TRAITÉ

THÉORIE DES SATELLITES DE JUPITER. — ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ET FONCTIONS PERTURBATRICES.

1. Considérations générales. — Jupiter possède cinq satellites. Les quatre premiers, visibles avec la plus faible lunette, ont été découverts par Galilée les 7 et 8 janvier 1610. M. Barnard, de l’observatoire Lick, a trouvé le cinquième, le 9 septembre 1892; il n’y a guère que trois instruments de très grande puissance avec lesquels on ait pu jusqu'ici suivre son mouvement. Au point de vue de la Mécanique céleste, il y a lieu de le mettre à part; sa masse est trop faible pour qu’il exerce une influence sensible sur les quatre anciens qui, de leur côté, ne le troubleront pas sensiblement parce qu'il en est éloigné, et très voisin de la planète, dont l'attraction sera absolument prépondérante. Le cinquième satellite pourra cependant éprouver quelques dérangements au sujet desquels nous renvoyons le lecteur à deux Notes des Comptes rendus (t. CXVIT, p. 1024, et CXIX, p. 5). On peut donc considérer à part les quatre gros satellites; la détermination de leurs mouvements constitue l’un des plus beaux problèmes de la Mécanique céleste. Le mouvement de chacun d’eux est incessamment dévié de l’ellipse invariable de Képler :

1° Par la force perturbatrice du Soleil, dont l'attraction n’est pas la même que sur la planète; T. — IV. I

2° Par le renflement équatorial de la planète, qui fait que son attraction ne se

compose pas seulement du terme en

3° Par les attractions des trois autres satellites.

Avant d'aborder la théorie, il est bon de donner quelques indications générales sur les mouvements des satellites. Ils se meuvent à peu près dans le plan de l'équateur de Jupiter. Les excentricités sont insensibles pour les satellites I et IT (les plus voisins de la planète), de 0,001 et de 0,007 pour II et IV. Les moyens mouvements diurnes sidéraux ont pour valeurs

A. 2097, 18809) 28, Hi 101,2374 72900, 90°, 317 608 33, n'= "21,071 07198:

On en conclut hi 200,500 007 00,

On voit donc que le moyen mouvement du premier satellite est à fort peu près le double de celui du second, lequel est de même sensiblement le double de celui du troisième. Mais ce qui frappe le plus, c’est l'égalité presque absolue des différences ? — 2n' etn'— 27”, de sorte que la relation

NH 90 op —0

est vérifiée presque rigoureusement. Ce sont ces relations de commensurabilité qui font tout l'intérêt et toute la difficulté du problème; bien que les masses des satellites soient très faibles vis-à-vis de celle de Jupiter, les perturbations sont néanmoins considérables. Voici les rapports des masses à celle de Jupiter :

M —= 0,000 017; mm! — 0,000 023; mm — 0,000 088 ; m” — 0,000 042,

Les coefficients des plus grandes inégalités périodiques des longitudes jovicentriques des satellites atteignent cependant 26’, 62’, 8 et 50’.

Voici enfin les distances moyennes des satellites à la planète, exprimées en rayons de son équateur :

Le quatrième satellite a une théorie à part, analogue à celle de la Lune, présentant en miniature toutes les inégalités de notre satellite: les trois premiers forment un groupe dans lequel ils sont étroitement unis par les relations de commensurabilité approchée.

Ces satellites présentent aux observateurs les phénomènes les plus variés. A

chacune de leurs révolutions, les trois premiers s’éclipsenten disparaissant dans le cône d'ombre de Jupiter, ou bien ils sont cachés par le disque même de la planète. D’autres fois, ils passent sur ce disque qui peut aussi être traversé par leurs ombres. C’est l'observation de ces éclipses qui a conduit Rœmer à la première détermination de la vitesse de la lumière; c’est elle encore qui a permis: aux géographes de faire les premières mesures un peu exactes des longitudes terrestres, et, en particulier, de poser sous Louis XIV les bases de la première Carte officielle de la France... On comprend donc l'intérêt qui s'attache à une théorie précise des satellites de Jupiter.

