CHAPITRE XIX. — DÉVELOPPEMENT DE M. NEWCOMB
146. Développement par rapport aux éléments de la seconde planète. — Nous avons trouvé la formule
ÎJ=+n RU © cos(ve/+ us +jn) Il} Au; J=—n
en faisant
D nn ne DE,
il viendra
Î=+n a'R(M — M P? cos(vs + ps + jn); ]J=—n
il faut maintenant remplacer s' par ç'+o(s,n'), B' par B'+d(e,n'), et développer les résultats suivant les puissances de &’. On pose R( — R20 + ge R’:! Le ge! 2R22 + See glr'Ren , Le
M. Newcomb démontre ce théorème fondamental :
Supposons que l’on ait développé R suivant les puissances de €, en faisant € — 0, et que l’on ait trouvé que le terme général soit de la forme
e COS(N + /n)Il? A,
A étant une fonction des distances moyennes, I un symbole opératoire, et N une fonction lineaire de 6 et & ne contenant pas À.
Supposons, d'autre part, que l’on ait développé R suivant les puissances de &', en faisant £ — 0, et que le terme général de ce nouveau développement soit
en cos (N + j'a')ILF A;
alors le coefficient de cos(N + jn + J'n') dans le développement complet sera représenté par grg!n IT} II> A’.
On peut d’ailleurs simplifier les résultats en éliminant D’ au moyen de la
relation D —- D'=— LS
Nous ne pouvons pas suivre M. Newcomb dans tous les détails de ses calculs; bornons-nous à dire que l’ensemble du développement de R suivant les sinus et cosinus des multiples de l’anomalie excentrique est renfermé dans les pages 90-200 de son Mémoire. M. A. Chessin (As/ronomical Journal, t. XIV, n% XIV et XX ) a apporté une simplification importante aux calculs de M. Newcomb.
147. Réflexions générales sur le calcul des perturbations planétaires. — Si nous envisageons dans leur ensemble les développements des perturbations planétaires donnés dans le Tome I, d’une manière générale et d’une façon explicite, par Le Verrier dans les Annales de l'Observatoire, t. et t. XIV, nous pouvons remarquer que certaines circonstances contribuent à rendre ces développements assez rapidement convergents. Les séries rencontrées sont de la forme
(1) SA (al+al+po+fa'+y6+ 70),
où 4, l',5, 0,0 et 0’ désignent les longitudes moyennes, les longitudes dés périhélies et celles des nœuds; «, « B, 8’, yet y’ des nombres entiers positifs ou négatifs dont la somme algébrique est égale à zéro; les coefficients A sont des fonctions de a, a',e,e,tetri'; ces quantités constantes répondent aux demigrands axes, aux excentricités et aux inclinaisons; À contient en facteur e“le*l ivlzlvl, Or, pour les grosses planètes, e et e’ sont des quantités inférieures à 0,1, sauf le cas de Mercure dont l’excentricité est égale à 0,2 environ; £ et 2’ sont au-dessous de 3° 30’, sauf le cas de Mercure dont l’inclinaison est d'environ 7°. Cette petitesse relative de e, e’, cet s fait que les coefficients A diminuent rapidement quand les entiers B, 8’, yety augmentent; c’est une première limitation.
En second lieu, les grands axes des orbites ne sont jamais très voisins les uns
a , des autres ; la plus grande valeur de — est 0,723, dans Île cas de Vénus et de la Terre. Ces valeurs, relativement modérées, limitent les coefficients « et x’; si le
rapport était plus voisin de r, il faudrait employer des valeurs beaucoup plus
grandes pour les entiers & et x.
Enfin, dans la première approximation, les coefficients A contiennent en facteur le rapport »’ de la masse perturbatrice à la masse du Soleil; la plus grande valeur de #2’ correspond à Jupiter, et est inférieure à 0,001; cela con-
tribue aussi à la petitesse des perturbations et à la convergence des approximations successives.
Il est toutefois une circonstance qui augmente les coefficients A. Ces coeffcients contiennent en effet les diviseurs an + «’n', ou même leurs carrés. Si les
Loy . . .
rapports — étaient rigoureusement commensurables, on pourrait trouver des valeurs des entiers x et «’, telles que les diviseurs en question fussent nuls, auquel cas la méthode suivie serait complètement en défaut. Heureusement, ce cas ne se présente pas; toutefois, il n’est pas très éloigné d’être réalisé : c’est ainsi que, pour Jupiter et Saturne, on a
et pour Uranus et Neptune,
Voyons ce qui arrive pour les petites planètes. Les excentricités sont beaucoup plus prononcées; elles vont jusqu’à 0,35 et même o, 38. L’inclinaison de l’orbite de Pallas sur l’écliptique est presque égale à 35°. La masse perturbatrice est toujours (pour la partie difficile des perturbations) celle de Jupiter;
