OU
Finalement, il restera les dix constantes arbitraires (14) N, N;, N:, N;, N,; Ÿ» V1» Y2s Y3 Vie
Les équations (10) donneront donc bien les intégrales générales cherchées. On démontrera, comme on l’a fait pour les inégalités séculaires des planètes (t. 1, p. 411), que l'équation (r2) a ses racines réelles et inégales.
18. Intégration des équations (9) avec leurs seconds membres. — Nous ferons, pour plus de symétrie,
de AG er ee, DE OS, 07
La première chose à faire est de connaître les expressions de & et de 9 en fonction du temps. Nous choisirons pour plan fixe le plan de l'orbite de Jupiter à l'époque zéro. La théorie des inégalités séculaires des planètes donne, relativement à l'écliptique de 1850, les valeurs de @ et de 9, que nous désignerons pour plus de clarté par @, et 2,, sous la forme
B=ŸS sin(se +6), 2: DS cos(st +6),
où les signes > comprennent autant de termes qu'il y a de planètes, soit huit;
Jes S et < sont des constantes, et l’on sait que les valeurs des s sont très petites. Relativement à l’écliptique de 1850, la position de l'orbite de Jupiter à l’époque
zéro sera déterminée par les formules
B= DS sinc, 20 = DS cos:
la position de l’orbite de Jupiter à l’époque #, rapportée à la position qu’elle occupe à l’époque zéro, sera déterminée par les formules approchées (t. I,
On aura donc
te, d — Di — Vo
| ®= SS[sin(ss+c)— sin],
(16) | 2 = Ÿ S[cos(st + s)—coss|.
Les formules (15) et (16) déterminent P, P’, ..., Q, Q',... en fonction de £. Nous conserverons les expressions analytiques (10) pour exprimer les intégrales générales des équations (9) avec seconds membres, mais en y regardant comme variables les dix constantes arbitraires (14). La nouvelle expression
de “e sera égale à l’ancienne, augmentée de
U + Uy + Ua + Us + U,, en posant, d’une manière générale,
dN. FR (17) = D sin(b;t+ y;) +N; cos(b;t + y;).
Mais l’ancienne expression de “ ajoutée à Co Tg—(o1g—...—()9", donnait et donnera encore un résultat nul identiquement. Il viendra donc U + Ui + Uo + Us + u, =P.
La troisième des équations (9) donnera de même, en ayant égard aux relations (13),
d'u+oiu+...+ o,u, = P'.
On aura, d’autre part, des résultats analogues, relatifs aux quantités g, en faisant aN;
ha | dyi (18) Pi TE Cos(bit + y;) — N; en sin(b;t+ y;),
Ce
de sorte que l’on obtiendra cet ensemble d'équations :
U + Ui + Ua + us +u, =P ; PH Pi+ Va Pa + P, =Q,
(19) | d'U+OiU + OU + on Us + ou —=P'; T6 + 91 Pi + 0 Pa +03 3 + oi = Q", Pour résoudre ces équations, il est nécessaire d'établir quelques relations
préliminaires.