Nous allons exposer la théorie en prenant pour base la méthode de la variation des constantes arbitraires, comme l’a fait M. Souillart (Memoirs of the Royal Astronomical Society, t. XLV), en lui apportant quelques modifications. Au fond, cette méthode est adoptée par Laplace, à partir du troisième Chapitre du Tome IV de la Mécanique céleste; nous croyons préférable de l’employer dès le début.

2: Équations différentielles des mouvements des satellites. — Soient

mi D Vol x + y? + 2°, RD oMae, TT,

(4 N/A // 24 NZ TER VS + 07)

all DIE) L D, = 1

His is Vis Bat

les masses et les coordonnées rectangulaires des quatre satellites et du Soleil; ces coordonnées sont rapportées à des axes rectangulaires qui se coupent au centre de gravité de Jupiter, le plan des xy étant celui de l'orbite de Jupiter à une époque donnée, 1850,0 par exemple. Désignons, en outre, par x, la masse de Jupiter, et par f la constante de l'attraction universelle. Les équations différentielles du mouvement du premier satellite seront

da ie æ,. : 4h

SF + f(Mmo + mm) nn

de y __0R

(1) PTE TIR RSS d 3 OR

none | di? je al pe 93?

où R représente la fonction perturbatrice; elle est la somme de plusieurs autres,

R = Ron + Ross + Ross +R +R;

Rois Ro» Ro Correspondent aux satellites If, IT et IV; R au Soleil, et, à

l’aplatissement de Jupiter. On a, comme on sait,

TT y' + 33!

Ro, = fn" = = X | , VC = zh = y) 4

; I LL + VV + 33 R = fra | = ; 1 . | VOri—z +7) +(a—s)

b7x ne RAP) =) Ë — sind).

L'expression de &, résulte de la formule (43) (t. II, p. 210); elle suppose que la planète est de révolution; b est le rayon équatorial, d la déclinaison du satellite au-dessus de l'équateur de Jupiter, et J la constante

J=—=Xx— - x, x désignant l’aplatissement de la surface de la planète, et x, le rapport de la force centrifuge à l’attraction pour un point de l’équateur. Nous prendrons désormais pour unité de longueur. La fonction des forces correspondant à l'attraction complète de Jupiter sera

m ue —- R 1.

Si l’on néglige la fonction perturbatrice R, les équations (1) deviennent celles du mouvement elliptique. Vu la petitesse des excentricités, on peut prendre | D — ecos({—&), da { p —=l+2esin({ —w), |‘ Dre, pra,

n'a — f(mo+m); COS P + =q? sinO sin({ — 8), = Sin? — = q? cos sin(/— 8), — osin(/{ —06); nous remplacerons même souvent 72, + m par m,.

a, e, 0,0, v, l, e représentent, suivant l’usage, le demi grand axe, l’excentricité, l’inclinaison, la longitude du nœud ascendant, la longitude vraie, la longitude

moyenne et la longitude moyenne de l’époque. Les inclinaisons 4, 9, g" ete sont petites.

Quand on voudra tenir compte de R, il faudra regarder les éléments elliptiques comme des variables qui seront déterminées par les équations (2) (t. 1, p. 169); on peut simplifier un peu ces équations et les écrire ainsi

des 10h do 1 OR | d ne 05 dt na°e de do 1 OR dû Es l OR ; ] dis; à na or 00 k de ny na?® ET 1 did da dit 1e dib.00 dh dt na da ana! de 2na? 09 2 dé 20h pr. 0R dé | na de. AE 4 de.

3. Développement des fonctions perturbatrices. — Commençons par & et

développons cette fonction suivant les puissances de > quantité petite qui,

même pour le quatrième satellite, comme pour la Lune, ne dépasse pas ;5. Le

même calcul que nous avons fait à plusieurs reprises dans le Tome IIT nous donnera avec une précision suffisante

12 3 (ads MP LE 25)? D | De