Formules préliminaires. — Posons pour plus de clarté

! 1 7 É 1. a Go) Hi y RE EN Le av # hiC = — = Ve De LR EEE rte = A). :

Re n'a n'a? nd. n° S(20U—A—B)

et nous trouvons aisément les relations suivantes, en nous reportant aux formules (2) et (10) du Chapitre [°', et (6) du Chapitre actuel,

Gne =bolct O2)oe fo 0 Oo)” (21) \ (role (5 o0ûcie Ha CE re

En admettant pour les constantes

x €tzles valeurs de Laplace, on

peut calculer les constantes c, c’, c”, c” et cr.

Cela posé, si l’on élimine entre les premières des équations (1) et (11,), puis entre les secondes de ces mêmes équations, puis entre les troisièmes, etc., on trouve

(b—B,)NN, — (o,1}(N'N;—N.N)-+(0,2) (N’N, — N’N) + (0,3)(N7N; — N°N) + (0)(NUN, — NN), (b—D,)N'N, — (1,0)(N.N—N'N;)+(1,2)(N,N'— N'N') + (1,3) CN2 N°" — N'N°) + (D)(N,NY— N'N5), (b—b;)N'N! — (2,0)(NN’ — N'N;)+ (2,1)(N'N° — N’N:) + (2,3)CN'N° — NN’) + (2) (NYN° — N'Nr), (b—6,)N°N" — (3,0)(NN'—N,N")+(3,1)(N'N!— N’N')

+ (3,2) (N'NY — NN: + (3) (NYNS — N'NY), (b—6,)NYNY— (OY(NNE — NN) + (N'NY — NN) RONA NAN) CANNES),

ën multipliant ces cinq équations, respectivement par c, €’, c”, c”, c", ajou-

tant, et tenant compte des relations (21), on trouve que les seconds membres. donnent une somme identiquement nulle et il vient

Cb— bi)(CNNs + c'N'N + c'NUN! + cNONT + cNNY) — 0.

On peut supprimer le facteur b — b, différent de zéro, et l’on obtient l’une des relations contenues dans le type général

cN,N; Si C'INQN° SE C'N'Ni+ C'NÈNe+ CANNES = 0:

où les indices r et s peuvent recevoir les valeurs o, 1, 2, 3, 4 sous la condition r2s. En divisant par N,N, et introduisant les quantités 6, 1l vient

(22) c+ c'o,0, + c'onos+ colo; + co oN — 0.

La résolution des équations (19) est maintenant facile : en les multipliant par des facteurs convenables, et tenant compte de la relation générale (22), il vient

u =fP +f'P'+f'P'+ "pr FU, o —=fQ +f'Q'+f'Q"+f"Qr+ FO, u= fl +f,P'+fiP'+ fiP"+ FPT, = /f1Q +f, Q'+ fi Q'+fQ"+frQ",

= P+f PAP + fe

où l’on a posé

==, = E ra) CAN A is el CA He Ha CR EN

c+c'o;+c'ai+c"'oi + co?

On a maintenant, d’après les formules (17) et (18),

dN; sin};

D =; cosb;t— +; sinb;t,

dN;cosy; ; = u; Sinb;t + p;cosb;é,

de sorte que l’on tirera des équations (23),

dNsiny

Ti (BF Br PPT + PITPP )o0sbt

(PO LOS TO +7 0) sin be,

CFE + f'P'+f'P'+ f" P" + fY PY)sinbt + (fQ + f'Q'+f"Q" + f" Q" + FO") cos bt, ie = (AP+f P'+...+ fr" PT) cos bit

(0er OO) ser.

nm sn ee

En remplaçant P, P’,..., Q, … par leurs valeurs (15) et (16), f, f’, ... par leurs expressions (24), on trouve

d\ sin; 5 — + =. 06 ÿ S[cos(st + ç— bt) — cos(s — bt)], AN CO si A (15) Sc te > S[sin (sé + s — dt) — sin(s — bt)|, aN, sin :

= M: > S[cos(se + çs — b;t) — cos(s — bit)],

où l’on a posé . Lole+lrle'o+[a]e"o"+ [31e"o"-+ CO) co

(26) … [ole+[rilc'o,+...+(G)ca”

CC ee ON ant

20. Résolution des équations (19). — On peut effectuer immédiatement les .

intégrations dans les formules (25), et il vient, pour les variations ôN siny, . de Nsiny. .,

äN siny = X DE |” (st+ s— bt) . sin (ç — 2.

s—b b 9e cos(st cb) cos(c — 61) (27) He >s| ee ON, si t sin(sé+ç—bit He 0) ON; Sin y — DIE sn) | . p. ’É D rt 1 1

Be var teleleiel eee emdieienelete tee ie etierel ma el silee;e sie euretle eo else lo aa Re er...

On aura ensuite, d’après les formules (10),

dp = sin bt ON cosy + cosbtÔN siny + sinb,£0N,cosy;+..., dg = cosbt ON cosy — sinbtON siny + cost, ON; cosy —...,

et 1l en résulte

g, VO »

sin(sé+ç)

N N / ? ®, e e Les 0g, 6q',... s’obtiennent en changeant les sinus en cosinus. Les expressions précédentes peuvent se simplifier un peu; on doit avoir

b . D G' | ci DIR

| je KR, je

En effet, dans les expressions (28), les termes en sinç et cosç constituent une solution des équations (1) dans lesquelles les seconds membres sont réduits à

— [o] Ÿ 8 cos, + [o] Ÿ Ssins, — [1] ŸS coss, + [1] D Ssine,

Or, cette solution se trouve immédiatement sous la forme

D—= —Ÿs Siné = pit, 4 = — À SCO D, car, en substituant dans les équations (9), il vient I[o] + (0)+(o,1)+(0,2) + (0,3) — | 0] LS co — 0, P[r]+(i)+4(G,0)+(1,2)+ (1,3) — Gas cose—0, Or, ces conditions sont vérifiées d’après les formules (10) du Chapitre II. En comparant la solution précédente, qui doit être unique, à la partie constante de

la solution (28), on obtient les relations (29). IL est facile d'exprimer maintenant les latitudes À, X, À”, À” des satellites

au-dessus du plan fixe. On a, en négligeant l’excentricité et les perturbations de la longitude, À sinysin({ —0)— gsinl — p cosl.

IT en résulte, avec les expressions précédentes de pet de gq,

| N, : A=DNsin({—bi—7) +YS (TT - a 4) sin (ist — — SSsin(/— 6), (30 pe à 2 sin dunes (ET a

— YSsin(l—<),

eee eee eau ete Leneten sente. ivbe eee tete er lerNerletememarte lee) eee es em elel eme nettes ortele Vue nt ee ne ele

Soient À, A’, A”, A” les latitudes des satellites, rapportées à l'orbite de Jupiter pour l’époque £. On aura

A 1= eos Qsint= DS sin(/—<) — D Ssin({—st— 6),

d’où AN sin({ —bt— 7) +ŸS (= ++ :) sin( GE), on sin({ —b!— 7) nt nue Be — :)sin (e st 6), des = © N'sin(l"— b— y) + 25 (= . F DE — :)sin(r— ne) AM Ÿ N’sin(l"— up + Xs(— . + A — ) sin({”— st — 5),