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Titan. Hypérion. Japet.

20,45 25:07 59.58 15i 29) 41" 298 2 [) 6! 39" 27 79} 7" ñ Au 17°

Eafin, on a pour les anneaux 0 =167P00!,

0,7, a et T désignent respectivement : la longitude du nœud ascendant, l'inclinaison, le demi grand axe exprimé en fonction du rayon équatorial de Saturne, et la durée de la révolution.

On voit que les orbites font des angles petits avec le plan de l'anneau, sauf dans le cas de Japet.

On aperçoit, en outre, des rapports de commensurabilité assezapprochés entre

I , 0 , Q , les moyens mouvements, — pour Téthys et Mimas d’une part, Dioné et Encelade

. 3 1e d'autre part; 7 Pour Hypérion et Titan.

Laplace s’est borné à examiner les perturbations du plan de l'orbite de Japet. M. Newcomb a écrit un beau Chapitre de la Mécanique céleste sur les dérangements causés par Titan dans le mouvement d’Hypérion, et M. H. Struve a trouvé deux théorèmes remarquables concernant les perturbations de Téthys et de Mimas, puis de Dioné et Encelade. Nous allons exposer successivement ces divers travaux, ainsi que les additions qui leur ont été apportées par d’autres astronomes.

35. Équations différentielles du mouvement de l’un quelconque des satellites. — Dans le mouvement du satellite M, dont les coordonnées x, y, z sont rapportées à trois axes de directions invariables passant par le centre de Saturne, nous devons avoir égard aux perturbations provenant :

De laplatissement de Saturne;

De l’action de l’anneau ;

De l’action du Soleil,

Et des attractions des autres satellites.

Désignons par m,, m,, M, et m)les masses de Saturne, de l’anneau, du Soleil et d’un satellite quelconque M; soient

V—= + W, Ve = 1e + W,

les potentiels de Saturne et de son anneau; nous aurons ces équations différentielles

| d?x Mo+m+m 0Q de? + 7 ro tn dy. ee __ o@ dé? F3 Ty’ dès 1 5 Anar re m 09 de? 15 7 de I 75 ne rs; (2) G—W+W,=fmn — — — + Ÿ fm — — —À ), À, ro A; Ki A=r+ri—o2rrs, == COS (Er), Af=r+ri—orr;s;, == COS(7Tr ;).

D'après la formule (8°) de la page 320 (t. IT), on a, pour V et V,, ces développements en séries

> = (ik LE pa W

1 Tr:

m *: Ÿ Re te + l, à rio ; 9F ù I DO. D'ou T Visio, Y, = — sin*0 — - sin?0 + -» ; 3 12 2 4 : I et DOC SE I Y, = sin?0, — =; Y,=—=<-8in 0; "sind Le :

où à et à, désignent les déclinaisons du satellite au-dessus de l'équateur de Saturne et au-dessus du plan de l’anneau; #, /, .…., k,, L,, … sont des constantes

dépendant de la distribution de la matière dans le corps de Saturne et dans l’anneau. Enfin, les développements supposent que cette distribution est symétrique par rapport à l’axe de rotation et à l’équateur de Saturne, de même relativement à l’axe et au plan de l'anneau.

Cherchons à nous faire une idée de la grandeur des constantes #, /, k,, L,, en supposant Saturne et l’anneau homogènes. La formule (c) de la page 321 (t. ID) donne, en désignant par a et b le rayon polaire et Le rayon équatorial de Saturne,

9 CR RE CN AO vi # b me (Ssinro — )+ (4 su yes sino — Re sint0 + à) |; r 5 r? 2 2 D.7 els 8 8 8

on en conclut aisément

DE . Le ne —;— l’aplatissement de Saturne — 0,10; si l’on suppose que r désigne le rayon

vecteur de Dioné, on a (voir plus haut) 5 = 6,31. On en conclut aisément

la série converge assez rapidement pour que l’on puisse négliger /. Pour ce qui concerne l’anneau, la formule (B) de la page 252 (t. II) donne

LENERE nl 4 = HE in,

où l’on a = X:N 8% Dour, d—6in0i,

S bee

D 4 I DD À: — « sin? 0, — L D Ce rs sin“ 0, —

pour tous les points de l’anneau supposé plan, on a à, — 0; donc

: I 3 Xi, — 5 X4= + 55

— : (sinsè, — 5) fran,

FD. D 1 — sin* d, — — sin?0, + + r''dm'; 12 2 IA

an 9 14 !

