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m'est donc voisin de 6,001. Le rapport = des demi grands axes de la petite

planète et de Jupiter est compris jusqu'ici entre 0,40 et 0,82. Enfin, il y a des rapports de commensurabilité très approchés; ainsi, pour la planète G, on à

Teil l'inégalité à longue période, dont l'argument est / — 27 + const., étant du premier ordre, pourra acquérir des valeurs considérables.

On comprend, d’après cela, que la méthode usuelle pour le calcul des perturbations, celle dont Le Verrier s’est servi constamment, présente des difficultés sé rieuses. Dans des cas convenablement choisis, son emploi serait matériellement impossible. On peut néanmoins s’en servir pour un grand nombre d’astéroides. C'est ainsi que M. Perrotin à fait la théorie de la planète Vesta (Annales de l'observatoire de Toulouse, t. 1); Damoiseau avait ébauché autrefois la question des perturbations de Cérès et de Junon (Additions à la Connaissance des Temps pour 1846).

Des efforts nombreux ont été faits pour aboutir à une méthode efficace pour le calcul des perturbations des petites planètes. Gauss avait travaillé à une théorie de Pallas, et nous voyons dans une de ses lettres à Bessel qu’il avait trouvé plus de 800 inégalités sensibles.

A côté de cette théorie générale, l’illustre géomètre avait conduit parallèlement le calcul par quadratures, de manière à obtenir un contrôle qui est presque indispensable. Gauss n’a jamais publié ce travail; la Société royale des Sciences de Güttingue fait imprimer en ce moment tout ce que l’on a trouvé dans les papiers de Gauss sur ce sujet important.

Nous avons exposé (Chapitre XVII) la méthode de Cauchy, qui permet de calculer rapidement les inégalités à longues périodes, qui seraient insensibles dans la théorie des grosses planètes, vu la grandeur des coefficients « et «’ de / et /’ dans l'argument, et ont cependant des valeurs notables dans le cas de certains astéroïdes.

Hansen a publié dans les Mémorres de la Sociéte royale des Sciences de Saxe, t. V, Vlet VIT, trois Mémoires importants intitulés : Auseinandersetzung einer zweckmässigen Methode zur Berechnung der absoluten Stürungen der kleinen Planeten.

Nous allons en présenter une analyse assez étendue. Disons tout de suite que la fonction pertubatrice est développée suivant les sinus et cosinus des multiples des anomalies excentriques; nous savons que la fonction perturbatrice s'exprime beaucoup plus simplement avec ces anomalies qu'avec les anomalies moyennes. Mais Hansen emploie aussi la méthode des quadratures, de façon à tenir ainsi un compte rigoureux de toutes les puissances de l’excentricité de la planète troublée. Les méthodes de Hansen ont été appliquées par Brünnow pour Iris et Flore, par Becker pour Amphitrite, par Lesser pour Pomone et Métis, et par M. Leveau pour Vesta; ces méthodes ont donc fait leurs preuves.

M. Gyldén à donné de son côté une théorie que nous exposerons dans les Chapitres XXII et XXIV; pour le moment, nous nous bornerons à dire qu’elle repose sur le développement de la fonction perturbatrice suivant les sinus et cosinus des multiples des anomalies vraies. On retrouve donc les trois sortes d'anomalies dans les trois principales méthodes que l’on a appliquées au calcul des perturbations des astéroïdes.

Après cette exposition, qui nous a semblé nécessaire, nous aborderons la méthode de Hansen; elle repose sur les mêmes principes que celle employée déjà pour la Lune (voir notre Tome II, Chap. XVII). Nous pourrions donc abréger beaucoup notre exposition; toutefois, nous pensons qu’il est indispensable de reprendre tout l’ensemble, mais un peu plus rapidement que si nous n’avions pas encore parlé des méthodes de Hansen (‘).

148. Nous considérons une planète P troublée par une autre P'; soient, à l’époque 4, r sa distance du Soleil et 6 sa longitude dans l’orbite mobile, comptée à partir d’un point déterminé X du grand cercle qui représente l’orbite sur la

(1) On pourra consulter un Mémoire de M. Venturi, Metodo di Hansen per calcolare le perturbazioni dei piccoli pianeti, Milan, 1882.

sphère de rayon 1 ayant son centre au centre du Soleil. Nous supposons que la rotation instantanée s'effectue à chaque instant autour du rayon vecteur r; il en résulte que, si l’on se donne la position du point X à l’époque zéro, la position de ce point à l’époque £ sera parfaitement déterminée. Les équations différentielles dont dépendent r et o [formules (b), t. E, p. 463] sont ee Sie us. kms),

d dv Net AN LE DRM dt (r Re) = UE

m et m' désignent les rapports des masses des deux planètes à la masse du Soleil; Æ est la constante de Gauss, 4 — M, où f représente la constante de l'attraction universelle, et M la masse du Soleil.

On a d’ailleurs (t. III, p. 307 et 308)

Po 07e fo me [A m I H7 ge me) eee 72 NAN r 2

A est la distance des deux planètes, et H le cosinus de l’angle des rayons ret 7. Si l’on pose #?(1 + m) = #?, il vient

d 12 do es 12 at T)=4

nous écrivons, pour abréger, #° et n'; ce qui nous

; m' Au lieu de £?etde ; I + A

donnera plus simplement , } dv?

(1) mn de + — —

d d () a(rE (3) Si, dans les équations (1) et (2), on néglige le second membre, on trouve

dr dv?

a) Dr.

Ce sont les équations différentielles du mouvement elliptique; on les intègre, comme on sait, par les formules

be (4) p

: I orne I e —eSine =nt+c, lang 2 /=1/ tang—e, P 1+eCOS(P—y) 1+ecosf

Er eur

| RQ EE, p=a(i—e),

| dans lesquelles € désigne l’anomalie excentrique, f l’anomalie vraie, y la longi- | tude du périhélie dans l'orbite, comptée à partir du point X; les quatre constantes arbitraires sont à, e, c et y.

Quand on voudra passer du mouvement elliptique au mouvement troublé, c'est-à-dire de l'intégration des équations (1’) et (2°) à celle des équations (1) et (2), on emploiera encore, pour r et », les expressions analytiques qui résultent des formules (4), mais en faisant varier les constantes arbitraires a, e, cet y.

149. Formules auxiliaires. — Les formules (A)(t. I, p. 433) donneront, avec les changements nécessaires dans les notations, |

19|ce

da ie Dr a : ÉD D = en temp), (5) ui oral Vp[Ssinf+T(cose + cosf)], ie e(1 — cost LE en à — Scosf +T or nn do dora 2 Or; on a (t. Ep. 462) D—0+yYy—0, do — cosidô, d ds 1600 LE SR LES (1 — cosi) nt p=ai—e), 2 al le HE on tire ainsi des formules (5) dp 2 1e! =, PR kVpTr,