], [9, e], [9, x].

Soient K et L deux éléments du premier groupe (0, w, ^) : on aura P„ T -1 «^-^ à^' dx doc'

on a d'ailleurs, par les formules (i4) et (i5), en remarquant que i, y], \', r{ sont indépendants de 0, w, 9,

dx j, dcc (?a' dx > <?« (?a'

^J7' j, ^a , àct' dx' V, <?a , d<x'

d'où, en substituant dans [K, L],

n/- ïT ,r I ri^ f àcf. dot.' doc d<x' \

mais on a

(20) \ri'—ri^—\~—ri-^-—na?-\^\. — é^ — k\Ja{\ — é^)\

il vient donc

^U L«^,i^J-/'« V 1 ^ \d}L dh dL dK ^ dK dL dL dK "^ dK dL dL dK

Soient, en second lieu, K un élément du premier groupe et P un élément du second (a, e, x); a, [3, y, a', p', y' sont indépendants de P : on trouve aisément

les formules suivantes :

Pl^ p, âa: dx' dx dx'

FK- Di fi^"^ ^ ^'^'\f ^^' . /<^^'\ fil ^^ ,àa'\f dl , d-n\

[K,P]= (^M+^^j(^^+-^j~(^'^+V^j(a^-Ha'^j

\ ÔK^^ dK^^ âKj \^ dP '^ dP)

^r àK ^^ dK^^ dKj V dP ^ dP) ( da' ^d^' dy'\f dl' ,dl\

, da

""^^^dK-^'^âKjy^âP'-^ âp)

Or on tire de (9)

il viendra donc ou

ou bien encore, à cause de la formule (20),

Soient enfin P et Q deux éléments du second groupe; nous aurons

PP ^, dx dx' dx dx'

LP»UJ-^ jQ -^Q ^ +••• (?r^ \ / dl' , dn'

de ,d-n\/ dl' ,d-n'\ ( dl ''dp-^''w)[''dQ-^''dQ)-[''-dQ-^''dQJV-dP-W,

{OC -hp +y )\^^p ^Q dQdP)^^'' ^P ^^ H^l' àQ dQ dP ) -h(aa'+B3'+yy') f ^i ^ -^1 ^ + ^ .^'^ ^' i^V

d'où, en vertu des relations (9),

^TT^ rP m il ^ ii ^^' a- ^ ^ ^ ^

^^^^^ ^ '^^'~ dP ôQ <)Q (?P (?P c^Q ^Q ^P*

Il ne reste plus qu'à appliquer les formules (I), (II) et (III).

68. Faisons d'abord K = G, L = w, dans la formule (I), et tenons compte des relations (i i) et (i3); nous trouverons

[d,w] = na" y/i — eM(3a -i- (3'a' — a^ - a'[3') = o;

en posant, dans la même formule (I), K= ô, L = cp, et ayant égard aux relations (1 1) et (12), il vient

[9, 9] = na^s/T^^^ j (a[3" — (3a") cosw + ((3'a"— a'[3")sinco {

OU, en vertu de (8) et (10),

[9, 9] := na^\J i — e^( — y' cosco — y sinco) = — na^\Ji — e^ sin^.

Enfin la formule (I) donne, pour K =^ o) et L = ç, en se reportant aux relations (9), (1 2) et (i3),

[co, 9] = /zaVT^^2 j(^'^v j ^i^'t^^yy^ coswH- (aa"4- p;3"+ y/)sinw j = o.

Passons à la formule (II) dans laquelle nous supposerons d'abord P = x, ce

qui nous donnera

il en résulte donc

[Ô, x]=0, [CO, x]-— O, [9, x]=:0.

Si maintenant nous faisons P = a, ce qui entraîne

,d\/a{i — e') k\li — e^ .

nous trouverons

d'où, en donnant successivement à K les valeurs G, w, ç et ayant égard aux re-

l84 CHAPITRE X.

lations (8), ..., (i3),

[9, a] = \ na \/ 1 —e^ {oc^' — ^x') :=! ^ na\/i —e^ y" = { na ^jV—e^ cos 9 ,

[ 0), «] = i «a v^i — e^ ( a'2 + [3'2 -f- y'2 ) = i na v/i — e',

[9, a] r= i na\/i — e^ (a'a"+ (3'[3"-+-y'/) sinw = o. Pour P = e, nous aurons

^av/a(i-e^)^^^-^e^^^^3 e

et la formule (II) devient

en comparant cette formule à celle qui donnait, il n'y a qu'un moment, la valeur de [K, a], il vient

il n'y a plus qu'à faire successivement K = ô, K = co, K = 9, et à remplacer [ô, a], [(0, a], [cp, a] par leurs valeurs ci-dessus ; on trouvera ainsi

[0, e] =— na- -—== COS9,

[co, e\=: — na-

Nous arrivons enfin à l'application delà formule (III).