Le 2 dm:

on a ensuite

Si l’on suppose que les rayons limites de l’anneau soient R’ et R’, on aura

AN SNA MR Ar.

Mas TN the AE our 0 fr ES dr rc mr) US IReER ë 48 R'*— R'4 ORNE ARUe ane en ve LT ARE Re

Or,on a R=1,900; RE 9" "9010:

Si l’on fait Le calcul pour Dioné, comme précédemment, on trouve

La série qui donne V, converge donc moins rapidement que celle qui se rapporte à V; néanmoins, si l’on a égard à la petitesse de la masse de l’anneau, on pourra réduire V, à

Rens (1 ns W, = j{ a 1 (; GE sin.) .

Supposons maintenant que le plan de l’anneau coïncide avec le plan de l’é-

quateur, et nous aurons

(3) WW An (S —sinto)= 5 (3 —sin8).

La constante # s'obtient en écrivant que l’équilibre a lieu à la surface de la planète; on trouve ainsi, comme on l’a vu (p. 4),

(4) k=b(u— in),

où x et x, désignent respectivement l’aplatissement de Saturne et le rapport de la force centrifuge à la pesanteur, pour l’équateur.

L'expression (3) pourrait être en défaut si à et à, différaient sensiblement l’un de l’autre; or, on n’a jusqu'ici aucun indice de la non-coïncidence des plans de l’anneau et de l’équateur; il pourrait encore en être de même si l’étude des mouvements des satellites les plus voisins de la planète décelait l'existence du

I ë - À Be terme en -; dans V,; c’est une question qui n'est peut-être pas encore vidée

complètement.

36. Développement des fonctions perturbatrices. — Nous ne considére- RE LE x

rons que les parties séculaires, c’est-à-dire celles qui sont indépendantes des longitudes moyennes des satellites et de celle de Saturne. Nous pourrons même faire abstraction de e°, car les excentricités des satellites sont très petites. Les termes ainsi négligés donnent lieu à quelques faibles inégalités auxquelles ilfaut avoir égard dans une théorie complète, mais que nous laissons volontairement de côté. En posant

kK= fmo k + fki mi,

la fonction perturbatrice provenant de l’aplatissement et de l'anneau est

Q— —|:—sin°0 ); SAS

soient y l’inclinaison de l'orbite du satellite sur l'équateur de Saturne, « la distance angulaire du satellite au nœud ascendant relatif à l’équateur; un triangle rectangle facile à apercevoir donne la relation

sind — sin « Sin y’ Y d’où I!

I I I QE" Een) + siny Cos2u).

rè É 2 l 2 Ÿ

. re . , . I est essentiellement périodique; le terme séculaire de + est

La portion en :

2T 2 2 dû I Fdw I es I RU A . (ES e Cosp) due 0 Ë “ 0

3 © 1 2 ED L : 3 na? V1—e pe a(1 —e?)?

où & et w désignent les anomalies moyenne et vraie. On aura donc simplement RTC 1 À GO Da en SR a DT (9) nn — (3 ; Sin )

La fonction perturbatrice provenant du Soleil est, d’après la formule (2),

M or È Der 0 us D = à L(: 1 Fe

En la développant suivant les puissances de la quantité très petite —> on peut

se borner à

Def me i+ Hits m.).

To 0/

On peut même supprimer le terme / — qui ne contient pas les éléments du

THÉORIE DES SATELLITES DE SATURNE. O1 satellite, et prendre :

A. 12 22 24 CU D PT ES Sr. ie be

Soient y l’inclinaison de l'orbite du satellite sur l'orbite de Saturne, U, et U les distances angulaires du Soleil et du satellite au nœud ascendant du premier de ces plans par rapport au second. On a

So — COS(rrs) = cos U cosU, + sinUsinU, cosy.

La partie non périodique de s? est

I I Far Co y:

pee On aura donc 3 n'a?

(6) => ——, cos?y.

(une

Considérons enfin la fonction perturbatrice Q; provenant de l’action d’un satellite quelconque M;. D’après la formule (33) de la page 309 (t. I), on aura, en négligeanteete;,

: : I I Q; = fm) (: A (0) — $ Br),

où n désigne le sinus de la demi-inclinaison des orbites de M et de M;. Si cette dernière orbite coïncide à peu près avec le plan de l'anneau, on pourra prendre

À — Sin ES. sin? y" + — sin? y + D NES +) Es ATES PO # RDA PRO Le terme en sin’ peut être négligé, même dans Le cas de Japet, pour lequel à M à See è EE Y —=13°,7; du moins, gsin'y n'est que la soixante-dixième partie de 7 Sin?!. ch

Nous pouvons donc prendre

(7) G; — fmti) É A (0) — = B(1) sin*}).

