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et des valeurs analogues pour cos?r' et sin?v’. L’équation 14) deviendra donc ©]
cos?p(K + K' +VRK + K2+ 2 KK'cos2A) + sin? p cos? o (K + K'—VK'+K°+2KK Cos2 A) — 20.
On a
K?+ K2+ 2KK/cos2A —(K +K'y L:
en RE sin’ | ;
si donc on pose
A tang? «, l Sin À — sinA sin2«,
l'équation (15) donnera
__Kcos’y, + K’cos’y
cos?p cos?B + sin?o cos? osin?B — ts P Li P K + K' K + K'
— cos? N,
en désignant par y, et y, les valeurs initiales de y et y, et par N un nouvel angle auxiliaire. Nous aurons ainsi cet ensemble de formules, K' tang? a — K”’ sin2 B —sinA sin2a, (16) 2 2 2 DES RNC) COS N — cos? y, cos? x + cos? y} sin?«, Sin? N — sin?y, cos? à + sin? y, Sin?a,
(19) cos?B cos?p + sin?B sin?p cos?o — cos°?N,
dont la dernière est l'équation de la courbe: les relations (16) font connaître
les quantités auxiliaires N, B, « en fonction des constantes K, K’, A, A PR Cherchons les axes 29’ et 29” de notre ellipse sphérique, 29’ étant dirigé suivant l'arc DD’. Nous aurons à faire, dans l'équation (17), 9 — o et © — 90°;
nous trouverons aisément
D 2 {OOEIN ; COS N (18) Cosp"— É: COS 2p à B cos BR )8 2
on peut constater sans peine l'inégalité o" > 2”.
Laplace à considéré un plan fixe, précisément celui qui a pour pôle le centre C de notre ellipse sphérique; il dit que l’orbite du satellite se meut en gardant sur ce plan fixe une inclinaison à peu près constante. C’est dire que l’ellipse ne diffère pas beaucoup d’un petit cerele de la sphère. Nous allons donner la raison de ce fait. L’angle B n’est pas très grand; il est au plus égal à 19° ou 14°; s’il était nul, les formules (18) donneraient
Dans tous les cas, cosB et cos2B ne diffèrent pas beaucoup de r, et la différence p° — p” sera assez petite; on a
N — B tang tang LE — tang? —; tang(N — p')tang(N + p') = tang?B,
B p” te tang? B me RS ON re Re, eee tangN ? POP tang 2 N
Nous verrons plus loin que la différence p’ — p” est d'environ 14’, quantité petite, mais non négligeable.
Soit AA’ le grand axe de l’ellipse; on voit que la valeur de y — MD sera toujours comprise entre DA et DA’, et la valeur de y — MD’ entre D'À’ et D'A. Nous voyons donc que jamais l'orbite de Japet ne pourra coïincider, ni avec le plan de l’anneau, ni avec l’orbite de Saturne.
38. Loi du mouvement du pôle sur son ellipse. — Si l’on prend pour plan des æy le plan fixe de Laplace, l’origine des longitudes étant fixée à l’intersection de ce plan fixe avec le plan de l’anneau, on aura
et la seconde des équations (11) donnera
Cou I 0Q
dt — na’sinp d@
Or, &=Kcos?y+ K’cos°y’ a pour expression, en fonction de p et de moitié du premier membre de l’équation (15), ou encore
(K+K')(cos?p cos? B + sin?p sin*B cos*o).
On trouvera done
ur no sinb SIND COS ®.
sinp COS? & ù ? id
Nous allons éliminer o à l’aide de l'équation de l'ellipse que l’on peut écrire, en introduisant p' et p”,
à cos?p"— cos?p/ COSpeE
Fe sin?p COS?® — Cos*p”; sin?p
; : 0S2 0! — COS°p sin?9 cos? — sin?p" — ——?
COS? p”— COS? p
de à ny COS? — COS?p” sin?p sin? — sin*p” :
= 5) s? 0! — cos?p' 2 K
sinp'sinp” sin p COS?
cos? pl — cos? p' V{ cos? p"— cos? p)(cos?p — cos?p . Si l’on pose, en désignant par f. une nouvelle variable,
cos? p — cos? p” cos? + cos?p'sin?p, je do on trouve que la valeur précédente de + donne
. du.
Hat, V1 — R? sin?p où l’on a fait
.__ cos?p" — cos?p (21) ha ET , CoS"p
2K na? Cos?
sin?B sinp'sinp” cosp” cos? p” — cos?p"
En remplaçant p’ et p” par leurs valeurs (18), l'expression de H se simplifie et devient
ve px CSN Ve B.
na? COS?
THÉORIE DES SATELLITES DE SATURNE. 97 On voit que l’on est ramené à des intégrales elliptiques, et les formules (19) et (20) donneront, en désignant par 4, une constante arbitraire, = am(Ht, — Hi), (23) sinp cosp —sinp' sinp, ( sinp sin — sinp” COS.
Le module 2 est voisin de zéro; il convient de procéder à des développements en séries, en négligeant 2‘. On trouve successivement
dy (+ = fè sint) — du (+ 7 Et I cosap) = — H dt,
4 4 ; ha: ; p= H'(6 — €) + z sin2 H’'(4 — £), H = ao rene A D 0 0 ea il un I ni sin? H'(64 — €) langp— A drap : cotH'(£, —t), P P th na
tango — (1 — 20) cotH'(£ — €),
sinp/— sinp" : R?
de 2sinp' 8 in p
l'est une petite quantité de l’ordre de 2?. En posant
D—go M —"t)—e, on trouve aisément e —lsin2H'(4 — 1); soit encore Q: TRS, 90° — H' Los il viendra
(24) p—op + H'é—lsin(29, + 2H'6).
La valeur de , se déterminera au moyen de la valeur +, que prend + pour
1 = 0, par la formule Po — Pi — lSiNn20:;
O1 —= Yo + [sin20.
On a ensuite par l’équation de l’ellipse,
à sinp'sinp” sin p' DR V / 7 : / 1 :
sin? p” + (sin?p" — sin? sin? sin?p'— sin?p” . p° + (sinfp — p )sin°o . one sin? (o + H'6)
et l’on en tire sans peine (25) p—=p"—{(p"—p")sin?(9, + H'£).
Les formules (24) et (25) résolvent le problème avec une précision suftisante. On a, d’ailleurs, comme on le voit facilement,
1 + COs?p" 2 Sin 2p"
On voit que © a un double mouvement de précession et de nutation ; le terme de précession est positif, et comme la longitude du nœud sur le plan fixe de Laplace a été représentée par — ©, le nœud de l'orbite du satellite a son mouvement de précession rétrograde.
39. Discussion des observations de Japet. — La discussion la plus complète a été faite par M. H. Struve (Beobachtungen der Saturnstrabanten, Supplément aux Observations de Poulkovo, Saint-Pétersbourg, 1888). Les séries d’observations utilisées sont celles de Bernard à Marseille, de W. Herschel, de Bessel, de Jacob, de A. Hall, et enfin de H. Struve lui-même. Les valeurs de la longitude du nœud, 0, et de l’inclinaison #, rapportées à l’écliptique, telles qu’elles résultent d’une discussion approfondie, sont renfermées dans le Tableau suivant, qui contient en outre les dates moyennes des observations :
