À” + À” . = À” + 0,0816578ÀL
C’est ainsi que Laplace a trouvé les équations suivantes :
(17) 6735 — 29471 — 363 m — 4193m" — 0, (18) 1834m" + 591m" — 2090mm"+ 1829 m'? — 0, (19) 297 —1936u — 267m—124m"+3514m" —o.
Je laisse de côté l’une des équations (D), dans laquelle les termes obtenus, après avoir fait M, — M; — o, sont positifs, d’ailleurs très petits. Enfin, l’équa-
THÉORIE DES SATELLITES DE JUPITER. 81 tion (16) donne
L'équation (B) combinée avec trois des équations précédentes, par exemple (17), (19) et (20), donnera les inconnues. On trouve ainsi
TM 0,578, — 0,909, pH =1,0088, M =20,h05.
On se servira de ces valeurs approchées pour déterminer © et par deux des équations (D), et l’on portera les valeurs ainsi trouvées dans les deux autres ; on complétera de même l’équation (16) en tenant compte de N,, N°, …, N’, et l’on continuera jusqu’à ce que deux calculs consécutifs donnent le même résultat.
Damoiseau a déterminé une nouvelle valeur du coefficient C” dans la longitude du troisième satellite. La valeur ci-dessus, 245”, 14, adoptée par Laplace, répondait à 116,73 en temps. Damoiseau l’a remplacée par 65°,073, qui n’en est guère que la moitié. D’après son Manuscrit, conservé à la bibliothèque du Bureau des Longitudes, cette correction, ainsi que toutes celles qu’il a apportées au troisième satellite, proviendrait d’un calcul particulier dans lequel on aurait tenu compte de quatre-vingt-treize éclipses complètes de ce satellite, observées entre 1740 et 1824. En introduisant le nouveau coefficient, 655,073, on modifie très sensiblement les masses, ainsi que M. Souillart l’a montré et que cela résulte du Tableau suivant :
Laplace. M. Souillart.
Nono be OR DORE T 0,173281 0,377267 De nt ie de 0,232355 0,245305 RSR A AN D ee te 0,884972 0,821795 I ads set sue des 0,426591 0,231233
On voit que le principal changement consiste en ce que la masse du quatrième
satellite est presque réduite à moitié, tandis que celle du premier est plus que doublée.
32. On a maintenant tout ce qu'il faut pour calculer les racines g, g,, g, et 83 (déjà obtenue), ainsi que les rapports LL A LIÉRRPS. PARR CE Hé NE N Ne Ne de Mi M M M, M, M:
7 À 1” ? EVTE 71 ? AI ? Ar ° MS” M M M” M” w
On trouve que ces rapports sont inférieurs à r, et souvent même assez petits. On aura donc
e sinm —=M sin(gt +6) +... e cos& —=M cos(gt +6) +..., e! sinw’ —=M; sin(gié + GB) +... e! cosæ) — M, cos(git+ Bi) +...,
Sat + Be) +..., e! cosw” — M: cos(gat + Ba) +...,
( ( e" sinæ” = M; sin( (
e" sinæ” = M, sin(gat +63) +..., e" cosw”—= M: cos(gat + B3) +....
Laplace appelleM l’excentricuté propre du premier satellite, et gt + B la longitude de son périjove propre, de même M! et g,t + $, pour le deuxième, etc. Les formules
0p —2M sin({ —gt—B)+2Msin({ —git—fi)+..., dp —2M'sin({ — gt—5)+2Misin(l'—git—f6i)+...,
montrent que chaque satellite possède quatre équations du centre, dont l’une se rapporte au périjove propre de ce satellite, et les trois autres aux périjoves propres des trois autres satellites. Il reste à déterminer par les observations les huit constantes
M, M, M, M; GB, Br GB et GB.
Delambre n’a pas trouvé, dans les observations, de traces appréciables de l'existence de M et M', de sorte que l’on peut supposer
M—o, NM —0.
Ainsi, on peut admettre que les excentricités propres des deux premiers satellites sont nulles, et les expressions précédentes de ôp, ds’, ... se réduisent, chez Damoiseau, à
de — 2M, sin({ — got — GB:)+ 2M3 sin(l — gst — 3), 09! — 2M; sin(l — git—8,)+2M, sin(l — gzt — G3), de" —2M! sin(l" — gst—fB,)+2M; sin(l — gst—f3), dp"— 2M" sin (l" — g,t —B,)+ 2M; sin(l"— gst — Ps).