Pour faciliter le calcul, nous donnerons à t la valeur particulière

qui annule u; cette valeur est fonction de a et x; on ne devra donc faire z = T qu'après avoir effectué les différentiations relatives à a et x; on pourra calculer les dérivées relatives à e après avoir fait ^ = t. En prenant Q == e, la formule (III) donne

. rp 1--^^-^^-+-^ ^^^^'-

^^'^ ^'^^~dPâe âe dP dP âe de âP '

VARIATION DES CONSTANTES. — MÉTHODE DE LAGRANGE. l85

les formules (17) et (i8) donnent

ri/I±î =

c=o, ■ rt'=nai/ = -— i/ — — ;

pour i= t;

on en tire

dl d-n

di' dn' na i

de de Ji gz i—e

et la formule (21) devient

/ X rr» T à'î' na an

les relations (17) et (18), différentiées par rapport à P, donnent, en faisant ensuite t = n:, u = o,

dl' na (du

dP~ i-e\dPj(=^

= + av/i-^^(^)^^^;

après quoi nous trouvons, par la formule (22),

r„ -, na- f du\ na- fdu\

on en tire donc

Reste seulement à trouver [a, x]; la formule (ÏII) donne

'^ ' da dy. <?x da da (^x dx da

En partant de (16), (17), (18), différentiant par rapport à x, et faisant ensuite i = T, on trouve aisément

du I

dy. I — e ï. - I. 24

i86 et

an'

l'expression ci-dessus de [a, x] donne donc

na d

(i — ey da

a V ^ — e da

Différentions ensuite (17) et (18) par rapport à a, faisons ^ = t, et nous trouverons

]' v^i — e- âna /i + e \/a , /iH-e^

da "' da~i — eda^yi — eda~~^'\ 1 — e '

en substituant dans (23) et réduisant, il vient enfin

[a, x] =: — j na.

69. Nous pouvons actuellement écrire ce que deviennent les équations (6) dans le cas présent; nous aurons

de dy. ^ ^ do ^ ^ dw ^ ^^ dd „

d'où, en remplaçant les quantités [a,e\, ... par leurs valeurs trouvées ci-dessus,

«a — |/î«-;^ — i/î« VI — e^ -^ —i «a VI— «ces 9 — =0,

/m^e do) na^ecoscfi d9

Rx + i no! ^ = O,

Y^^-\-\na\j \ —e^ COS9 -7- — - -^ /m-v/i

dt i/j g2 ^f

Rç + wa^ y/i — e'sin9 — = o,

Rw -i- i^a v'

dt J i g2 dt

On tire de ces six équations, en les résolvant par rapport aux dérivées -i- ? • • • > les formules suivantes :

da 2

dt lia

de d}

dcp dt

dod ~dt

dy.

/la

COS

Ro)

na^

siiKp

na^

sin^

COS

^To

Ro,,

nà^\J

Rg,

I — g'' sin©

nà^sji — e'^ sin

na^e na

ViZf!R

na'^e

La comparaison de formules (a) et («) montre que l'on a, dans le cas actuel,

X'=o, Y'=ro, Z'=o;

Yr=

(4) donne ensuite

à^ àx^ à^ dy^ ôK dz d^ doc da dy da dz da da'

les formules {d) pourront donc s'écrire comme il suit :

~di

de dJ

c?9 ~di

dt 'di

dy.

'dt

2 dR na d/.

i — e^ dR y/i - e^ ^ coscp <)R

I dR

na^\/i — e^ sin 9 ^9

COS 9 (?R v^i — e- dR

/mVi — e'^sin9 ^? '^«'e <^^

«a^e de /«a da

l88 CHAPITRE X. — VARIATION DES CONSTANTES. — MÉTHODE DE LAGRANGE.

Si l'on introduit enfin au lieu de w et x les éléments w et £ par les formules

on verra aisément que les formules (e) sont identiques aux formules {h) du n« 62.

Il convient de remarquer que les formules {d) s'appliqueraient encore au cas où X, Y, Z ne seraient pas les dérivées partielles d'une même fonction de x, j, z et /; X, Y, Z pourraient même contenir x' , y', z' ; seulement R^ aurait alors pour valeur

oa aa aa

Cela se présente quand on veut tenir compte de l'influence de la résistance d'un milieu sur les mouvements des planètes.