A et B® sont des fonctions homogènes et de degré — 1 de & et a;, dont les expressions ont été données dans le Tome I, p. 298.

37. Perturbations séculaires de Japet. — Les lettres non accentuées se rapporteront à ce satellite. La fonction perturbatrice Q sera la somme des expressions (5), (6) et (7); elle dépendra de y et de y’ qui introduiront les élé-

ments £ et 0, et aussi de a qui sera constant, puisque Q ne contient pas la longitude moyenne /. On trouvera ainsi

(3) G—K cos?y + K'cos?y’, en faisant

Je" I ÉREE T à ( (RTE > mt) B().

B(* est défini par l'équation

SE il aa;(a + ai —2aa;cost) * — Au B4) cost + B®) cos24 +...

En faisant

« sera toujours <T 1, et l'on aura

d’où k! I ; (1) (10) K= + > mOab, ;

le signe s'étend à tous les satellites intérieurs.

On aura ensuite, en appliquant aux équations (1) la méthode de la variation des constantes arbitraires et négligeant e?,

d0 ( 0Q di I 0Q (11) FÉES

Re rent DY reee D SR SEPT Se mn na?sinc dt dé na?sint 00

C'est de ces équations que l’on conclura les inégalités séculaires de z et de 0, après avoir remplacé Q par son expression (8), et y et y’ par leurs valeurs en fonction de z et de 0.

J'ai montré (Annales de l'Observatoire de Toulouse, t. 1) que l’on peut trouver aisément l'équation de la courbe décrite sur la sphère céleste par le pôle de l’orbite, sans effectuer l'intégration complète des équations (11). On en tire, en

effet, dR 0Q dÿ di D 0 JT D aie

ce qui donne l'intégrale (12) Q —K cos’y + K'cos’y —C,

laquelle exprime une relation simple entre les angles y et y’ que fait le plan de l'orbite du satellite avec l'orbite de Saturne et le plan de l'anneau.

Je vais déduire immédiatement de cette relation que le pôle de l’orbite décrit une ellipse sphérique.

Soient en effet D (/ëg. 2) le pôle boréal de l’orbite de Saturne, D' celui de l'anneau, M celui de l’orbite de Japet, on a

MD — y, MD'— y, DD'— A,

A représentant l'angle du plan de l’anneau avec l'orbite de Saturne.

Soient X4, Yes Lo: X,, Y,, 2,3 X, Y, Z les coordonnées des points D, D’ et M

par rapport à trois axes rectangulaires se coupant au centre de la sphère. On

aura cosy — XX, YY, +22, cosy XX, + VY, 72,

et l'équation (12) deviendra KIXX, NY 2 EL OXXS + YY, +22) 0;

c'est l'équation d’un cylindre elliptique qui, par son intersection avec la sphère, donnera la courbe cherchée qui se trouve bien être ainsi une ellipse sphérique. Mais je ne garderai pas les coordonnées rectangulaires pour étudier cette courbe.

Je vais chercher directement son centre C, qui est évidemment sur l'arc DD”.

Soient CD=E, Or, CM = p, D'CM — », on aura COSy — Cosicosp — Siné Sinp COSY, cosy! — cosi' COsp + sint’ Sinp COS?,

K(cosi cos p — siné sinp cos®)* + K’(cose” cosp + sinv’ sinp cos®)?— C.

Disposons de # et de z’ de façon à annuler dans cette équation le coefficient

de Coso; nous trouverons

(18) K sin2i— K'sin2v,

puis

(14) cos*p(K cos?e + K' cos?) + sin?p cos’o(K sin°c + K'sin?i JÉ=X DE

On a, d’ailleurs, 21 + 27 — 2A, et cette relation combinée avec la formule (13) donnera

K’ sin 2 A K sin2A K + K'cos2A° Pi, NS Co a

K + K’' cos2A D Pat is K + K'cos2A ) Lt — 2 VK?+K?+2KK'cos2A VK?+ K°?+2KK'cos2A

lanvet—