Nous n’entrerons pas dans plus de détails sur ce sujet, non plus que sur la détermination des constantes qui figurent dans les expressions des nœuds et des inclinaisons; nous nous bornerons à dire que les inclinaisons sont données par les plus petites durées des éclipses, et les nœuds par les plus longues.
33. Historique relatif à la théorie des satellites de Jupiter. — Le premier essai de théorie est dû à Newton (Principes, Livre INT, Proposition XXIIT),
qui avait évalué approximativement la variation et les moyens mouvements du périjove du quatrième satellite, en tenant compte seulement de la force perturbatrice du Soleil, et transportant à ce cas les résultats qu’il avait obtenus pour la Lune.
Lagrange (Œuvres complètes, t. VI) a donné, en 1766, les équations différentielles du mouvement des satellites, en ayant égard à leur action mutuelle, à l'attraction du Soleil et à l’aplatissement de Jupiter. Il les intègre d’abord en négligeant les excentricités et les inclinaisons des orbites, et il parvient aux inégalités dépendantes des longitudes moyennes [formules (D) du Chapitre I}, et d’où résultent, dans le retour des éclipses des trois premiers satellites, les inégalités dont la période est de 437 jours, et que Bradley et Wargentin avaient découvertes par l'observation.
Lagrange considère ensuite les inégalités dépendantes des excentricités et des périjoves. Il forme les équations différentielles linéaires (A’) du Chapitre I, et les intègre comme nous l’avons expliqué à cet endroit. Il trouve pour chaque satellite les quatre équations du centre dont nous avons parlé.
En appliquant la même analyse aux nœuds et aux inclinaisons, il obtient pour chaque satellite quatre inégalités principales de la latitude. Mais il avait supposé que l'équateur et le plan de l'orbite de Jupiter coincident, et cette supposition avait fait disparaitre des termes importants.
En même temps que Lagrange s’occupait de ces recherches, Bailly (Essai sur la théorie des satellites de Jupiter, 1766) appliquait au mouvement des satellites de Jupiter les formules que Clairaut avait données dans sa théorie de la Lune. Il reconnut les inégalités dont la période est de 457 jours; mais cette théorie ne pouvait pas lui donner les quatre équations du centre obtenues par Lagrange.
Laplace a beaucoup ajouté à l’admirable travail de Lagrange. Il a donné d'abord la démonstration des deux beaux théorèmes exprimés par les relations
D OMR SRE O0) LL LS 100;
et montré que ces relations, constatées par les observations pour un certain intervalle de temps, doivent toujours subsister; il à établi ensuite les formules de la libration, et déterminé l'influence de cette libration sur les inégalités à longues périodes.
C’est à lui que l’on doit les inégalités (21) du Chapitre Il, provenant de la réaction mutuelle des inégalités séculaires et de celles dont la période est de 437 jours. Il a donné les expressions exactes des inégalités des latitudes et celles du mouvement de l'équateur de Jupiter, et montré enfin que les formules de Lagrange, pour les inégalités séculaires des nœuds et des périjoves, doivent être complétées par des termes du second ordre qui sont loin d’être négligeables.
Nous avons indiqué, chemin faisant, les perfectionnements de la théorie dus à M. Souillart; nous renverrons le lecteur à ses deux Mémoires déjà cités, et à une Note des Astron. Nachr., n° 2214.
Arrivé au terme d’une exposition déjà longue, et que nous n’avons pas la prétention de croire complète, nous pensons cependant avoir réussi à rendre plus accessible une des plus belles théories de la Mécanique céleste, qui est au fond assez simple et ne parait compliquée que par les notations multiples impossibles à éviter. Nous nous trouverons amplement récompensé d’un travail assez long si les lecteurs du sujet deviennent plus nombreux et s’y intéressent davantage,
Il est bien à désirer qu’une discussion complète des observations soit faite à nouveau, ainsi que la détermination de toutes les constantes, y compris la vitesse de la lumière. Le travail dans lequel Delambre avait discuté plus de 6000 observations, et dont Laplace parle à diverses reprises, a malheureusement été perdu. L'introduction aux Tables des satellites de Jupiter, de Damoiseau, présente des obscurités au sujet de la provenance des nombres fondamentaux qui ont servi à les construire; quelques-unes ont pu être dissipées par M. Souillart à l’aide d’un Mémoire, resté en manuscrit, de Damoiseau, et que possède le Bureau des Longitudes.
